高中数学必修5知识点总结(史上最全版)-(1)

解三角形解三角形 一一 三角形中的基本关系 三角形中的基本关系 1 1 sin sin ABC cos cos ABC tan tan ABC 2 2 sin cos cossin tancot 222222 ABCABCABC 3 a b 3 a b 则 则则 则 sinA sinB sinA sinB 反之也成立反之也成立 二二 正弦定理正弦定理 为为的外接圆的半径的外接圆的半径 2 sinsinsin abc R C A RC A 正弦定理的变形公式 正弦定理的变形公式 化角为边 化角为边 2 sinaR A2 sinbR 2 sincRC 化边为角 化边为角 sin 2 a R A sin 2 b R sin 2 c C R sin sin sina b cC A sinsinsinsinsinsin abcabc CC A A 两类正弦定理解三角形的问题 两类正弦定理解三角形的问题 已知两角和任意一边求其他的两边及一角已知两角和任意一边求其他的两边及一角 已知两边和其中一边的对角 求其他边角已知两边和其中一边的对角 求其他边角 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注 意解的情况 一解 两解 无解 意解的情况 一解 两解 无解 三 三 余弦定理 余弦定理 222 2cosabcbc A 222 2cosbacac 222 2coscababC 注意 经常与完全平方公式与均值不等式联系注意 经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论 推论 222 cos 2 bca bc A 222 cos 2 acb ac 222 cos 2 abc C ab 若若 则 则 222 abc 90C 若若 则 则 222 abc 90C 若若 则 则 222 abc 90C 余弦定理主要解决的问题 余弦定理主要解决的问题 1 1 已知两边和夹角求其余的量 已知两边和夹角求其余的量 2 2 已知三边求其余的量 已知三边求其余的量 注意 解三角形与判定三角形形状时 实现边注意 解三角形与判定三角形形状时 实现边 角转化 统一成边的形式或角的形式角转化 统一成边的形式或角的形式 四 三角形面积公式 四 三角形面积公式 等差数列等差数列 1 1 定义 如果一个数列从第定义 如果一个数列从第 2 2 项起 每一项与项起 每一项与 它的前一项的差等于同一个常数 则这个数列它的前一项的差等于同一个常数 则这个数列 称为等差数列 这个常数称为等差数列的公称为等差数列 这个常数称为等差数列的公 差 差 2 2 符号表示符号表示 n 1n 1 1nn aad 三 判断数列是不是等差数列有以下四种方法 三 判断数列是不是等差数列有以下四种方法 1 1 2 1 为常数dndaa nn 可用来证明 可用来证明 2 2 2 2 11 nnn aaa 2 n 可用来证明 可用来证明 3 3 bknan kn 为常数为常数 4 4 是一个关于是一个关于 n n 的的 2 2 次式且无常数项次式且无常数项 12nn saaa 4 4 等差中项等差中项 成等差数列 则成等差数列 则 称为称为 与与 的等差中的等差中 a AbAab 项 若项 若 则称 则称 为为与与的等差中项 的等差中项 2 ac b bac 五五 通项公式通项公式 是一个关于的一次式是一个关于的一次式 一次项系数是公差一次项系数是公差 1 1 n aand 通项公式的推广通项公式的推广 nm aan m d nm aa d nm 六六 等差数列的前等差数列的前 项和的公式 项和的公式 n 注意利用性质特别是下标为奇数注意利用性质特别是下标为奇数 1 2 n n n aa S 是一个关于是一个关于 n n 的的 2 2 次式且次式且 1 1 2 n n n Snad 无常数项无常数项 二次项系数是公差的一半二次项系数是公差的一半 七七 等差数列性质等差数列性质 1 1 若若则则 mnpq mnpq aaaa 2 2 若若则则 2npq 2 npq aaa 3 4 且公差为原公差的一半成等差数列 S n n 5 5 若项数为若项数为 则 则 2n n 21nnn Sn aa 成等差数列 nnn SS 232nn S S S 且且 SSnd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 若项数为若项数为 则 则 21nn 21 21 nn Sna 且且 其中 其中 n SSa 奇偶 1 Sn Sn 奇 偶 n Sna 奇 1 n Sna 偶 6 6 若等差数列 若等差数列 an bn 的前的前 n 项和为项和为 nn ST 则则 八 等差数列前八 等差数列前 n n 项和的最值项和的最值 1 1 利用二次函数的思想利用二次函数的思想 n d an d Sn 2 2 1 2 2 2 找到通项的正负分界线找到通项的正负分界线 若若 则则 有最大值 当有最大值 当 n kn k 时取到的时取到的 最大值最大值 k k 满足满足 0 0 1 d a ns 0 0 1k k a a 0 0 1 d a 12 12 n n n n T S b a 若若 则则 有最大值 当有最大值 当 n kn k 时取到的最时取到的最 大大 值值 k k 满足满足 等比数列等比数列 一 定义 如果一个数列从第一 定义 如果一个数列从第 项起 每一项与项起 每一项与2 它的前一项的比等于同一个常数 则这个数列它的前一项的比等于同一个常数 则这个数列 称为等比数列 这个常数称为等比数列的公称为等比数列 这个常数称为等比数列的公 比 比 二 符号表示 二 符号表示 1n n a q a 注 注 等比数列中不会出现值为等比数列中不会出现值为 0 0 的项 的项 奇数项同号 偶数项同号奇数项同号 偶数项同号 合比性质的运用 合比性质的运用 三 数列是不是等比数列有以下四种方法 三 数列是不是等比数列有以下四种方法 0 2 1 且为常数qnqaa nn 可用来证明 可用来证明 11 2 nnn aaa 2 n 可用来证明 可用来证明 0 0 1k k a a ns n n cqa qc 为非零常数为非零常数 指数式 指数式 从前从前 n n 项和的形式 只用来判断 项和的形式 只用来判断 四四 等比中项等比中项 在在与与 中间插入一个数中间插入一个数 使 使 成等成等 abGaGb 比数列 则比数列 则 称为称为 与与 的等比中项 若的等比中项 若 Gab 2 Gab 则称则称 为为 与与 的等比中项 注 由的等比中项 注 由不不Gab 2 Gab 能得出能得出 成等比 由成等比 由 aGbaGb 2 Gab 五五 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 1 1 n n aa q 通项公式的变形 通项公式的变形 1 1 n m nm aa q 2 2 注意合比性质的利用注意合比性质的利用 n m n m a q a 六 前六 前 项和的公式 项和的公式 n 1 1 1 1 1 1 11 n n n na q S aq aa q q qq A B qA B qn n 则则 A B 0A B 012nn saaa 七 等比数列性质七 等比数列性质 1 1 若若 则 则 mnpq mnpq aaaa 2 2 若若 则则 2npq 2 npq aaa 3 3 通项公式的求法通项公式的求法 1 1 归纳猜想归纳猜想 2 2 对任意的数列对任意的数列 n a 的前的前n项和项和 n S与通项与通项 n a的关的关 系 系 2 1 1 11 nss nas a nn n 检验第检验第 式满不满足第式满不满足第 式 满足的话写一个式 满足的话写一个 式子 不满足写分段的形式式子 不满足写分段的形式 3 3 利用递推公式求通项公式利用递推公式求通项公式 1 1 定义法 定义法 符合等差等比的定义符合等差等比的定义 2 2 迭加法 迭加法 3 3 迭乘法 迭乘法 4 4 构造法 构造法 成等比数列 nnn SS 232nn S S S 1 nn aaf n 1 n n a fn a 1nn aqap 5 5 如果上式后面加的是指数时可用同除指数式如果上式后面加的是指数时可用同除指数式 6 6 如果是分式时可用取倒数如果是分式时可用取倒数 4 4 同时有和与通项有两种方向同时有和与通项有两种方向 一种一种 当当 n n 大于等于大于等于 2 2 再写一式再写一式 两式相减两式相减 可以可以 消去前消去前 n n 项和项和 二种二种 消去通项消去通项 数列求和的常用方法数列求和的常用方法 1 1 公式法公式法 适用于等差 等比数列或可转化为适用于等差 等比数列或可转化为 等差 等比数列的数列 等差 等比数列的数列 2 2 裂项相消法裂项相消法 适用于适用于 1nna a c 其中其中 n a 是各项不是各项不 为为 0 0 的等差数列 的等差数列 c c 为常数 部分无理数列 含为常数 部分无理数列 含 阶乘的数列等 阶乘的数列等 分式且分母能分解成一次式的分式且分母能分解成一次式的 乘积乘积 3 3 错位相减法错位相减法 适用于适用于 nnb a其中其中 n a 是等差数列 是等差数列 n b是各项不为是各项不为 0 0 的等比数列 的等比数列 4 4 倒序相加法倒序相加法 类似于等差数列前类似于等差数列前 n n 项和公式项和公式 的推导方法的推导方法 5 5 常用结论常用结论 1 1 1 2 3 n1 2 3 n 2 1 nn 2 2 1 3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 2 n 3 3 2 333 1 2 1 21 nnn 12 1 6 1 321 2222 nnnn 5 5 1 11 1 1 nnnn 不等式不等式 一 一 不等式的主要性质 不等式的主要性质 1 1 对称性 对称性 abba 2 2 传递性 传递性 cacbba 3 3 加法法则 加法法则 cbcaba 4 4 同向不等式加法法则 同向不等式加法法则 dbcadcba 5 5 乘法法则 乘法法则 bcaccba 0 bcaccba 0 6 6 同向不等式乘法法则 同向不等式乘法法则 bdacdcba 0 0 7 7 乘方法则 乘方法则 1 0 nNnbaba nn 且 且 8 8 开方法则 开方法则 1 0 nNnbaba nn 且 且 9 9 倒数法则 倒数法则 ba abba 11 0 二 一元二次不等式二 一元二次不等式和和及及0 2 cbxax 0 0 2 acbxax 其解法其解法 0 0 0 二次函二次函 数数 cbxaxy 2 的 的0 a 图象图象 21 2 xxxxa cbxaxy 21 2 xxxxa cbxaxy cbxaxy 2 一元二次一元二次 方程方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实有两相异实 根根 2121 xxxx 有两相等有两相等 实根实根 a b xx 2 21 无无 实根实根 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxxx 或 a b xx 2 R R 的解集 0 0 2 a cbxax 21 xxxx 三 含有参数的二次不等式的解法三 含有参数的二次不等式的解法 1 1 二次项系数二次项系数 正负零正负零 2 2 根根 一种一种 能分解因式能分解因式 主要是比较根的大小主要是比较根的大小 二种二种 能分解因式就从判别式进进行行讨论能分解因式就从判别式进进行行讨论 3 3 画图写解集画图写解集 四 线性规划四 线性规划 1 1 在平面直角坐标系中 直线在平面直角坐标系中 直线 同侧的点代入后符号相同 异同侧的点代入后符号相同 异 0 xyCA 侧的点相反侧的点相反 2 2 由由 A A 的符号来确定 先把的符号来确定 先把 x x 的系数的系数 A A 化为正化为正 后 看不等号方向 后 看不等号方向 若是若是 号 则号 则所表示的区所表示的区 0 xyCA 域为直线域为直线 的右边部分 的右边部分 0 xyCA 若是若是 号 则号 则所表示的区所表示的区 0 xyCA 域为直线域为直线 的左边部分 的左边部分 0 xyCA 注意 不包括边界 0 0 或CByAx 包括边界 0 0 CByAx 3 3 求解线性线性规划求解线性线性规划问题的步骤问题的步骤 1 1 画出可行域画出可行域 注意实虚注意实虚 2 2 将目标函数化为直线的斜截式将目标函数化为直线的斜截式 3 3 看前的系数的正负看前的系数的正负 若为正时则上大下小若为正时则上大下小 若若 为负则上小下大为负则上小下大 4 4 非线性问题非线性问题 1 1 看到比式想斜率看到比式想斜率 2 2 看到平方之和想距离 看到平方之和想距离 四 均值不等式四 均值不等式 1 1 设 设 是两个正数 则是两个正数 则称为正数称为正数 的的ab 2 ab ab 算术平均数算术平均数 等差中项等差中项 称为正数称为正数 的的 ab ab 几何平均数 几何平均数 等比中项等比中项 2 2 基本不等式 基本不等式 也称也称均值不等式均值不等式 如果如果 a ba b 是正数 那么是正数 那么 2 2号时取当且仅当即 baab ba abba 注意 注意 使用均值不等式的条件 一正 二定 三相等使用均值不等式的条件 一正 二定 三相等 3 3 平均不等式 平均不等式 a a b b为正数 即为正数 即 当 当a a b b时取等 时取等 ba ab baba 11 2 22 22 4 4 常用的基本不等式 常用的基本不等式 22 2 abab a bR 22 2 ab aba bR 2 0 0 2 ab abab 2 22 22 abab a bR 5 5 极值定理 设 极值定理 设 都为正数 则有 都为正数 则有 xy 若若 和为定值 则当 和为定值 则当时 时 xys xy 积积取得最大值取得最大值 xy 2 4 s 若若 积为定值 则当 积为定值 则当时 时 xyp xy 和和取得最