【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第8篇 第6讲 空间向量及其运算限时训练 理

1 第第 6 6 讲讲 空间向量及其运算空间向量及其运算 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 在下列命题中 若向量a a b b共线 则向量a a b b所在的直线平行 若向量a a b b所在的直线为异面直线 则向量a a b b一定不共面 若三个向量a a b b c c两两共面 则向量a a b b c c 共面 已知空间的三个向量a a b b c c 则对于空间的任意一个向量p p总存在实数x y z使 得p p xa a yb b zc c 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 a a与b b共线 a a b b所在直线也可能重合 故 不正确 根据自由向量的意义知 空间任两向量a a b b都共面 故 错误 三个向量a a b b c c中任两个一定共面 但它们 三个却不一定共面 故 不正确 只有当a a b b c c不共面时 空间任意一向量p p才能 表示为p p xa a yb b zc c 故 不正确 综上可知四个命题中正确的个数为 0 故选 A 答案 A 2 若向量a a 1 1 x b b 1 2 1 c c 1 1 1 满足条件 c c a a 2b b 2 则 x A 4 B 2 C 4 D 2 解析 a a 1 1 x b b 1 2 1 c c 1 1 1 c c a a 0 0 1 x 2b b 2 4 2 c c a a 2b b 2 1 x 2 x 2 答案 D 3 若 a a b b c c 为空间的一组基底 则下列各项中 能构成基底的一组向量是 A a a a a b b a a b b B b b a a b b a a b b C c c a a b b a a b b D a a b b a a b b a a 2b b 解析 若c c a a b b a a b b共面 则c c a a b b m a a b b m a a m b b 则a a b b c c为共面向量 此与 a a b b c c 为空间向量的一组基底矛盾 故 2 c c a a b b a a b b可构成空间向量的一组基底 答案 C 4 如图所示 已知空间四边形OABC OB OC 且 AOB AOC 则 cos 的值为 3 OA BC A 0 B 1 2 C D 3 2 2 2 解析 设 a a b b c c OA OB OC 由已知条件 a a b b a a c c 且 b b c c 3 a a c c b b a ca c a ba b a ca c a b a b 0 cos 0 OA BC 1 2 1 2 OA BC 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 在下列条件中 使M与A B C一定共面的是 填序号 2 OM OA OB OC OM 1 5OA 1 3OB 1 2OC 0 0 MA MB MC OM OA OB OC 解析 0 则 为共面向量 即 MA MB MC MA MB MC MA MB MC M A B C四点共面 答案 6 在空间四边形ABCD中 AB CD AC DB AD BC 解析 如图 设 a a b b c c AB AC AD a a c c b b b b a a c c c c b b a a 0 AB CD AC DB AD BC 答案 0 3 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知非零向量e e1 1 e e2 2不共线 如果 e e1 1 e e2 2 2e e1 1 8e e2 2 3e e1 1 3e e2 2 求证 A B C D共面 AB AC AD 证明 令 e e1 1 e e2 2 2e e1 1 8e e2 2 v 3e e1 1 3e e2 2 0 则 2 3v e e1 1 8 3v e e2 2 0 e e1 1 e e2 2不共线 Error 易知Error 是其中一组解 则 5 0 AB AC AD A B C D共面 8 13 分 如右图 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 G为 BC1D的重心 1 试证 A1 G C三点共线 2 试证 A1C 平面BC1D 3 求点C到平面BC1D的距离 1 证明 CA1 CB BA AA1 CB CD CC1 可以证明 CG 1 3 CB CD CC1 1 3CA1 即A1 G C三点共线 CG CA1 2 证明 设 a a b b c c 则 a a b b c c a CB CD CC1 且a ba b b cb c c ac a 0 a a b b c c c c a a a a b b c c c c a a CA1 BC1 CA1 BC1 c c2 2 a a2 2 0 即CA1 BC1 同理可证 CA1 BD 因此A1C 平面BC1D CA1 BC1 3 解 a a b b c c 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 3a a2 2 CA1 CA1 即 a 因此 a CA1 3 CG 3 3 即C到平面BC1D的距离为a 3 3 分层 B 级 创新能力提升 1 2013 海淀月考 以下四个命题中正确的是 A 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B 若 a a b b c c 为空间向量的一组基底 则 a a b b b b c c c c a a 构成空间向量的另 一组基底 4 C ABC为直角三角形的充要条件是 0 AB AC D 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析 若a a b b b b c c c c a a为共面向量 则a a b b b b c c c c a a 1 a a 1 b b c c 不可能同时为 1 设 1 则a a b b 1 1 c c 则a a b b c c为共面向量 此与 a a b b c c 为空间向量基底矛盾 1 答案 B 2 如图所示 在长方体ABCDA1B1C1D1中 M为A1C1与B1D1的交 点 若 a a b b c c 则下列向量中与相等的 AB AD AA1 BM 向量是 A a a b b c c B a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 C a a b b c c D a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 解析 BM BB1 B 1M AA1 1 2 AD AB c c b b a a a a b b c c 1 2 1 2 1 2 答案 A 3 已知在一个 60 的二面角的棱上 如图有两个点 A B AC BD分别是在这个二面角的两个半平面内 垂直于AB的线段 且AB 4 cm AC 6 cm BD 8 cm 则CD的长为 解析 设 a a b b c c BD AB AC 由已知条件 a a 8 b b 4 c c 6 a a b b 90 b b c c 90 a a c c 60 2 2 c c b b a a 2 CD CA AB BD a a2 2 b b2 2 c c2 2 2a ba b 2a ca c 2b cb c 68 则 2 CD 17 答案 2 cm 17 4 如图 空间四边形OABC中 5 OA 8 AB 6 AC 4 BC 5 OAC 45 OAB 60 则OA与BC所成角的 余弦值等于 解析 设 a a b b c c OA OB OC OA与BC所成的角为 a a c c b b a a c c a a b b a a a a a a a a OA BC AC AB a a2 2 a a a a2 2 a a 24 16 AC AB 2 cos OA BC OA BC 24 16 2 8 5 3 2 2 5 答案 3 2 2 5 5 如图所示 平行六面体ABCDA1B1C1D1中 以顶点A为端点的三条棱长都为 1 且两两 夹角为 60 1 求AC1的长 2 求BD1与AC夹角的余弦值 解 1 记 a a b b c c AB AD AA1 则 a a b b c c 1 a a b b b b c c c c a a 60 a ba b b cb c c ac a 1 2 2 a a b b c c 2 a a2 b b2 c c2 2 a ba b b cb c c ac a AC1 1 1 1 2 6 1 2 1 2 1 2 即AC1的长为 AC1 66 2 b b c c a a a a b b BD1 AC 6 BD1 2 AC 3 b b c c a a a a b b b b2 a a2 a ca c b cb c 1 BD1 AC cos BD1 AC BD1 AC BD1 AC 6 6 AC与BD1夹角的余弦值为 6 6 6 如图所示 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于 1 点E F G分别是AB AD CD的中点 计算 1 2 3 EG的长 EF BA EF DC 4 异面直线AG与CE所成角的余弦值 解 设 a a b b c c AB AC AD 则 a a b b c c 1 a a b b b b c c c c a a 60 1 c c a a a a b b c c EF 1 2BD 1 2 1 2 BA DC a a a a2 2 a ca c EF BA 1 2c c 1 2a a 1 2 1 2 1 4 2 c c a a b b c c EF DC 1 2 b cb c a ba b c c2 2 a ca c 1 2 1 4 3 a a b b a a c c b b EG EB BC CG 1 2 1 2 1 2 a a b b