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三角形中的几何计算 第 1 页 共 5 页 三角形中的几何计算三角形中的几何计算 教学目标教学目标 1 掌握正弦定理 余弦定理 并能运用它们解斜三角形 2 能够运用正弦定理 余弦定理进行三角形边与角的互化 3 培养和提高分析 解决问题的能力 教学重点难点教学重点难点 1 正弦定理与余弦定理及其综合应用 2 利用正弦定理 余弦定理进行三角形边与角的互化 课时安排课时安排 2 课时 教学过程教学过程 一 复习引入一 复习引入 1 正弦定理 正弦定理 2 正弦定理的应用正弦定理的应用 3 余弦定理 余弦定理 即Abccbacos2 222 bc acb A 2 cos 222 Bacacbcos2 222 ca bac B 2 cos 222 Cabbaccos2 222 ab cba C 2 cos 222 4 余弦定理可以解决的问题 余弦定理可以解决的问题 二 例题讲解二 例题讲解 2 13 D8 BC 45C 60B 1 ADBCBD BCABC 求且 上的一点是边中在例 解析 在ABC 中 易得 A 75 由正弦定理得 AB 13 8 在ABD 中 由余弦定理得 三角形中的几何计算 第 2 页 共 5 页 2 222 1348 cos2 BBDABBDABAD 334 AD 例 2 在梯形 ABCD 中 AD BC AB 5 AC 9 BCA 30 ADB 45 求 BD 的长 解析 在ABC 中 由正弦定理得 10 9 sin ABC 10 9 sin sin ABCBAD 在ABD 中 得 BD 2 29 练习 1 在ABC 中 已知 B 45 D 是 BC 边上的一点 AD 5 AC 7 DC 3 求 AB 的长 答案 2 65 2 在四边形 ABCD 中 CD ACD 300 ADC 1200 BDC 450 3 BCD 750 求 AB 的长 答案 35 例 3 如图 若圆内接四边形的边长依次为 25 39 52 和 60 则这个圆的直径长 度为 解析 由余弦定理得 BD2 392 522 2 39 52cos C BD2 252 602 2 25 60cos A A C 180 cosC cos A 392 252 602 522 2 39 52cos A 2 25 60cos A 0 A B C D 三角形中的几何计算 第 3 页 共 5 页 cos A 0 0 A 180 A 90 BD2 392 522 652 BD 65 练习 如图 已知在四边形 ABCD 中 AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 则 BC 的长为 解 设 BD x 在 ABD 中 由余弦定理有 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB 即 142 x2 102 20 xcos 60 x2 10 x 96 0 x 16 x 6 舍去 即 BD 16 在 BCD 中 由正弦定理 BC sin CDB BD sin BCD BC 8 16sin 30 sin 135 2 提示思考 能否利用正弦定理解决 例例 4 如图所示 已知半圆的直径 AB 2 点 C 在 AB 的延长线上 BC 1 点 P 为半圆上 的一个动点 以 PC 为边作等边 PCD 且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧 1 若 POB 试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 的函数 2 求四边形 OPDC 面积的最大值 分析 四边形 OPDC 可以分成OPC 与PCD 其中 sin 2 1 OCOPS OPC 而求PCD 的面积的关键在于求出边长 PC 可在OPC 中利用余弦定理 求出 最终面积最值的获得利用三角函数知识即可 练习 1 在 ABC 中 已知 B 45 求 A C 及 c3 a2 b 三角形中的几何计算 第 4 页 共 5 页 解一 由正弦定理得 2 3 2 45sin3sin sin b Ba A B 45 90 即 b a A 60 或 120 当 A 60 时 C 75 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb c 当 A 120 时 C 15 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb c 解二 设 c x 由余弦定理 Baccabcos2 222 将已知条件代入 整理 解之 016 2 xx 2 26 x 当时 2 26 c 2 13 2 31 2 26 22 3 2 26 2 2 cos 2 222 bc acb A 从而 A 60 C 75 当时同理可求得 A 120 C 15 2 26 c 2 在 ABC 中 已知 C 60 b 4 则 BC 边上的高等于 3 A B 2 C 4 D 6 333 解析 BC 边上的高等于 bsin C 4sin 60 6 3 答案 D 3 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a2 b2 bc sin 3 C 2sin B 则 A 3 A 30 B 60 C 120 D 150
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