高考数学总复习6.2等差数列及其前n项和课件文新人教B版.ppt

6 2等差数列及其前n项和 考纲要求 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数 二次函数的关系 1 等差数列的有关概念 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母 表示 定义表达式为 或 2 同一个常数 d an an 1 d 常数 n N n 2 an 1 an d 常数 n N 3 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m N 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n N 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 若 an bn 是等差数列 公差为d 则 pan qbn 也是等差数列 n m d ak al am an 2d 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m N 是公差为 的等差数列 6 数列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差数列 7 S2n 1 2n 1 an md 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 数列 an 满足an 1 an n 则数列 an 是等差数列 6 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 答案 1 2 3 4 5 6 1 2015 重庆 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6等于 A 1B 0C 1D 6 解析 由等差数列的性质 得a6 2a4 a2 2 2 4 0 选B 答案 B 2 2016 全国卷 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 A 100B 99C 98D 97 解析 设等差数列 an 的公差为d 因为 an 为等差数列 且S9 9a5 27 所以a5 3 又a10 8 解得5d a10 a5 5 所以d 1 所以a100 a5 95d 98 选C 答案 C 3 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和S11等于 A 58B 88C 143D 176 答案 B 4 设数列 an 是等差数列 若a3 a4 a5 12 则a1 a2 a7等于 A 14B 21C 28D 35 解析 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 答案 C 5 已知数列 an 对任意的p q N 满足ap q ap qq 且a2 6 那么a10等于 A 165B 33C 30D 21 解析 由ap q ap aq 得an 1 an a1 数列 an 成等差数列 且公差d a1 a2 a1 d 6 得a1 d 3 a10 3 9 3 30 答案 C 题型一等差数列基本量的运算 例1 1 2016 浙江温州五校上学期开学测试 已知等差数列 an 中第2项为606 前4项和S4为3834 则该数列第4项为 A 2004B 3005C 2424D 2016 答案 1 D 2 A 方法规律 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n Sn 知其中三个就能求另外两个 体现了方程的思想 跟踪训练1 1 2015 课标全国 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则S5等于 A 5B 7C 9D 11 2 2016 江苏 已知 an 是等差数列 Sn是其前n项和 若a1 a 3 S5 10 则a9的值是 答案 1 A 2 20 方法规律 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出Sn An2 Bn后 根据Sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 跟踪训练2 2017 云南第一次统一检测 已知等比数列 an 的前n项和是Sn S18 S9 7 8 1 求证 S3 S9 S6成等差数列 2 a7与a10的等差中项是否是数列 an 中的项 如果是 是 an 中的第几项 如果不是 请说明理由 题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质 例3 1 2016 洛阳统考 在等差数列 an 中 a3 a9 27 a6 Sn表示数列 an 的前n项和 则S11 A 18B 99C 198D 297 2 2016 常德一模 已知 an 为等差数列 若a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 则a19 a20 a21 答案 1 B 2 20 命题点2等差数列前n项和的最值 例4 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为Sn 且S10 S15 求当n取何值时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 n N 当n 12或13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 方法三由S10 S15得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 引申探究 例4中 若条件 a1 20 改为a1 20 其他条件不变 求当n取何值时 Sn取得最小值 并求出最小值 跟踪训练3 1 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当Sn取最大值时 n的值是 A 5B 6C 7D 8 2 2016 湖南株洲二中月考 已知Sn是等差数列 an 的前n项和 且S6 S7 S5 给出下列五个命题 d 0 S11 0 S12 0 数列 Sn 中的最大项为S11 a6 a7 其中正确命题的个数是 A 5B 4C 3D 1 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和Sn的最大值为 解析 1 依题意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又数列 an 是等差数列 因此在该数列中 前6项均为正数 自第7项起以后各项均为负数 于是当Sn取最大值时 n 6 选B 答案 1 B 2 C 3 110 高频小考点6等差数列的前n项和及其最值 典例 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和S10等于 A 45B 60C 75D 90 2 在等差数列 an 中 S10 100 S100 10 则S110 3 等差数列 an 中 已知a5 0 a4 a7 0 则 an 的前n项和Sn的最大值为 A S4B S5C S6D S7 思维点拨 1 求等差数列前n项和 可以通过求解基本量a1 d 代入前n项和公式计算 也可以利用等差数列的性质 a1 an a2 an 1 2 求等差数列前n项和的最值 可以将Sn化为关于n的二次函数 求二次函数的最值 也可以观察等差数列的符号变化趋势 找最后的非负项或非正项 答案 1 A 2 110 3 B 温馨提醒 1 利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时 要注意到n N 2 利用等差数列的性质求Sn 突出了整体思想 减少了运算量 方法与技巧1 在解有关等差数列的基本量问题时 可通过列关于a1 d的方程组进行求解 2 证明等差数列要用定义 另外还可以用等差中项法 通项公式法 前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列 3 等差数列性质灵活使用 可以大大减少运算量 4 在遇到三个数成等差数列问题时 可设三个