【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 4.4 平面向量的应用课时提能演练 理 北师大版

1 全程复习方略全程复习方略 陕西专用 陕西专用 20132013 版高考数学版高考数学 4 44 4 平面向量的应用课时提能平面向量的应用课时提能 演练演练 理理 北师大版北师大版 一 选择题一 选择题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 1 预测题 已知向量 a a 1 cos 1 b b 1 sin 且 a a b b 则锐角 等于 1 2 A 30 B 45 C 60 D 75 2 已知三个力 f f1 2 1 f f2 3 2 f f3 4 3 同时作用于某物体上一点 为使物体保持平 衡 再加上一个力 f f4 则 f f4 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 3 2012 武威模拟 在 ABC 中 若 0 则 ABC 的形状是 2 AB BCAB A A C 为钝角的钝角三角形 B B 为直角的直角三角形 C 锐角三角形 D A 为直角的直角三角形 4 易错题 圆 C x2 y2 1 直线l y kx 2 直线l与圆 C 交于 A B 若 OA OB OA OB 其中 O 为坐标原点 则 k 的取值范围是 A 0 B 777 C D 777 5 2012 大连模拟 a a b b 为非零向量 函数 f x a ax b b 2为偶函数 是 a a b b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 a a m 1 b b 1 n 1 其中 m n 为正数 若 a a b b 则 的最小值是 1 m 2 n A 2 B 3 C 2 3 D 3 2 2222 二 填空题二 填空题 每小题每小题 5 5 分 共分 共 1515 分分 7 已知 A B C 是圆 x2 y2 1 上的三点 且其中 O 为坐标原点 则 OACB 的面积等于OAOBOC 8 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若则FAFBFC 0 FAFBFC 2 9 2012 娄底模拟 点 O 在 ABC 内部且满足 0 0 则 ABC 的面积与凹四边形 ABOC 的OA2OB2OC 面积之比为 三 解答题三 解答题 第第 1010 题题 1212 分 第分 第 1111 题题 1313 分 共分 共 2525 分分 10 2012 铜川模拟 已知以角 B 为钝角的 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c m m a 2b n n sinA 且 m nm n 3 1 求角 B 的大小 2 求 sinA cosC 的取值范围 3 11 2012 济南模拟 已知 A B 分别是直线 y 和 y 上的两个动点 线段 AB 的长为P 3 x 3 3 x 3 2 3 是 AB 的中点 1 求动点 P 的轨迹 C 的方程 2 过点 Q 1 0 任意作直线l 与 x 轴不垂直 设l与 1 中轨迹 C 交于 M N 两点 与 y 轴交于 R 点 若 证明 为定值 RMMQ RNNQ 选做选做 探究题探究题 抛物线 y x2上有两点 A x1 x12 B x2 x22 且OA OB 1 2 1 2 1 2 O 为坐标原点 OM 0 2 1 求证 AM AB 2 若MA 2MB 求 ABO 的面积 3 答案解析答案解析 1 解析 选 B 方法一 a a b b a a 1 cos 1 b b 1 sin 1 2 1 cos 1 sin 1 2 即 1 sin cos sin cos 1 2 sin cos sin cos 1 2 sin cos sin cos 1 2 1 2sin cos sin2 cos2 sin cos 1 4 即 sin2 cos2 sin cos 0 3 4 sin cos sin cos 0 1 2 3 2 又 为锐角 sin cos 即 sin2 1 45 1 2 方法二 a a b b a a 1 cos 1 b b 1 sin 1 2 1 cos 1 sin 1 2 将各选项中的值代入验证可知 45 2 解题指南 物体平衡 则所受合力为 0 0 解析 选 D 由物理知识知 f f1 f f2 f f3 f f4 0 0 故 f f4 f f1 f f2 f f3 1 2 3 解析 选 D AB 0BC 2 AB 4 0 AB BCABAB AC AA 即 A 故选 D 2 4 解题指南 利用 OA OB OA OB OA OB 2 OA OB 2进行转化 解析 选 D 由 OA OB OA OB 两边平方化简得OA OB 0 AOB 是钝角 所以 O 0 0 到 kx y 2 0 的距离小于 2 2 k 或 k 故选 D 2 k2 1 2 277 5 解析 选 C f x a a2x2 2a a b bx b b2 a a b b 为非零向量 若 f x 为偶函数 则 f x f x 恒成立 a a2x2 2a a b bx b b2 a a2x2 2a a b bx b b2 4a a b bx 0 又 x R a a b b 0 a a b b 若 a a b b a a b b 0 f x a a2x2 b b2 f x 为偶函数 综上 选 C 6 解析 选 C a a b b m 1 n 0 即 m n 1 又 m n 0 m n 3 2 3 1 m 2 n 1 m 2 n n m 2m n2 当且仅当 即 n m 时取等号 n m 2m n2 的最小值为 2 3 1 m 2 n2 7 解析 如图所示 由 1 知 OACB 是边长为 1 的菱形 且OAOBOC AOB 120 其面积为 S sin120 1 1 OA OB 33 22 答案 3 2 8 解析 已知 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若 0 0 则 F 为 ABC 的重心 A B C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的 3 倍 即等于FAFBFC 5 3 设 A B C 三点的坐标分别为 xA yA xB yB xC yC 有 xA 1 xB 1 xC 1 6 FAFBFC 答案 6 方法技巧 向量与解析几何综合题的解答技巧 平面向量与解析几何相结合主要从以下两个方面进行考查 一是考查向量 需要把用向量语言描述的题 目条件转化成几何条件 涉及向量的线性运算 共线 垂直的条件应用等 二是利用向量解决几何问题 涉及判断直线的位置关系 求角的大小及线段长度等 9 解析 作图如下 作向量OD2OB OF2OC 以为邻边作平行四边形 ODEF 根据平行四边形法则可知 OD OF ODOFOE 即2OC2OBOE 由已知2OC2OBOA 所以所以 O A E 共线 OEOA 且 BC 是 ODF 中位线 则 OE 2OG 4OH 则 OH OA 即 AH OH 5 1 1 4 S OBC S ABC 1 5 则 S ABC S凹四边形 ABOC 5 5 1 5 4 答案 5 4 10 解析 1 m m n n m nm n 0 得a 2bsinA 0 3 由正弦定理 得 a 2RsinA b 2RsinB 代入得 sinA 2sinBsinA 0 sinA 0 3 6 sinB 3 2 又 B 为钝角 B 2 3 2 sinA cosC sin C 3 3 由 1 知 C 0 C 3 3 3 2 3 sin C 1 3 3 2 故 sinA cosC 的取值范围是 1 3 3 2 方法技巧 解答向量与三角函数相结合问题的一般步骤 1 利用向量的各种运算法则 常见的有 a ba b a ba b 等 去掉向量这层 外衣 得到一个表达式 2 根据表达式的特点 进行有效地转化 变形 化简 3 若研究三角函数的性质 需变成 三个一 的结构形式 即一个角 一次幂 一个名的形式 若研究 三角形的边角关系 则需借助正 余弦定理进行求解 变式备选 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 向量 m m 2sinB 2 cos2B n n 2sin2 1 且 m nm n 4 B 2 1 求角 B 的大小 2 若 a b 1 求 c 的值 3 解析 1 由于 m nm n 所以 m nm n 0 所以 2sinB 2sin2 2 cos2B 0 4 B 2 即 2sinB 1 cos2 2 cos2B 0 4 B 2 即 2sinB 2sin2B 2 1 2sin2B 0 解得 sinB 1 2 由于 0 B 所以 B 或 6 5 6 2 由余弦定理 得 b2 a2 c2 2accosB 得 1 3 c2 2c 即 c2 3c 2 0 解得 c 1 或 3 3 2 c 2 11 解析 1 设 P x y A x1 y1 B x2 y2 7 P 是线段 AB 的中点 12 12 xx 2 x yy y 2 A B 分别是直线 y 和 y 上的点 3 x 3 3 x 3 y1 x1 y2 x2 3 3 3 3 12 12 xx2 3y 2 3 yyx 3 又 x1 x2 2 y1 y2 2 12 AB2 3 12y2 12 2 4 x 3 动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2 1 2 x 9 2 依题意 直线l的斜率存在 故可设直线l的方程为 y k x 1 设 M x3 y3 N x4 y4 R 0 y5 则 M N 两点坐标满足方程组 2 2 yk x1 x y1 9 消去 y 并整理 得 1 9k2 x2 18k2x 9k2 9 0 x3 x4 x3x4 2 2 18k 1 9k 2 2 9k9 1 9k RMMQ x3 y3 0 y5 1 0 x3 y3 即 33 353 x1x yyy l与 x 轴不垂直 x3 1 同理 3 3 x 1x 4 4 x 1x 34 34 xx 1x1x 3434 3434 xx2x x 1xxx x 8 将 代入上式可得 9 4 选做 探究题 解析 1 AM OM OA x1 2 x12 1 2 AB OB OA x2 x1 x22 x12 1 2 1 2 OA OB OA OB x1 x2 x12x22 0 1 4 x1x2 4 x1x2 0 x1x2 0 舍 或 x1x2 4 x1 x22 x12 x1 x2 x1 x2 x1 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 x12 1 2 2 x12 x2 x1