潘海涛数学论文2

I 摘 要 在中学数学问题解题能力培养与研究的过程中 数学思想方法是培养解题能力的 精髓 多向探索 提高解题能力是目的 因此 本文阐述了中学常见数学思想方法及 如何渗透并让学生了解和掌握这些方法 具体讲解了怎样通过发散思维 化归 灵活 运用基础知识等方法提高学生的解题能力 关键词 数学思想 解题能力 教学策略 教学方法 II Abstract Mathematical thinking and methods are the essence during the cultivation and study of solving mathematical questions in the middle school a goal to improve the ability is to explore in many ways The paper elaborates the common mathematical thinking methods and how to seep and enable students to understand and grasp these methods It is explained specifically how to improve students ability of solving through the radiation thought the reduction flexible use of elementary knowledge and so on Key words mathematical thinking ability of solving problems teaching strategies teaching methods III 目 录 摘要 I Abstract II 前言 1 第 1 章 渗透数学思想 培养解题能力 2 第 1 节 中学数学中常见的思想方法 2 第 2 节 数学思想方法的渗透实施 4 第 2 章 多向探索 提高解题能力 9 第 1 节 利用发散思维特性 提高解题能力 9 第 2 节 灵活运用化归方法 提高解题能力 10 第 3 节 熟练运用知识 提高解题能 力 12 第 3 章 建构教学策略 完善解题能力 17 第 1 节 设置适当问题情境的教学 17 第 2 节 注重整体性的教学 18 结论 19 参考文献 20 致谢 21 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 1 前前 言言 如何培养学生的解题能力 是一个较复杂的问题 从 20 世纪 80 年代中期开始 不少国家在中学教学改革中都把问题解决作为学校教学的一个中心问题 我国更是重 视如何培养学生的解题能力 著名的数学教育家波利亚 G Polya 也曾强调指出 中学数学的首要任务是加强解题训练 掌握数学意味着什么呢 这就是说善于 解题 不仅善于解一些标准的题 而且善于解一些要求独立思考 思路合理 见解独 到和有发明创造的题 可见在数学教学中 解题是基本的和主要的活动形式 无论 是形成概念 掌握命题 还是训练技能 都必须通过解题活动来实现 在解题训练中 所形成的一般能力 用于解决问题的思维方式 以及在解题过程中逐渐形成的探索意 识 一丝不苟和锲而不舍的科学精神 能够迁移到其他解决问题的场合 使人终生受 益 因此 解决问题历来是数学教育领域的热门话题 数学解题能力在数学教学过程中占有重要地位 通过解题活动可获取知识 培养 良好的思维品质 不断提高分析问题和解决问题的能力 使学生充分掌握所学知识 发挥其应有作用 为培养和提高数学解题能力打下基础 提高数学解题能力是数学教 学中一项十分重要的任务 数学教学质量的高低在很大程度上取决于学生解题能力的 强弱 我们必须把提高解题能力贯穿于教学始终 放在十分重要的位置 教师的教学 策略对学生的解题能力也是有着巨大影响的 教师的解题教学在潜移默化当中会影响 学生 促进他们完善发展自己的解题所需要的各方面能力 本文对数学思想方法进行 了基本概述 对中学生解题能力的培养 提高和完善的策略进行了积极探索 中学生数学问题解决能力的培养与研究是必要的 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 2 第 1 章 渗透数学思想 培养解题能力 第 1 节 中学数学中常见的思想方法 中学课程的数学常称为现代的初等数学 随着教育的不断改革 知识的不断发展 它不仅包含属于 17 世纪以前的常量数学 还包括一些 17 世纪以后的古典高等数学 甚至蕴涵着近现代的数学思想方法和符号语言 因此数学思想对培养解题能力起到很 重要的作用 这里将着重阐述一些中学常见的数学思想方法 1 归纳的思想方法 人们认识事物 有两个过程 一个是由特殊到一般的归纳 另一个是由一般到特 殊的演绎 归纳的方法依据其概括的对象是否完全 又分为不完全归纳法和完全归纳 法 数学中反映某类对象的本质属性或规律的定义或定理建构教学策略 完善解题能 力公理 性质 公式 法则等 往往采用不完全归纳 抽象出概念 概括出规律 不 完全归纳法对发现事物的属性或规律起了重要作用 完全归纳法是指考察了一类事物 的全部对象 肯定了他们都具有某一属性或规律 从而得到这类事物都具有这一属性 或规律的一般结论 在解决某一数学问题时 如果采用不完全归纳法或完全归纳法来 做 我们就称这两种思想方法为 归纳的思想方法 归纳的思想是中学数学证题的 重要思想方法之一 归纳的思想方法有以下三个特点 考察对象的同质性 所得结论 的同一性和归纳过程的完备性 2 构造的思想方法 在解决数学问题时 根据该问题的背景 结构特点 通过观察 联想 恰当的构 造出对学习者来说己经认识了的某个数学模型 并将欲解 证 的问题转化为已研究过 的数学模型的特征 由此通向达到解决原数学问题的目的 这种解决数学问题的思想 我们称之为 构造的思想方法 因此 构造法又称模型法 而模型是一种结构 我 们通常用的构造法实际就是狭义的数学模型 在运用构造法时 一要明确构造的目的 即为什么目的而构造 二要弄清己知命题的特点 以便依据特点 确定方案 实现构 造 在运用构造法时还要注意构造出的数学模型要保证能反映出原命题的本质特征 构造出的数学模型 既能进行理性分析 又要能进行计算和逻辑推理 在构造出的数 学模型所获得的结果一定是原命题的解题目标 并经过检验 对于不符合原命题的解 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 3 题目标的结果应予以舍弃 3 整体的思想方法 众所周知 数学概念是对一类客观现象经过整体性思考 抽象 概括而形成的 数学运算法则是从同一类运算实践的整体中 经过归纳 概括而建立起来的 解答数 学问题是纵观条件和结论的整体情境之后 通过对数学方法的运用环节不断调节而求 得的结果 数学各个分支之间 空间形式与数量关系之间 都表现出高度的协调一致 呈现着和谐的数学美 这一切都说明数学是一个有机的整体 因此在研究某些数学问题时 往往不是着眼于问题的各个组成部分 而是有意识 的放大考察问题的 视角 将需要解决的问题看作一个整体 通过研究问题的整体 形式 整体结构 整体功能或作种种整体处理以后 达到顺利而又简洁地解决问题的 目的 像这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程 我们称它为 整体的思想方 法 整体的思想方法在中学数学里有很充分的体现 4 分类讨论的思想方法 在自然界中人们常以 物以类聚 来认识自然界中成千上万的事物 又以 分门 别类 来研究纷繁复杂的事物对象 在研究与解决数学问题时 根据数学对象的本质属性的相同点不同点 将对象区 分为不同种类 然后逐类进行研究与解决 从而达到研究与解决全问题的目的 这一 思想方法 我们称它为 分类讨论的思想方法 分成不同的种类研究是在转化 最 终达到全问题的解决又是在整合 分类讨论的思想方法 是研究与解决数学问题的 重要思想方法之一 也是科学研究中最常用最基本的方法之一 分类讨论思想方法在 函数中有着具体运用 5 函数的思想方法 函数在中学数学中占有非常大的比例 因此运用函数思想解题必须引起我们足够 的重视 以运动变化的观点 分析和研究具体问题的数量关系 通过函数的形式 把 这种关系表现出来 并加以研究 从而使问题获得解决 或运用函数的有关性质 解 决本身即为函数的某些问题 或对于一些从形式上看是以非函数的问题出现 但经过 适当的数学变换或构造 使这一非函数问题转化为函数的形式 并运用函数的有关性 质来处理这一问题 进而使原数学问题得到顺利地解决 上述这一思想方法 我们称 之为 函数的思想方法 在构造函数的过程中也体现着基元与整体的数学思想 解 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 4 数学题时 以函数为主导 结合具体函数性质 可以使很多数学问题化难为易 化繁 为简 是一个很重要的解题策略 在中学解题时还有一种方程的思想方法与函数的思 想方法非常类似 6 数形结合的思想方法 在解决数学问题时 根据问题的背景和可能 使数的问题 借助形去观察 而形 的问题 借助数去思考 采用这种 数形结合 来解决数学问题的策略 我们称之为 数形结合的思想方法 数形结合最大的优点就是直观 形象 实践证明 如果能给 数学命题以直观图像的描述 揭示出命题的几何特征 就能变抽象为形象 就能使抽 象思维和形象思维在解题过程中相互运用 从而使初看很难或繁琐的问题变得容易和 简单 数形结合的基本思路是 根据题设 构造出与之相适应的几何图形 并利用图 形的特征和规律 解决数的问题 或将图形信息部分或全部转换成代数信息 削弱或 清除形的推理部分 使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论 除上述常见数学思想方法外 还有一些其它的数学思想方法 例如在高中常见的 极限方法 微分方法等等 第 2 节 数学思想方法的渗透实施 在当前的中学数学教学中 有些教师缺乏数学思想方法教学的意识性 主要表现 在制定教学目的时 对具体内容 技能训练的教学要求比较明确 而忽视数学思想方 法的教学要求 在教学过程中 往往强调记结论 削弱具体知识形成过程中思想方法 的训练 在具体知识应用过程中 又偏重于就题论题 忽视数学思想方法的提炼 在 小结时 注重具体知识系统的整理 忽视思想方法的提高 致使数学教学停留在较低 的层次上 因此教师加强数学思想方法的教学 首先要从思想上不断提高对数学思想 方法教学重要性的认识 有意识地从教学目的的确定 教学过程的实施 教学效果的 落实等各个方面来体现 2 12 1 充分挖掘教材中隐含的数学思想方法 中学教材内容是由具体知识内容与数学思想方法组成的有机整体 其体系是沿具 体知识的纵向展开 而蕴含在具体知识中的各种思想方法是纵横交错 有很大的隐蔽 性 因此 必须深入钻研教材 充分挖掘教材中有关的数学思想方法从两方面入手 一方面挖掘在某个知识点上可以进行哪些数学思想方法的教学 另一方面又要研究某 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 5 个重要的数学思想方法可以在哪些知识点教学中进行渗透 例如 在分析高中数学新 教材 数列 时 我们看到 数列是一种离散型函数 项的序号是它的自变量 项是 它的函数值 它渗透了集合 函数及对应思想 由数列的前几项求数列的通项公式 推导等差数列 等比数列的通项公式与前项和公式 运用了归纳猜想 类比猜想思n 想方法 根据数列的通项公式 判断一个数是不是数列中的项的问题 体现了方程思 想 求等差数列前项和的最大值问题 渗透了函数及数形结合思想方法 已知三个n 数成等差数列 或等比数列 给出一些条件求个数 往往把这三个数设为 以简化计算 渗透了对称思想 深入 挖掘 的结果 竟发daada aqa q a 或 现 数列 这一部分内容蕴含的数学思想方法如此之多 例如 数形结合思想方法 在初三年级通过直角坐标系的建立 结合正 反比例 一次 二次函数的教学 学生 初步理解数形结合思想方法 在高中的集合 绝对值不等式 一元二次不等式 指数 函数 对数函数 三角函数的教学中进一步理解 通过直线和圆的方程 圆锥曲线的 学习 建立曲线与方程的对应关系 进一步加深认识 达到掌握程度 通过利用平面 向量 空间向量 复数解决几何问题主要运用数形结合的思想方法 2 22 2 有计划 有步骤地渗透 运用有关的数学思想方法 教师在充分挖掘教材中数学思想方法 最好把数学思想方法的教学落实到课堂教 学活动中去 备课时 把掌握具体数学知识和掌握数学思想方法同时纳入教学目的 要在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程 课堂上 有计划 有目的 有步骤地渗透 运用 提炼有关的思想方法 1 在概念的学习过程中渗透介绍数学思想方法 概念学习过程中 我们可以适时渗透介绍数学思想方法 具体而言 数学概念形 成一般要经历 具体 抽象 具体 的过程 即先给出问题 给出基本事实 实际背 景 引导学生从问题出发分析 抽象 概括出数学概念 教师要抓住教学时机 介绍 归纳 演绎推理方法 特别是归纳法 在中学数学概念形成过程中 充满着 归纳法 如子集 次方根 函数单调性与奇偶性 指数函数与对数函数 等差数列与等比n 数列等概念的学习 另外 我们要借助符号 图形 图象的直观形象性 帮助学生形 成概念 这一过程也是对数形结合思想方法的渗透 以概念同化方式学习数学概念 往往伴随着某些数学思想方法的运用 如由等差数列的定义类比出等比数列的定义 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 6 用映射思想定义函数 一一映射思想定义反函数 用函数思想看 数列 用数学思 想方法指导概念学习 可以更好地在概念教学中突破难点 使学生理解概念更顺利 促进学生数学概念认知结构发展 2 在定理 公式 法则 的学习过程中渗透运用数学思想方法 定理 公式 法则 的教学应遵循 过程教学原则 即一个命题怎样被提出来 提出来后又如何加以证明 证明之后如何加以应用 这一思维过程都应充分展现 并 启发学生去感受 体验 弄清知识的来龙去脉 在这一过程 必然结合着数学思想方 法的渗透运用 如在教学指数函数的性质时 先让学生动手画指数函数与 x y2 的图象 在同一坐标系 接着师生共同观察图象特征 分析两个图象的相同 x y 2 1 点与不同点 归纳出当时与当时一般的指数函数 两1 a10 a x ay 1 0 aa 种情况的性质 这一过程运用了数形结合 特殊到一般 分类对比等思想方法 在教 学生对数函数的图象与性质时 可以跟指数函数的图象与性质类比 以使学生简化记 忆 又如借助于已证明的对数运算性质 1 去证明运算性质 NMMN aaa logloglog 0 0 1 0 NMaa 2 NMNN N M NN N M N M aaaaaaaa logloglog logloglogloglog 再者证出余弦的和角公式 之后 把 sinsincoscos cos 看成 看成 从 cos cos sin 2 cos 2 cos 而得出两角和与差的正弦 余弦 正切公式 以上这种把新课题转化归结到已经解决 的旧课题上加以解决 是化归思想的典型运用 归纳是数学发现的一项重要方法 应 该在推导结论的教学中体现出来 鼓励学生创新 鼓励学生发现 就要从多观察 多 归纳做起 如等差数列的性质教学 一般处理方法是运用已学的等差数列的通项公式 去推出等差数列的性质 但若是以 问题解决 的形式组织这堂课 先给出几个具体 的等差数列 问它们有什么共同特点 有什么共同性质 学生观察 试算 讨论 修 正 归纳出等差数列的定义 性质 再要求学生利用等差数列的定义证明其性质 并 在证明受阻时引入等差数列的通项公式 归纳思想 这样循序渐进大大激发了学生的 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 7 学习兴趣 3 在解题过程中运用 训练数学思想方法 解数学题时 我们总是引导学生用化归思想把陌生的转化为熟悉的 复杂的转化 为简单的 难的转化为易的 抽象的转化为具体的 如在高中数学学习中 有一类由 一元二次函数 指数函数或对数函数生成的比较复杂的方程 不等式 函数问题 我 们往往把这些复杂的方程 不等式 如函数通过换元或其它等价变换方法转化归结为 一元二次方程 一元二次不等式 二次函数的问题 于是学生深深感到这 三个二次 问题的重要 其实 在这类解题过程中 转化 更关键 例 1 若关于的方程有实根 试求的取值范围 x01222 aa xx a 分析 令 则原方程等价于 学生往往认为 t x 201 2 atat02 x t 所以方程只能有正根 于是原题等价于方程有两01 2 atat01 2 atat 正根 若方程有一正一负根 取正根时 由 知有一实数 101 2 atattt x 2x 解 t 取负根时 由知没有实数解 于是原方程有一实根 t x 2x 若方程有一正一零根 同上分析 原方程也有一实根 201 2 atat 因此 两种情况都符合题意 故原题等价于方程有两正根 1 201 2 atat 一正一负根或一正一零根三种情况 利用一元二次方程的根与系数的关系 问题迎刃 而解 把一元二次方程根的问题转化为一元二次函数的图象 抛物线 与轴的交点的x 问题 解 设 1 2 atattf 则函数的图象如图 1 1 tf 观察图象可知 0 0 0 0 0 0 2 f f a t 或 由此解得的取值范围 a 上面介绍了两种解法 在实际教学中会发现学生对这两种解过程的前一阶段的 图 1 1 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 8 转化 工作感到困难 那么有没有使学生更容易接受的方法呢 有利用常量与变量 互相转化的方法 它是辩证思想的运用 原方程是关于的方程 是变量 是参数 若把移到01222 aa xx xxaa 一边 得到 把看成是的函数 并对函数形式进行变换 12 122 x x aax 2 12 2 12 12 2 12 2 12 12 12 22 x x x xx x x a 因为 可利用均值不等式求函数的值域 即得的取值范围 012 x a 一题多解 教学是对不同数学思想方法的运用 训练 同时能有效培养了学生 思维的发散性 灵活性 广阔性 敏捷性 优化思维品质 并内化为学生的数学能 力 于 一题多解 相对的是 多题归一 它也是一种有效的解题教学方式 这种教 学方式是把在知识点上有一定跨越的题目 由于可以用同一种数学思想方法解决 编 成题组进行教学 其目的是明确一种数学思想方法 突出用一种数学思想方法把体现 不同知识点的题目沟通起来 有利于学生掌握其中的解题规律 使学生真正从题海中 解放出来 4 在小结复习过程中提炼数学思想方法 一节课 一个单元 一章结束时要小结 小结复习是必要的 通过小结复习 强 化重点内容 提炼数学思想方法 沟通知识间的联系 帮助学生构建一张有序的 立 体的 系统的知识网络网络化的知识便于检索与记忆 使学生对不同的知识融会贯通 灵活运用 改进和完善学生的数学认知结构 在小结复习过程中 对一个阶段的教材 内容中所蕴含的主要数学思想方法进行提炼 目的是促使学生进一步有意识应用 如 集合与简易逻辑 章末小结时 通过一个关于含有字母参数的集合 不等式的例题 题组教学 揭示分类讨论思想方法的涵义 使用规则及注意事项 三角函数 一章 中 大量运用了化归思想 在这一章知识小结时 要把化归思想进一步明确化 指出 化归思想的涵义 化归思想的三要素 化归对象 化归目标 化归途径 常用的化归 方法 途径 向量 是数形结合的典范 如用向量的代数运算 或坐标运算 证明几 何题 或向量的运算 性质 法则 命题需用几何图形解释 因此在这一章小结时 要明确数形结合思想方法的特点 使学生在后继的学习中也能有意识运用数形结合思 想方法 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 9 第 2 章 多向探索 提高解题能力 提高数学解题能力是数学教学中一项十分重要的任务 数学教学质量在很大程度 上取决于学生解题能力的强弱 我们必须把提高解题能力贯穿于教学始终 放在十分 重要的位置 第 1 节 利用发散思维特性 提高解题能力 发散思维 具体地讲 就是依据定理 公式和已知条件 产生多种想法 提出新 的设想 发现和解决新问题 发散思维富于联想思路宽阔 善于分解 组合 引申 推广 灵活采用各种变通方法等 它具有流畅性 变通性等特性 在数学教学中利用 这些特性 可以培养学生学习兴趣 提高解题能力 1 利用流畅性 速解基础题 发散思维的流畅性 是指思维者畅通无阻 迅速灵活 善于联想 能在较短时间 内表达较多的要领和原理 在数学基础题的解题过程中 充分利用发散思维的流畅性 既要注意横向联系 又要注意纵向联系 融汇贯通 达到思维的流畅 例 1 设 求的值 6 zyx 333 2 2 2 2 2 2 3 zyx zyx p 分析 分子是三个量的积 分母是三个量的立方和 联想以前学过的式子 3 222333 cabcabcbacbaabccba 容易思考出用代换的方法求解 解 设 则 ax 2by 2cz 20 cba 于是有 abccba3 333 cba 0 222 cabcabcba 所以 333 cba abc3 故 1 p 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 10 2 利用变通性 巧解思考题 发散思维的变通性 是指在思维过程中随机应变 触类旁通 不受消极定势的束 缚 及时地转换思维方向 在思考题的求解过程中利用变通性 往往可以另辟蹊径 独树一帜 例 2 求 1999 1 4 1 3 1 2 1 p 1999 2 4 2 3 2 1999 3 5 3 4 3 的和 1999 1998 1999 1997 1998 1997 分析 常规解法是先对括号求和 再相加 而括号求和十分困难 于是下面变换 角度 1999 1 1998 1 4 1 3 1 2 1 p 1999 2 1998 2 4 2 3 2 1999 3 1998 3 4 3 1999 1998 1998 1997 1999 1998 可以看出每一列上的分母均相同 可以先求每列的和 就大大减轻了计算量 解 1999 1998 1999 2 1999 1 3 2 3 1 2 1 p 2 1998 2 3 2 2 2 1 2 19981999 2 1 5 9985000 第 2 节 灵活运用化归方法 提高解题能力 化归方法是指在解决问题的过程中 不对问题进行直接求解 而对其进行变形 转化 直至把它化归为简单的问题 化归方法具有广泛的适用性 在数学学习和研究 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 11 中起着十分重要的作用 教学中若能适时渗透和总结化归方法 必将提高学生的认识 水平和解决问题的能力 1 化归熟悉法 化归熟悉法就是根据熟悉化的原则 在熟悉掌握基本知识和技能的基础上 将题 中不熟悉的内容和条件 用已有的知识 经验和方法寻找解决问题的思路 例 1 解方程组 43223 64832 yx yx 分析 不同底数幂的指数方程不熟悉 需要化为熟悉的同底数幂指数方程 解 原方程组可化为 34 43 3223 3232 yx yx 两边相乘 相除 得同解方程组 2 3 32 3232 77 xyyx yxyx 4 3 1 7 2 3 2 3 66 7 y x xy yx xy yx 2 化归简单法 化归简单法就是抓住问题的本质及内在联系 通过对条件或结论进行转化 变形 将复杂的问题化归为简单的问题 从而使问题易于解决 例 2 已知二次方程其中为正整数 问为何值时 074 12 2 2 axaaxaa 此方程至少有一个整数根 分析 此题按常规解法需分析解是整数的情况 难以下手 若先将方程变形为 2 2 72 x x a 解 由为正整数 从而将问题化归为在整数范围内解不等式a 1 2 72 2 x x 于是可解得 此时 对应的值为 1 0 1 3 xa1 4 7 5 1 进而只有当或 方程至少有一个整数根 1 a5 a 3 化归和谐法 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 12 化归和谐法就是将问题的表现形式化归为更加符合数学内部和谐统一的形式 使 问题本质逐步显现出 从而使问题得到解决 例 3 在 ABC 中 证明 a acb cB AA 2 2 cot 2 cot 2 csc 4 cot 分析 等式左边是关于三角形角的关系 右边是关于三角形边的关系 不和谐 需向和谐统一化归 证明 左边 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 1 4 tan 1 C C B B AA 22 sin 2 sin 2 sin 2 sin1 4 cos2 2 CBA CBA 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos AA CBA 2 cos 2 sin22 2 cos 2 sin 2 sin4 AA ACB 右边 A ACB sin2 sinsinsin a acb 2 总之 解题是一个十分重要的复杂的思维过程 不仅与所学的知识有关 而且涉 及到心理学 逻辑学 思维科学和数学方法论等众多领域 大量实践证明 教会学生 方法比教会学生做几道题更重要 学生只有真正学会分析问题的方法 具有解决问题 的能力 才能完全从题海中解出来 真正实现素质教育 因此 培养和提高数学解题 能力是一项长期的复杂的工作 第 3 节 熟练运用知识 提高解题能力 中学生的思维是以具体形象思维为主 容易产生消极的思维定势 造成一些机械 思维模式 干扰解题的准确性和灵活性 为了排除学生类似的消极思维定势的干扰 在解题中 要努力创造条件 引导学生从各个角度去分析思考问题 凭借自己的知识 水平能力 对某一问题从不同的角度 不同的方位去思考 创造性地解决问题 训练 求异思维通常运用的方法有 一题多解 一题多变 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 13 3 1 一题多解 对于同一道题 从不同的角度去分析研究 可能会得到不同的启示 从而引出多 种不同的解法 在教学中 不失时机地通过引导学生进行 一题多解 的训练 通过 广泛的联想 使我们的思维触角伸向不同的方向 不同的层次 这样不仅能巩固所学 知识 而且能较好地培养学生思维的广阔性 例 1 求函数的值域 x x y cos3 cos3 解法一 有界性法 由 得 因为 所以 x x y cos3 cos3 y y x 1 1 3 cos1cos x1 1 1 3 y y 解之得 即所求函数的值域为 2 2 1 y 2 2 1 解法二 分离变量法 由 得 因为 所以 x x y cos3 cos3 x y cos3 6 1 1cos x4cos32 x 因此 即所求函数的值域为 3 cos3 6 2 3 x 2 cos3 6 1 2 1 x 2 2 1 解法三 判别式法 设 2 tan x t 由 得 即 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 x x x 2 tan24 2 tan42 2 2 x x y 2 2 24 42 t t y 可化为 由判别式可得 024 42 2 yty 0 24 42 yy 解得 即所求函数的值域为 2 2 1 y 2 2 1 要求学生认真比较几种解法的利弊与依据 然后启发学生 一道好题能激发人的 兴趣 引导人的思想 启迪人的思维 在平时的学习中应养成探索不同的方法解题的 习惯 这样才能更好地提高解题的能力 通过一题多解 既能促使学生沟通知识点间的联系 又培养了学生的思维能力提 高了解题能力 从中学到了 转化策略 数形结合 函数与方程 等基本的数学思 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 14 想 同时也让学生通过对比 小结 得出自己的体会 充分发掘自身的潜能 从而提 高自己的解题能力 这不仅引导学生多方法 多视角思考问题和发现问题 形成良好 的思维品质 而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心 也极大地激发学生学习数 学的积极性和浓厚的兴趣 从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性 3 2 一题多变 我们在解决问题时最好是能够联系我们接触过的例题 利用类比 迁移解决当前 的问题 数学问题形式多样 千姿百态 由于思维定势产生的负效应 学生解题时往 往墨守成规 故思维灵活性的培养在解题教学中 主要表现为一题多变 即善于根据 题设中的具体情况 及时地提出新的设想和可能变化的图形 不固执己见 不拘泥于 陈旧的思想 中学生解题时 往往受解题动机的影响 因局部感知而干扰整体的认 识 要消除这种干扰 就必须进行一些一题多变的训练 例 2 已知关于 的方程组其解是什么 xy 134 1323 kyx kyx 解 134 1323 kyx kyx 2 1 整理得 把代人得 2 2 3 1 57 kx57 kx 1 79 ky 所以原方程组的解是 79 57 ky kx 变式一 对于上述方程组 为何值时 kyx 解 由题意 得 解得所以当时 原方程组的解满7957 kk1 k1 k 足 yx 变式二 对于上述方程组 为何值时 k0 yx 解 根据题意 得 7957 079 057 kk k k 解得 所以当时 原方程组的解满足 9 7 1 k 9 7 1 k0 yx 变式三 对于上述方程组 试问 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 15 是否存在这样的值 使得方程组的解满足为非正数 为非负数 若存在 kxy 求出 k 的取值范围 若不存在 请说明理由 是否存在这样的值 使得方程组的解满足为非负数 为非正数 若存在 kxy 求出的取值范围 若不存在 请说明理由 k 解 由题意 得 解方程组得 079 057 k k 7 5 9 7 k 故存在这样的值 即当时 原方程组的解满足为非正数 为非负k 7 5 9 7 kxy 数 由题意 得 解得不等式组的解集为空集 079 057 k k 故不存在这样的值 使得方程组的解满足为非负数 为非正数 kxy 变式四 若 都是负整数 且取大于的整数 求值 并化xyk5 k 简 4 kk 解 因为 都是负整数 取大于的整数 所以xyk5 4 时当 k 2979 2357 ky kx 3 时当 k 2079 1657 ky kx 2 时当 k 1179 957 ky kx 1 时当 k 279 257 ky kx 0 时当 k 不合题意 舍去 779 557 ky kx 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 16 显然 当取比 0 大的整数时 都不是负整数 所以值kxyk 为 因为 所以 1234 14 k444 kkkk 通过一题多变训练既可扩大学生的视野 又可引导学生认识到当常规思维受阻时 可变换思维寻求新的解题途径 使学生思维的灵活性在变换与化归的训练中得到培养 和发展 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 17 第 3 章 建构教学策略 完善解题能力 美国学者埃金认为 教学策略是根据教学任务的特点选择适当的方法 中国心 理学家瑞珍认为教学策略是教学过程中 为达到一定的教学目标而采取的相对系统的 行为 从中不难看出 教学策略具有动态的教学活动维度和静态的内容构成维度 综 合上述观点 教学策略是教师在教学活动中进行有效教学的规则 方法 技巧及其调 控 在中学数学教学中 多种有效的数学教学策略的综合运用 对形成学生良好的数 学认知结构完善解能力是有积极的作用 第 1 节 设置适当问题情境的教学 教学是帮助他人发展或改变观念的 教师的一项重要任务是从学生实际出发 通 过提供或设置适当的问题情境或现实实例促使学生思考 从而让学生最终通过其主动 的再发现 再创造构建新的认知结构 这里所指的 问题 是数学问题 涵盖数学知识 数学技能 数学原理 数学思 维 所指的 情境 是一种 氛围 它具有两个特征 1 它能激发人们去主动联想 想象和思维 以获得某种形象或思维成果 2 它能使学生产生某种情感体验 一 创设问题情境的意义 创设问题情境能促进学生数学认知中的非智力因素的发展 完善数学认知结构 组织和指导学生的数学学习活动 关键是教学方法的情感化 也只有当学生被设 计的课堂情境所感染 或思维进入预定的情境之中时 教学才能取得预期效果 问题 情境的创设 有利于激发学生的求知欲和思维积极性 有利于学生面对适当难度 经 受磨练 尝试成功 借此促进学生数学认知中的非智力因素 在调查中 实验班有 75 56 学生认为 数学课最吸引他学习的是课堂中有趣的问题情境 在与学生访谈 中 大多数学生认为问题情境能让他们身临其境感受数学的产生 发展过程 并形成 长时记忆 创设问题情境有利于数学认知结构的建构 问题情境创设应把握两个着力点 一 是要用问题拴住学生 能使学生卷入情境 通常是把教学建立在引起数学认知冲突的 问题之上 让学生能克服一定的困难去完成 二是要在学生原有知识和所要完成的学 绥化学院 2009 届本科生毕业论文 18 习目标间搭建 支架 使问题序列形成台阶 二 创设问题情境的方法 布鲁纳认为 没有反应就没有教学 因此在教学过程中要仔细观察学生的不同的 反应 教学是在刺激反应和纠正反思中进行的 教学过程是信息双向传递的过程 学 生对学习是双向建构过程 设置 陷阱 情境 让学生参与讨论 在讨论反馈中自觉 地辨析正误 从而增长识别正误的经验 提高对数学问题的正确理解 建构的实质 是要结合教材内容和学生的实际情况 创设探索 发现的情境 提出有利于学生自主 建构的教学问题 对学生形成一种智力活动的刺激 引导学生积极主动地去获取知识 和发展智力 第 2 节 注重整体性的教学 建构主义提出 自上而下 的教学设计思路 即首先呈现整体性的任务 学生通 过自己发现完成整体任务所需首先完成的子任务 以及完成各级任务所需的各级知识 技能 有序性即反映学生有层次分明的观念网络结构 是良好数学认知结构特征之一 因此要建构学生良好数学认知结构 教学中必须注重数学教学的整体性 首先要注重知识组块的教学 在四边形这一章教学中 学生学习了平形四边形 菱形 矩形 正方形的性质和判定 如果不作进一步的加工与整理 那么这些孤立的 知识是难以保持和应用 学生头脑中只会是理不清 剪不断的知识链条 引导学生把 这些知识放在一起进行比较 分析 最后概括为新的知识组块 菱形特殊在边 矩形 特殊在角 其次实施由整体到部分 再由部分到整体的教学 数学知识结构是由若干部分组 成的有机整体 它具有严密的逻辑性和较强的系统性 整体是由部分构成的 要把握 整体 就要先揭示整体的结构和掌握部分 要让数学知识结构转化为学生的数学认知 结构 注意实施由整体到部分的教学 在部分功能不变的情况下 整体功能的大小取 决于各个部分的联系 在掌握部分之后 要根据各个部分之间关系 如从属关系 交 叉关系 矛盾关系 对立关系 逻