直线与抛物线的位置关系(专题)

抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 叶双能 一 教学目标 1 掌握抛物线的简单几何性质 2 能够熟练运用性质解题 3 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法和弦长问题 4 进一步理解用代数法研究几何性质的优越性 感受坐标法和数形结合的基本思想 二 教学重难点 重点 抛物线的几何性质 难点 抛物线几何性质的运用 易错点 直线与抛物线方程联立时 要讨论二次项系数是否为零 三 教学过程 一 复习回顾 1 抛物线的焦点坐标是 准线方程 2 0 yaxa 2 顶点在在原点 焦点在坐标轴上的抛物线过点 则抛物线的标准方程为 1 4 M 3 过点作斜率为 的直线 交抛物线于 A B 两点 求 2 0M1l 2 4yx AB 二 典例分析 例 1 已知抛物线直线 过定点 斜率为 为何值时 直线 与抛物线 2 4 yx l 2 1P k kl 只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 2 4yx 设计意图 1 类比直线与双曲线的位置关系的处理方法 解决直线与抛物线的位置关系 2 掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法 3 培养学生的运算推理能力和分类讨论的数学思想 变式 1 已知抛物线方程 当为何值时 直线与抛物线 1 只有一xy4 2 bbxyl 个交点 2 有两个公共点 3 没有公共点 4 当直线与抛物线有公共点 时 的最大值是多少 b 例 2 过点作抛物线的弦 恰好被点所平分 4 1Q 2 8yx ABQ 1 求所在的直线方程 2 求的长 AB AB 变式 1 斜率为 的直线 经过抛物线的焦点 F 且与抛物线相交于 A B 两点 求1l 2 4 yx 线段 AB 的长 教材 69 页例 4 方法 一 方程联立求交点坐标根据两点间距离公式 方法 二 方程联立根据韦达定理求运用弦长公式 12 xx 方法 三 数形结合 方程联立根据韦达定理求运用焦点弦公式 12 xx 拓展 标准方程对应的焦点弦公式 12 12 1 p y p ABxx ABy 焦点在x轴上 2 焦点在y轴上 由焦半径公式推导而来 变式 2 已知抛物线与直线相交于两点 2 yx 1 yk x 1 求证 OAOB 2 当的面积等于时 求的值 OAB 10k 1 6 本题主要要熟悉 三角形面积的常见表示方法 1 2 分解成两个共底的三角形的面积之和 利用底乘高的一半公式 变式 3 已知抛物线 C 2 2yx 1 若直线与曲线只有一个交点 求实数的取值范围 1ykxk Ck 2 求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程 0 1PC 3 过点作抛物线弦 恰好被点所平分 求的直线方程和弦的长 1 1ACABAAB AB 1 2 或或 3 1313 0 22 0 x 1y 1 1 2 yx yx 2 2 例例 3 过抛物线的焦点 F 的一条直线和抛物线相交于 2 2ypx 1122 A x yB xy 1 求证 2 2 1212 4 p y ypx x 2 求证 12 2 2 sin p ABxxp 为直线的倾斜角 3 求证 112 FAFBp 4 求证 0 11 A FB90 5 求证 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 6 AFBF求证 以 或 为直径的圆与y轴相切 7 求证 点 A O B1 三点共线 8 若 M 是 A1 B1 的中点 求证AFa BFb MFab 变式练习 若抛物线的方程为 则能得到什么结论 2 2xpy 例 已知抛物线 C 2 4yx 在抛物线上求一点 P 使得点 P 到直线的距离最短 C3yx 2 在抛物线上求一点 P 使得点 到点的距离最近 并求最近的距离 C 3 0A 若点的坐标为 在抛物线上求一点 P 使得最小 并求最小A 1 1C PFPA 值 若点的坐标为 在抛物线 C 上找一点 使得最小 并求最小A 1 4 PFPA 值 在抛物线上求一点 P 使得点 到点距离与 P 到准线的距离之和最小 C 0 2A 并求最小的值 6 求下列函数的最值 1 2 2 1 x y zyxz 7 过抛物线 C 的焦点 F 做互相垂直的两条焦点弦 AB 和 CD 求的最小 ABCD 值 变式 1 过抛物线的焦点 F 做互相垂直的两条焦点弦 AB 和 CD 求 2 4yax 0 a 的最小值 ABCD 变式 2 过定点 M 4 0 作直线 L 交抛物线于 A B 两点 F 是抛物线的焦点 求xy4 2 的面积的最小值 AFB 变式 3 已知抛物线 C 的焦点为 F 过点 F 的直线 L 与 C 相交于 A B 两点 xy4 2 1 若 求直线 L 的方程 2 求的最小值 3 16 ABAB 例 5 已知抛物线的动弦恒过定点 求证 2 2 0 ypx p AB 2 0 Mp 1 OAOB kk 变式 1 若直线 L 与抛物线交于 A B 两点 且 OA OB 求证 直线 0 2 2 ppxy L 过定点 变式 2 如图所示 F 是抛物线的焦点 点为抛物线内一定点 2 2 0 ypx p 4 2A 点 P 为抛物线上一动点 且的最小值为 PAPB 8 求抛物线的方程 若 O 为坐标原点 问是否存在点 M 使过点 的动直线与抛物线交于 两点 且 若存在 求出定点 的坐标 若不存在 请说明理 0OBOC 由 三 练习反馈 1 抛物线上与焦点的距离等于的点的坐标为 2 12yx 9 2 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点 如果 2 8yx 1122 A x yB xy 12 6xx 则 AB 3 已知抛物线的焦点为 F 点在抛物 2 2 0 ypx p 111222333 P x yP xyP xy 线上 且成等差数列 则有 123 x x x A B 123 FPFPFP 222 123 FPFPFP C D 231 2 FPFPFP 2 231 FPFPFP 4 一个正三角形的三个顶点 都在抛物线上 其中一个顶点为坐标原点 求这xy4 2 个三角形的面积 5 直线与抛物线相交于两点 求证 2yx 2 2yx A BOAOB 6 已知直线与抛物线交于两点 且并交 AB 2 2ypx 0 p A B OAOB ODAB 于点 点 的坐标为求的值 2 1 p 第 题图 7 设直线与抛物线交于两点 已知弦 点 P 为抛物线2yxb 2 4yx A B 3 5AB 上一点 求点 P 的坐标 30 PAB S 16 8 9 6 8 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于两点 通过点 A 和抛物线顶点 2 2 0 ypx p A B 的直线交抛物线的准线于点 D 求证 直线 DB 平行于抛物线的对称轴 9 05 北京 如图 O 为坐标原点 过点 且斜率为的直线 交抛物线 2 0Pkl 于两点 2 2yx 1122 M x yN xy 1 写出直线 的方程 2 求与的值 3 求证l 12 x x 12 y yOMON 10 已知直线与抛物线相交 l yxb xy2 2 于 两点 A B 求 1 线段 AB