东北三省三校2012届高三数学第三次联考 理（2012东北三校三模扫描版）新人教A版

用心 爱心 专心1 东北三省三校东北三省三校 20122012 届高三数学第三次联考届高三数学第三次联考 理 理 20122012 东北三校三模 东北三校三模 扫描版 新人教扫描版 新人教 A A 版版 用心 爱心 专心2 用心 爱心 专心3 用心 爱心 专心4 20122012 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 20122012 年长春市高中毕业班第三次调研测试年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题包括 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 10 C 11 B 12 B 简答与提示 用心 爱心 专心5 1 D 集合 22 Axx 113x 则013x 即 1 03 y yxxAyy 故选 D 2 C 由于 32 32 1 323215 1 1 1 222 iiiii zi iii 故选 C 3 B 由题意可知 圆M 22 220 xxyy 的圆心 1 1 到直线l 2xmy 的距离为圆的半径2 由点到直线的距离公式可知1m 或7m 故 选 B 4 A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 2431 0rrrr 故选 A 5 D 由题意 312 32aaa 即 2 111 32a qaa q 可得 2 230qq 3q 或 1q 又已知0q 即3q 2 101215192023 81013171821 9 aaaaaa q aaaaaa 故选 D 6 B 在同一坐标系内画出函数 3cos 2 yx 和 2 1 log 2 yx 的图像 可得交点个数为 3 故选 B 7 C 初始值15 0 1 PTi 第一次循环后2 1 5iTP 第二次循环后 3 2 1iTP 第三次循环后 1 4 3 7 iTP 第四次循环后 1 5 4 63 iTP 因此循环次数应为 4 次 故5i 可以作为判断循环终止的条件 故选 C 8 A 由函数 sin 6 f xAx 0 的图像与x轴的交点的横坐标构成一个公差为 2 的等差数列可知 函数 f x 的周期为 可知 2 即函数 sin 2 6 f xAx cos2g xAx 可将 g x 化为 sin 2 2 g xAx 可知只需将 f x 向左平移6 个单 位即可获得 sin 2 sin 2 6662 f xAxAx 故选 A 9 B 命题 若 6 则 2 1 sin 的否命题是 若 6 则 1 sin 2 是假 命题 因此 正确 命题 0 Rxp 使 0 sin1x 则1sin xRxp完全符 合命题否定的规则 因此 也正确 函数sin 2 yx 为偶函数 的充要条件是 sin1 即 2 k kZ 因此 错误 命题 0 2 px 使 2 1 cossin xx 中 22 sincos2 sincos 2sin 224 xxxxx 当 0 2 x 时 12sin 2 4 x 即 0 2 px 使 2 1 cossin xx 为假命题 而命题 qABC 在 中 若sinsinAB 则AB 为真命题 可知命 题 p q为真命题 因此 正确 一共有 3 个正确 故选 B 10 C 双曲线 22 22 1 xy ab 的右焦点F是抛物线 2 8yx 的焦点可知2c 又5PF 可 知P到抛物线的准线2x 的距离为 5 可设 3 Pm 根据两点间距离公式可得到 用心 爱心 专心6 2 6m 将双曲线 22 22 1 xy ab 方程化为 22 22 1 4 xy aa 代入点P的坐标并求解 关于 2 a的一元二次方程 可求得 2 1a 或 2 36a 又 22 ca 可将 2 36a 舍去 可知 2 1a 即1a 或根据双曲线定义得 2a PF2 PF1 2 综上可知双曲线 的离心率为 2 2 1 c e a 故选 C 11 B 由题意可知四棱锥SABCD 的所有顶点都在同一个球面上 底面ABCD是正方 形且和球心O在同一平面内 当体积最大时 可以判定该棱锥为正四棱锥 底面在球 大圆上 可得知底面正方形的对角线长度为球的半径r 且四棱锥的高hr 进而可 知此四棱锥的四个侧面均是边长为2r的正三角形 底面为边长为2r的正方形 所 以该四棱锥的表面积为 22222 3 4 2 2 2 32 2 32 44 3 4 Srrrrr 因此 2 2r 2r 进而球O的体积 3 448 2 2 2 333 Vr 故选 B 12 B 首先选择题目 从 4 道题目中选出 3 道 选法为 3 4 C 而后再将获得同一道题目的 2 位老师选出 选法为 2 4 C 最后将 3 道题目 分配给 3 组老师 分配方式为 3 3 A 即 满足题意的情况共有 323 443 144C C A 种 故选 B 二 填空题 本大题包括4 小题 每小题5 分 共20 分 13 314 46 5 15 0a 且 0q 16 3 5 7 9 简答与提示 13 利用分步计数原理与组合数公式 符合题目要求的项有 4 2 x x 和 4 1x 求和后可 得 3x 即x的系数为 3 14 由体对角线长10 正视图的对角线长6 侧视图的对角线长5 可得长方体的 长宽高分别为5 2 1 因此其全面积为2 5 152 1 2 46 5 15 由 1nn SS 得 当1q 时 1 0 nn SSa 当1q 时 1 0 n nn SSaq 即 0a 10q 综合可得数列 n S单调递增的充要条件是 0a 且0q 16 根据指数函数的性质 可知函数 1 1 0 1 x f xmmm 恒过定点 1 2 将点 1 2 代入 50axby 可以得 25ab 对2 ab ab 作如下变形 1555 1212 2 2 142 52 ab baba ab ab abababab 由于 1 2 始终落在所给圆的内部或圆上 所以 22 585 24 ab 用心 爱心 专心7 由 22 25 585 24 ab ab 解得 1 2 a b 或 3 1 a b 这说明点 a b 在以 1 2 A 和 3 1 B 为端点的线段上运动 所以 b a的取值范围是 1 2 3 从而 ba ab 的取值范围是 10 2 3 进一步可以推得2 ab ab 的取值范围是 3 5 7 9 三 解答题 本大题必做题 5 小题 三选一选 1 小题 共 70 分 17 本小题满分12分 命题意图 本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简 并且考查利用三 角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域 试题解析 解 由 mnmn 可知 0mnm n 然而 2cos 1 mB 2 2cos 1 sin2 42 B nB 1 sin 1 sin2 BB 所以 2cossin21 sin22cos10m nBBBB 1 cos 2 B 3 B 5 分 222222 231 sinsinsin cossin 322 ACsin AAsin AAA 222 533313 cossincossinsincos 442422 sin AAAAAAA 31 1 cos23 sin231 1sin2cos2 4222244 AA AA 1311 1 sin2cos2 1sin 2 22226 AAA 9分 因为 3 B 所以 2 0 3 A 即 7 2 666 A 即 1 sin 2 1 62 A 所以 13 3 1sin 2 264 2 A 即 22 sinsinAC 的取值范围是 3 3 4 2 12分 18 本小题满分12分 命题意图 本小题主要考查统计与概率的相关知识 具体涉及到统计图的应用 二 项分布以及数学期望的求法 试题解析 平均年限 10 10 15 1020 2525 2030 15 22 80 n 年 4 分 所求概率 22222 1010252015 2 80 137 632 CCCCC P C 8 分 由条件知 9 10 16 B 所以 945 10 168 E 12 分 19 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心8 命题意图 本小题主要考查立体几何的相关知识 具体涉及到线面的垂直关系 二面角的求法 空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法 试题解析 解 由四边形 11A ADD 是正方形 所以 DAAD 11 又 1 AA 平面 ABCD 90 ADC 所以 DCADDCAA 1 而 1 AAADA 所以 DC 平面 DDAA 11 DCAD 1 又 1 ADDCD 所以 1 AD 平面 11DCB A 从而 CBAD 11 4 分 以D为坐标原点 DA DC 1 DD 为坐标轴建立空间直角坐标系 Dxyz 则易 得 0 1 2 B 2 0 2 2 2 0 11 AC 设平面 1 ABD 的法向量为 1111 zyxn 则由 0 0 11 1 DAn DBn 求得 1 2 1 1 n 设平面 BDC1 的法向量为 2222 zyxn 则由 0 0 12 2 DCn DBn 求得 2 2 1 2 n 则根据 6 6 cos 21 21 nn nn 于是可得 6 30 sin 9 分 3 设所给四棱柱的体积为 V 则 6 1 AASV ABCD 又三棱锥 ABDA 1 的体积等 于三棱锥 111 CDAB 的体积 记为 1 V 而三棱锥 111 CDAD 的体积又等于三棱锥 CBDC 1 的体积 记为 2 V 则由于 3 2 212 2 1 3 1 1 V 3 4 222 2 1 3 1 2 V 所以所求四面体的体积为 222 21 VVV 12 分 20 本小题满分 12 分 命题意图 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力 具体涉及到椭圆 方程的求法 直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识 试题解析 当直线l与 x 轴垂直时 由 2 12 22 2 AMBN b Sa a 得1b 又 22 2MFABF N 所以 2 2 2 b acac a 即2ac 又 22 1ac 解得2a 因此该椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 设 1122 A x yB xy 而 2 0 2 0 MN 用心 爱心 专心9 所以 11 2 AMxy 11 2 ANxy 22 2 BMxy 22 2 BNxy 从而有 22 111222 2 2 2 2 AM ANBM BNxxyxxy 222222 121212121212 4 2 24xxyyxxx xyyy y 6 分 因为直线l过椭圆的焦点 1 0 所以可以设直线l的方程为1 xtytR 则 由 2 2 1 2 1 x y xty 消去x并整理 得 22 2 210tyty 所以 12 2 2 2 t yy t 12 2 1 2 y y t 8 分 进而 1212 2 4 2 2 xxt yy t 2 1212 2 22 1 1 2 t x xtyty t 可得 2 22 2222 42221 2 2 4 2222 tt AM ANBM BN tttt 222 86 2 2tt 10 分 令 2 2tm 则2m 从而有 2 2 86139 8 88 AM ANBM BN mmm 而 11 0 2m 所以可以求得AM ANBM BN 的取值范围是 9 0 8 12 分 21 本小题满分 12 分 命题意图 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力 具体涉及到用导数来研 究函数的单调性 极值以及函数零点的情况 试题解析 令 ln10fxx 得 1 x e 当 1 0 x e 时 0fx 当 1 x e 时 0fx 所以函数 f x在 1 0 e 上单调递减 在 1 e 上单调递增 3 分 由于0 x 所以 11 lnln 22 f xxxkxkx x 构造函数 1 ln 2 k xx x 则令 22 1121 0 22 x k x xxx 得 1 2 x 当 1 0 2 x 时 0k x 当 1 2 x 时 0k x 所以函数 k x在点 1 2 x 处取得最小值 即 min 11 ln11 ln2 22 k xk 因此所求的k的取值范围是 1 ln2 7 分 结论 这样的最小正常数m存在 解释如下 ln ln xx f axf aeaxaxaa e ln ln a xa axaxaa ee 用心 爱心 专心10 构造函数 ln x xx g x e 则问题就是要求 g axg a 恒成立 9 分 对于 g x求导得 2 ln1 lnln1ln xx xx xexx exxx g x ee 令 ln1lnh xxxx 则 1 ln1h xx x 显然 h x 是减函数 又 1 0 h 所以函数 ln1lnh xxxx 在 0 1 上是增函数 在 1 上是减 函数 而 2 222222 111122 ln1ln2 10 e h eeeeee 1 ln1 1 ln110h ln1ln1 120h eeeeee 所以函数 ln1lnh xxxx 在区间 0 1 和 1 上各有一个零点 令为 1 x和 2 x 12 xx 并且有 在区间 1 0 x和 2 x 上 0 h x 即 0g x 在区间 12 x x上 0 h x 即 0g x 从而可知函数 g x在区间 1 0 x和 2 x 上单 调递减 在区间 12 x x上单调递增 1 0g 当01x 时 0g x 当 1x 时 0g x 还有 2 g x是函数的极大值 也是最大值 题目要找的 2 mx 理由是 当 2 ax 时 对于任意非零正数x 2 axax 而 g x在 2 x 上单调 递减 所以 g axg a 一定恒成立 即题目所要求的不等式恒成立 说明 2 mx 当 2 0ax 时 取 2 xxa 显然0 x 且 2 g axg xg a 题目所 要求的不等式不恒成立 说明m不能比 2 x小 综合可知 题目所要寻求的最小正常数m就是 2 x 即存在最小正常数 2 mx 当am 时 对于任意正实数x 不等式 x f axf a e 恒成立 12 分 注意 对于 1 x和 2 x的存在性也可以如下处理 令 ln1ln0h xxxx 即 1 ln 1 x x 作出基本函数lnyx 和 1 1 y x 的 图像 借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程 1 ln 1 x x 有两个正实数根 1 x和 2 x 且 1 01x 2 1x 实际上 2 2 24x 可知函数 g x在区间 1 0 x和 2 x 上单调递减 在区间 12 x x上单调递增 1 0g 当01x 时 0g x 当1x 时 0g x 还有 2 g x是函数的极大值 也是最大值 22 本小题满分 10 分 命题意图 本小题主要考查平面几何的证明及其运算 具体涉及圆的性质以及三角形 相似等有关知识内容 试题解析 因为MA为圆的切线 所以 2 MAMB MC 又M为PA中点 所以 2 MPMB MC 因为BMPPMC 所以BMP 与PMC 相似 5 分 由 中BMP 与PMC 相似 可得MPBMCP 在MCP 中 由180MPBMCPBPCBMP 用心 爱心 专心11 得 180 20 2 BPCBMP MPB 10 分 23 本小题满分 10 分 命题意图 本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识 具体涉及到极坐标方程 与平面直角坐标方程的互化 直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容 试题解析 对于曲线 M 消去参数 得普通方程为 2 1 2 xxy 曲线M 是抛物线的一部分 对于曲线 N 化成直角坐标方程为 tyx 曲线 N 是一条直线