高一数学必修4复习资料

1 P v x y A O M T 高中数学必修高中数学必修 4 4 复习资料复习资料 正角 按逆时针方向旋转形成的角 1 任意角负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 不作任何旋转形成的角 2 2 角 角的顶点与原点重合 角的始边与的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负半轴重合 终边落在第几象限 则称轴的非负半轴重合 终边落在第几象限 则称为第几象限角 为第几象限角 x 第一象限角的集合为第一象限角的集合为 二象限二象限 36036090 kkk 36090360180 kkk 第三象限第三象限 第四象限第四象限 360180360270 kkk 360270360360 kkk 终边在终边在轴上的角的集合为轴上的角的集合为 终边在终边在轴上的角的集合为轴上的角的集合为x 180 kk y 18090 kk 终边在坐标轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为 90 kk 3 3 与角 与角终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为 360 kk 4 4 已知 已知是第几象限角 确定是第几象限角 确定所在象限的方法 先把各象限均分所在象限的方法 先把各象限均分等份 再从等份 再从轴的正半轴的上方起 依次将各轴的正半轴的上方起 依次将各 n n nx 区域标上一 二 三 四 则区域标上一 二 三 四 则原来是第几象限对应的标号即为原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域 终边所落在的区域 n 5 5 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度 弧度 1 6 6 半径为 半径为的圆的圆心角的圆的圆心角所对弧的长为所对弧的长为 则角 则角的弧度数的绝对值是的弧度数的绝对值是 r l l r 7 7 弧度制与角度制的换算公式 弧度制与角度制的换算公式 2360 1 180 180 157 3 8 8 若扇形的圆心角为 若扇形的圆心角为 半径为 半径为 弧长为 弧长为 周长为 周长为 面积为 面积为 则 则 为弧度制rlCSlr 2Crl 2 11 22 Slrr 9 9 设 设是一个任意大小的角 是一个任意大小的角 的终边上任意一点的终边上任意一点的坐标是的坐标是 它与原点的距离是 它与原点的距离是 则 则 x y 22 0r rxy sin y r cos x r tan0 y x x 1010 三角函数在各象限的符号 第一象限全为正 第二象限正弦为正 第三象限正切为正 第四象限余弦为正 三角函数在各象限的符号 第一象限全为正 第二象限正弦为正 第三象限正切为正 第四象限余弦为正 1111 三角函数线 三角函数线 sin cos tan A 1212 同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 22 1 sincos1 2222 sin1 cos cos1 sin sin2tan cos sin sintancos cos tan 1313 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 口诀 奇变偶不变 符号看象限 口诀 奇变偶不变 符号看象限 1 sin 2sink cos 2cosk tan 2tankk 2 sinsin coscos tantan 2 3 sinsin coscos tantan 4 sinsin coscos tantan 5 sincos 2 cossin 2 6 sincos 2 cossin 2 1414 1 1 先平移后伸缩 先平移后伸缩 函数函数的图象上所有点向左 右 平移的图象上所有点向左 右 平移个单位长度 得到函数个单位长度 得到函数的图象 的图象 sinyx sinyx 再将函数再将函数的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的倍 纵坐标不变 倍 纵坐标不变 得到函数 得到函数的的 sinyx 1 sinyx 图象 图象 再将函数再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的倍 横坐标不变 倍 横坐标不变 得到函数 得到函数的图的图 sinyx A sinyx A 象 象 2 2 先伸缩后平移 先伸缩后平移 函数函数的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的倍 纵坐标不变 倍 纵坐标不变 得到函数 得到函数的图象 的图象 sinyx 1 sinyx 再将函数再将函数的图象上所有点向左 右 平移的图象上所有点向左 右 平移个单位长度 得到函数个单位长度 得到函数的图象 的图象 sinyx sinyx 再将函数再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的倍 横坐标不变 倍 横坐标不变 得到函数 得到函数 sinyx A sinyx A 的图象 的图象 3 3 函数 函数的性质 的性质 sin0 0yx A A 振幅 振幅 周期 周期 频率 频率 相位 相位 初相 初相 A 2 1 2 f x 函数函数 当 当时 取得最小值为时 取得最小值为 当 当时 取得最大值为时 取得最大值为 则 则 sinyx A 1 xx min y 2 xx max y maxmin 1 2 yyA maxmin 1 2 yy 2112 2 xxxx 3 1515 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 1616 向量 既有大小 又有方向的量 向量 既有大小 又有方向的量 数量 只有大小 没有方向的量 数量 只有大小 没有方向的量 有向线段的三要素 起点 方向 长度 有向线段的三要素 起点 方向 长度 零向量 长度为零向量 长度为的向量 的向量 0 单位向量 长度等于单位向量 长度等于 个单位的向量 个单位的向量 1 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平行 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 1717 向量加法运算 向量加法运算 三角形法则的特点 首尾相连 三角形法则的特点 首尾相连 平行四边形法则的特点 共起点 平行四边形法则的特点 共起点 三角形不等式 三角形不等式 ababab 运算性质 运算性质 交换律 交换律 abba 结合律 结合律 abcabc 00aaa 坐标运算 设坐标运算 设 则 则 11 ax y 22 bxy 1212 abxxyy 4 1818 向量减法运算 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设坐标运算 设 则 则 11 ax y 22 bxy 1212 abxxyy 设设 两点的坐标分别为两点的坐标分别为 则 则 A 11 x y 22 xy 1212 xxyyA 1919 向量数乘运算 向量数乘运算 实数实数与向量与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作 a a aa 当当时 时 的方向与的方向与的方向相同 的方向相同 0 a a 当当时 时 的方向与的方向与的方向相反 的方向相反 0 a a 当当时 时 0 0a 运算律 运算律 aa aaa abab 坐标运算 设坐标运算 设 则 则 ax y ax yxy 2020 向量共线定理 向量 向量共线定理 向量与与共线 当且仅当有唯一一个实数共线 当且仅当有唯一一个实数 使 使 0a a b ba 设设 其中 其中 则当且仅当 则当且仅当时 向量时 向量 共线 共线 11 ax y 22 bxy 0b 1221 0 x yx y a 0b b 2121 平面向量基本定理 如果 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 有且只有一对实数 有且只有一对实数 1 e 2 e a 使 使 不共线的向量 不共线的向量 作为这一平面内所有向量的一组基底 作为这一平面内所有向量的一组基底 1 2 1 122 aee 1 e 2 e 2222 分点坐标公式 设点 分点坐标公式 设点是线段是线段上的一点 上的一点 的坐标分别是的坐标分别是 当 当时 点时 点的的 12 1 2 11 x y 22 xy 12 坐标是坐标是 1212 11 xxyy 2323 平面向量的数量积 平面向量的数量积 cos0 0 0180a ba bab 零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为 0 性质 设性质 设和和都是非零向量 都是非零向量 a b 则则 当当与与同向时 同向时 0aba b a b 当 当与与反向时 反向时 a ba b a b a ba b 或或 2 2 a aaa aa a a ba b 运算律 运算律 a bb a aba bab abca cb c 坐标运算 设两个非零向量坐标运算 设两个非零向量 则 则 11 ax y 22 bxy 1212 a bx xy y 若若 则 则 或 或 ax y 2 22 axy 22 axy 设设 则 则 11 ax y 22 bxy 1212 0abx xy y 5 设设 都是非零向量 都是非零向量 是是与与的夹角 则的夹角 则 a b 11 ax y 22 bxy a b 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 2424 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 两角和与差的正弦 余弦和正切公式 coscoscossinsin coscoscossinsin sinsincoscossin sinsincoscossin tantan tan 1tantan tantantan1tantan tantan tan 1tantan tantantan1 tantan 2525 二倍角的正弦 余弦和正切公式 二倍角的正弦 余弦和正切公式 1 1 2 2 3 3 sin22sincos 2 2tan tan2 1tan 4 4 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 2 cos21 cos 2 2 1cos2 sin 2 2626 22 sincossin A A 2 1 sin2 sincos 6 25 7 25 18 25 7 25 18 三角函数基础训练题三角函数基础训练题 一 选择题一 选择题 1 1 下列角中终边与 下列角中终边与 330 330 相同的角是 相同的角是 A A 30 30 B B 30 30 C C 630 630 D D 630 630 2 2 角 角 的终边落在区间 的终边落在区间 3 3 内 内 则角则角 所在象限是所在象限是 5 5 2 2 A A 第一象限 第一象限 B B 第二象限 第二象限 C C 第三象限 第三象限 D D 第四象限 第四象限 3 3 已知角 已知角 的终边过点的终边过点P P 1 21 2 cos cos的值为的值为 A A B B C C D D 5 5 5 5 5 52 2 5 4 4 如果 如果则则的取值范围是的取值范围是 cos cos xxx A A B B 2 2 2 2 Zkkk 2 2 3 2 2 Zkkk C C D D 2 2 3 2 2 Zkkk 2 2 Zkkk 5 5 函数 函数的图象可看作是函数的图象可看作是函数的图象 经过如下平移得到的 其中正确的是 的图象 经过如下平移得到的 其中正确的是 3 x2sin 3y x2sin3y A A 向右平移向右平移个单位个单位 B B 向左平移向左平移个单位个单位 C C 向右平移向右平移个单位个单位 D D 向左平移向左平移个单位个单位 3 3 6 6 6 6 与函数 与函数图象不相交的一条直线是 图象不相交的一条直线是 tan 2 4 yx 的 A A B B C C D D 2 x 2 y 8 x 8 y 7 7 是第四象限角 则下列数值中一定是正值的是是第四象限角 则下列数值中一定是正值的是 A A sinsin B B coscos C C tantan D D tan 1 8 8 已知 已知 sinsin coscos 则则 coscos sinsin 的值等于的值等于 1 1 8 8 A A B B C C D D 3 3 4 4 2 3 2 3 2 3 9 9 如果角 如果角满足满足 那么那么的值是的值是 2cossin 1 tan tan A A B B C C D D 1 2 12 1010 sinsin coscos tantan的值是的值是 3 4 6 25 4 5 A A B B C C D D 4 3 4 3 4 3 4 3 1111 已知 已知那么那么 15 14 tan a 1992sin A A B B C C D D 2 1 a a 2 1a a 2 1a a 2 1 1 a 1212 已知 已知 那么 那么的值为的值为 5 3 sin cos cos sin cos2 A A B B C C D D 1313 的值是 的值是 24tan1 20tan1 21tan1 ooo A 2A 2 B 4B 4 C 8C 8 D 16D 16 1414 函数 函数的定义域为 的定义域为 sintanyxx 7 A A B B 2 22 Zkkxkx 2 2 22 ZkkxxZkkxkx C C D D 且且 2 22 Zkkxkx 22 2 xkxk 2 xkkZ 二 填空题二 填空题 1515 函数 函数的周期是的周期是 42 sin x y 1616 与 与 1991 1991 终边相同的最小正角是终边相同的最小正角是 绝对值最小的角是绝对值最小的角是 1717 若 若 则 则的值为的值为 3tan 33 33 cos2sin cos2sin 1818 已知已知 sinsintantan 0 0 则 则的取值集合为的取值集合为 1919 函数 函数的图象的对称轴方程是的图象的对称轴方程是 3 2sin 2 xy 2020 函数 函数的最小正周期是的最小正周期是 x x y 2 tan1 tan2 2121 已知 已知 sin cos sin cos 0 0 则 则 cos2 cos2 的值为的值为 2 2 2222 记 记 均为非零实数 均为非零实数 4 cos sin xbxaxfab 若若 则 则 2009 2009 f 2010 f 答案 答案 1 71 7 BCACDCBBCACDCB 8 14 BDACABB8 14 BDACABB 1515 1616 1717 1818 4 00 169 191 25 29 2 2 2 2 2 kkxorkxkx 1919 2020 2121 2222 Zk k x 122 2 2 3 2001 三三 解答题解答题 23 若函数 若函数 画出函数在区间画出函数在区间上的简图 上的简图 指出函数在区间指出函数在区间上的单调区间及单调性 最大值上的单调区间及单调性 最大值1 sinyx 0 2 0 2 和最小值 和最小值 解 解 列表 列表 x0 2 3 2 2 sinyx 010 10 1 sinyx 10121 描点 连线成图 描点 连线成图 单调递增区间 单调递增区间 单调递减区间 单调递减区间 3 22 0 2 3 2 2 8 2424 已知 已知 求求的值的值 3 tan3 2 sincos 2 31 2 1 2 3 cossin 2 1 cos 2 3 sin3tan 2 3 且 2525 已知 已知为第二象限角 为第二象限角 的值求为第一象限角 2tan 13 5 cos 5 3 sin 解 解 5 3 sin 2 2 2 且kk 4 3 tan 7 24 tan1 tan2 2tan 2 13 5 cos 2 2 2 且kk 5 12 tan 253 204 5 12 7 24 1 5 12 7 24 tan2tan1 tan2tan 2tan 2626 求值 求值 0 000 10cos1 10tan31 80sin50sin2 解 解 原式原式 00000 00 2sin50cos103sin102sin502sin40 2cos52cos5 00 0 2sin502cos50 2cos5 00 00 000 2 2sin 5045 2 2sin952 2cos5 2 2cos52cos52cos5 2727 化简化简 000 sin 180 cos sin 180 tan 180 xxxx 解 原式解 原式 sin cos sin tan xxxx sin sin cos sin cos x xxx x 3 sin x 证明 证明 2222 tansintansinxxxx 证 左边证 左边 右边 右边 22222 tansintantancosxxxxx 22 tan 1 cos xx 22 tansinxx 故原命题成立 故原命题成立 2828 已知已知 是方程是方程的两根 求的两根 求的值 的值 tan tan 2 2370 xx tan 解 解 是方程是方程的两根 的两根 tan tan 2 2370 xx 由韦达定理得 由韦达定理得 7 tantan 2 3 tantan 2 A 3 tantan32 2 tan 7 1tantan29 1 2 1 3 2929 已知已知 A A B B C C 三点的坐标分别是三点的坐标分别是 A A 3 3 0 0 B B 0 0 3 3 C C 其中 其中 sin cos 3 22 1 1 若 若 求角 求角的值 的值 ACBC 2 2 若 若 求 求的值 的值 AC BC1 A 2 2sinsin2 1tan 解 解 1 1 由题意 由题意 AC sin3 cos BC sin cos3 ACBC 22 ACBC 化简得化简得 2222 sin3 cossin cos3 sincos 又又 3 22 5 4 9 2 2 由 由得 得 AC BC1 A sin3 sincos cos3 1 化简得 化简得 于是 于是 2 sincos 3 2 5 2sincos sincos 1 9 2 2sinsin22sin sincos 5 2sincos cossin 1tan9 cos 平面向量基础训练题平面向量基础训练题 一 选择题一 选择题 1 若向量 若向量 1 1 1 1 1 2 则 则等于 等于 abcc A B C D ba 2 3 2 1 ba 2 3 2 1 ba 2 1 2 3 ba 2 1 2 3 2 若取两个互相垂直的单位向量 若取两个互相垂直的单位向量 i j 为基底为基底 且已知且已知 a 3i 2j b i 3j 则则 5a 与与 3b 的数量积等于 的数量积等于 A 45 B 45 C 1 D 1 3 O 是是 ABC 所在的平面内的一点 且满足 所在的平面内的一点 且满足 2 0 则 则 ABC 的形状一定为的形状一定为 OB OCOBOCOA A 正三角形 正三角形 B 直角三角形 直角三角形 C 等腰三角形 等腰三角形 D 斜三角形 斜三角形 4 下面的四个命题 下面的四个命题 baba 22 2 baba 若若 若若cabacba 则 0bababa 则 其中真命题是 其中真命题是 A B C D 5 将抛物线 将抛物线的图象按向量的图象按向量平移 使其顶点与坐标原点重合 则平移 使其顶点与坐标原点重合 则 74 2 xxyaa A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 6 下列四个命题 其中正确的个数有 下列四个命题 其中正确的个数有 对于实数对于实数 m 和向量和向量bmambamba 恒有 对于实数对于实数 m n 和向量和向量anamanma 恒有 若若 若若baRmbmam 则有 nmaRnmanam 则有 0 A 1 个个B 2 个个C 3 个个D 4 个个 7 已知 已知 则向量 则向量在向量在向量上的投影为上的投影为 12 5 3 baba且ab A B 3C 4D 5 5 12 8 已知向量 已知向量 3 2 5 1 则 则等于等于 OMONMN 2 1 A 8 1 B 8 1 C 4 D 4 2 1 2 1 9 已知 已知 p q 3 p q 的夹角为的夹角为 则以 则以 a 5p 2q b p 3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为为邻边的平行四边形的一条对角线长为 22 4 A 15 B C 14 D 1615 10 设 设 e1和和 e2是互相垂直的单位向量 且是互相垂直的单位向量 且 a 3e1 2e2 b 3e1 4e2 则 则 a b 等于等于 A 1 B 2 C 1 D 2 11 若 若 a b 1 a b 且且 2a 3b 与与 ka 4b 也互相垂直 则实数也互相垂直 则实数 k 的值为的值为 A 6 B 6 C 3 D 3 12 设 设 a b c 为平面向量 下面的命题中 为平面向量 下面的命题中 a b c a b a c a b c a b c a b 2 a 2 2 a b b 2 若若 a b 0 则 则 a 0 或或 b 0 正确的个数是 正确的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 答案 BACBA CADAC BC 二 填空题二 填空题 13 已知 已知 e 是单位向量 求满足是单位向量 求满足 a e 且且 a e 18 的向量的向量 a 14 设 设 a m 1 i 3j b i m 1 j a b a b 则则 m 10 15 若 若 0 则 则 ABC 的形状为的形状为 ABBC 2 AB 16 把函数 把函数的图象按向量的图象按向量 a 平移 得到平移 得到的图象 且的图象 且 a b c 1 1 b c 4 则 则 b 542 2 xxy 2 2xy 13 18e 14 2 15 直角三角形 直角三角形 16 3 1 17 若 若 则 则的数量积为的数量积为 4120 3ab 4 5ab ba与 18 向量 向量与与共线且方向相同 则共线且方向相同 则 1 ax r 4 bx r x 19 已知 已知 A 3 y B 2 C 6 三点共线 则 三点共线 则 y 5 9 20 已知 已知 3 4 若 若 1 则 则 a b b a b 21 非零向量 非零向量和和满足 满足 则 则与与的夹角等于的夹角等于 a b abab a ab 22 已知 已知 10 12 且 且 3 36 则 则与与的夹角是的夹角是 a b a 5 1 b a b 23 如果 如果 1 2 与与的夹角为的夹角为 则 则等于等于 a b a b 4 ab 三 解答题三 解答题 24 已知向量 已知向量 a e1 e2 b 4 e1 3 e2 其中 其中 e1 1 0 e2 0 1 试计算 试计算 a b 及及 a b 的值 的值 求向量 求向量 a 与与 b 的夹角的余弦值 的夹角的余弦值 解 解 a 1 0 0 1 1 1 b 4 0 0 3 4 3 a b 1 1 4 3 1 a b 5 2 29 10 2 cos ba ba 10 2 arccos 25 已知平面上三个向量 已知平面上三个向量 a b c 的模均为的模均为 1 它们相互之间的夹角均为 它们相互之间的夹角均为 120 求证 求证 a b c 若 若 ka b c 1 k R 求 求 k 的取值范围的取值范围 解 解 且且 a b c 之间的夹角均为之间的夹角均为 120 1 cba 3 分分 0120 120cos ocscbcacbcacbacba 1 1 2 cbkacbka 2 1 2221kabckabck a ab bc cka bka cb c 2 1 cos120 20 2 a ba cb ckk 02 kk 或 26 已知 已知 f A B 22cos2sin32cos2sin 22 BABA 设 设 A B C 为为 ABC 内角 当内角 当 f A B 取得最小值是 求 取得最小值是 求 C 当 当 A B 且且 A B R 时 时 y f A B 的图象通过向量 的图象通过向量 p 的平移得到函数的平移得到函数 y 2cos2A 的图象 求向量的图象 求向量 p 2 解 解 f A B 1 2 1 2 cos 2 3 2 sin 22 BA 由题意由题意 C 或或 C 6 36 2 1 2cos 2 3 2sin B A B A 或 3 2 2 A B 2B 2A 2 f A B cos2A sin2A 3 2cos 2A 3 2cos2 A 3 3 3 6 p 3 6 27 平面直角坐标系内有点 平面直角坐标系内有点 P 1 cosx Q cosx 1 4 4 x 求向量 求向量和和的夹角的夹角 的余弦用的余弦用 x 表示的函数表示的函数 f x OPOQ 求 求 的最值 的最值 解 解 2cosx OP OQOPOQx 2 cos1 11 cos f x x x ODOP ODOP 2 cos1 cos2 cos f x x x x x cos 1 cos 2 cos1 cos2 2