91版-概率作业6 7 8(改3)

概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 1 页 共 25 页 第第 6 章章 样本及抽样分布 作业详解 样本及抽样分布 作业详解 一一 填空题填空题 1 设总体设总体 其中其中未知未知 已知已知 设设是来自总体是来自总体 X 的一个样本的一个样本 2 NX 2 n XXX 21 作样本函数如下作样本函数如下 1 2 3 2 1 1 n i i X n 2 1 n i i X 2 1 1 n i i XX n 4 5 2 1 1 1 n i i XX n 2 1 1 1 1 2 1 n i ii XX n 这些样本函数中这些样本函数中 是统计量的有是统计量的有 1 3 4 5 解解 由统计量的定义由统计量的定义 1 3 4 5 不含有未知参数不含有未知参数 2 若 若 X Y 是随机变量是随机变量 X N 0 1 且且 X 与与 Y 相互独立相互独立 2 nY 则则 ntTPnt n Y X T ntTP 1 解 由解 由 t 分布的性质分布的性质 1 1 1 ntTPntTPntTP 3 若随机变量若随机变量 X 和和 Y 相互独立相互独立 且都服从且都服从 而而和和分别为分别为 3 0 2 N 921 XXX 921 YYY 来自总体来自总体 X 和和 Y 的简单随机样本的简单随机样本 则统计量则统计量服从服从 t 9 分布分布 2 9 2 2 2 1 921 YYY XXX U 自由度为自由度为 9 解解 由于由于 1 0 9 9 0 9212 921 N XXX NXXX 9 2 1 1 0 3 iN Yi 9 9 1 22 9 2 2 2 1 YYY 由由 t 分布的定义分布的定义 9 99 1 9 1 2 9 2 2 2 1 921 2 9 2 2 2 1 921 t YYY XXX YYY XXX U 4 若随机变量若随机变量 X 服从服从的分布 则的分布 则服从服从分布分布 21 nnF X Y 1 12 nnF 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 2 页 共 25 页 解解 由定义由定义 其中其中 21 2 1 nnF nV nU F 2 1 Un 2 2 Vn 则则 1 12 1 2 nnF nU nV F 二二 选择题选择题 1 在下列结果中不正确的是在下列结果中不正确的是 C A 若若 X Y 都服从标准正态分布都服从标准正态分布 且且 X 与与 Y 相互独立相互独立 则则 2 222 YX B 若若 且且 X 与与 Y 相互独立相互独立 则则 10 2 X 15 2 YX 5 2 Y C 设设是来自于总体是来自于总体样本样本 是是的样本均值的样本均值 n XXX 21 2 NXX n XXX 21 则则 2 1 2 2 n XX n i i D 设设与与都是来自于总体都是来自于总体的样本的样本 并且相互独立并且相互独立 n XXX 21 n YYY 21 2 NX 与与分别是两个样本的样本均值分别是两个样本的样本均值 则则XY 1 1 1 2 1 2 nnF YY XX n i i n i i 解解 由由分布的定义及可加性知分布的定义及可加性知 A B 正确正确 又又 2 由由 F 分布的定义分布的定义 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 n YY n XX n i i n i i 故故 D 正确正确 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 nnF YY XX YY XX n i i n i i n i i n i i C 错是由于错是由于 1 2 1 2 2 n XX n i i 2 对于给定的正数对于给定的正数 设设分别是分别是 10 21 2 nnFntnz 分布的上分布的上分位点分位点 则下列的结论中不正确的是则下列的结论中不正确的是 B 1 0 21 2 nnFntnN A B 1 nznz 2 1 2 nn C D 1 ntnt 1 12 211 nnF nnF 解解 由由 F 分布的性质分布的性质 D 正确正确 又由正态分布和又由正态分布和 t 分布的上分布的上分位点的定义及图形的对称性知分位点的定义及图形的对称性知 A C 正确正确 而而图形不具有对称性故图形不具有对称性故 B 错错 2 n 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 3 页 共 25 页 3 对于给定的正数对于给定的正数 设设是标准正态分布的上是标准正态分布的上分位点分位点 则下面的结论中正确的则下面的结论中正确的10 z 是是 D A B 1 2 zZP 2 zZP C 1 2 zZP D 2 zZP 解解 由由标准正态分布的上标准正态分布的上分位点的性质知分位点的性质知 z 2 2 ZZP 2 1 2 zZP 2 zZP 1 2 zZP 所以所以 A B C 都错都错 D 正确正确 三 计算题三 计算题 1 设设是来自于总体是来自于总体 X N 9 40 的样本 求样本均值与总体均值之差的绝对值的样本 求样本均值与总体均值之差的绝对值 1021 XXX 大于大于 1 的概率的概率 解 所以 10 40 9 1040 9 NXNNX 1 0 2 9 N X Y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 19 YPYPYP X PXP 6170 0 6915 0 125 012 2 1 12 2 1 2 YPYP 2 设设是来自于总体是来自于总体 N 0 4 的一个样本的一个样本 当当 a b 为何值时为何值时 321 XXX 2 3 2 21 34 bXXXaY 服从服从分布分布 并求其自由度并求其自由度 2 解 依题意是独立同分布 321 XXX 034 21 XXE 100494163434 2 2 1 2 21 XDXDXXD 4 0 33 XDXE 1 0 2 1 0 10 34 321 N X N XX 与相互独立 于是 10 34 21 XX 2 3 X 2 210 34 2 2 3 2 21 Xxx 所以当时 统计量服从分布其自由度为 2 4 1 100 1 baX 2 3 设总体设总体 是来自于总体是来自于总体 X 的一个样本的一个样本 求概率求概率 2 NX 1621 XXX 是多少是多少 2 16 1 2 2 16 1 2 2 i i XP 解 假若是来自于总体的一个样本 则 n XXX 21 2 NX 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 4 页 共 25 页 16 1 2 2 2 16 i i X 2 16 1 2 2 2 16 1 2 i i XP 832328 16 1 2 2 16 1 2 2 16 1 2 2 i i i i I i X P X P X P 328 16 1 2 2 16 1 2 2 i i i i X P X P 经查表得 94 0 01 0 95 0 2 16 1 2 2 16 1 2 2 i i XP 4 设总体服从设总体服从 由总体由总体 X 得到容量为得到容量为 17 的样本的样本 2 NX 17 XXX 21 令令试求常数试求常数 k 使使 17 117 1 i i XX 2 17 1 2 17 17 1 XXS i i 95 0 17 kSXP 解 由于服从自由度为的 分布 而 161 nn S X n S X 161 nt 95 0 4 16 17 17 k S X PkSXP 查 分布临界值表 得 即 t7459 1 4 k4365 0 k 5 设总体 设总体 是来自是来自 X 的样本 求的样本 求 2 nX 10 XXX 21 2 SEXDXE 解 由于总体总体 则则 E X n D X 2n 2 nX nXEXE 5 10 n XD XD nXDSE2 2 第第 7 章章 参数估计参数估计 作业作业 1 一 填空题一 填空题 1 设某总体设某总体 X 的密度函数为的密度函数为 其其它它 0 0 2 2 xx xf 对容量为对容量为 n 的子样的子样 参数参数的矩估计量为的矩估计量为 n XXX 21 X3 解 解 矩估计量为矩估计量为 所以 所以XdxxxXE 3 2 0 2 X3 2 设总体 设总体 X 的数学期望的数学期望 及方差及方差都是有限的 则都是有限的 则 与与的矩法估计量为的矩法估计量为 2 2 X 2 S 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 5 页 共 25 页 解 由极大似然函数的定义即得 解 由极大似然函数的定义即得 二 计算题二 计算题 1 某糖厂用自动打包机装糖 现从糖包中随机地取得 某糖厂用自动打包机装糖 现从糖包中随机地取得 4 包 质量 单位 包 质量 单位 kg 为 为 99 3 98 7 100 5 101 2 试用矩估计法估计这批糖包的平均质量试用矩估计法估计这批糖包的平均质量和离散度和离散度 解 平均质量 925 99 7 399 4 1 2 101 5 100 7 98 3 99 4 1 4 1 4 1 i i xx 2222 2 1 99 399 92598 799 925100 599 925101 299 925 4 s 2 11 0 390625 1 5006250 330625 1 6256253 8475 44 1324752 1 2 设总体 设总体 X 的密度函数为的密度函数为 其其它它 0 1 0 1 xx xf 其中其中是未知参数是未知参数 为来自总体的一个容量为为来自总体的一个容量为 n 的简单随机样本的简单随机样本 试求试求的的1 n XXX 21 矩估计量矩估计量 解 矩估计法 因为 2 1 1 1 0 1 dxxdxxxpXE 又因为 解之得 n i i X n XXE 1 1 X 2 1 X X 1 12 3 设总体 设总体 X 的分布律为的分布律为 设样本容量为 设样本容量为 n 0 1 0 xe p xx x 求求的的矩矩估计量估计量 解 矩估计量法 这个分布是泊松分布 所以服从这个分布的随即变量的数学期望为 因 此用矩估计量法得到估计量xx n n i i 1 1 4 设设 为参数 求未知为参数 求未知 xmxx m ppCxXPX 1 ppmx 10 2 1 0 参数参数 p 的矩估计量 的矩估计量 解 矩估计量法 这个分布是二项分布 所以服从这个分布的随即变量的数学期望为 mp 因此用矩估计量法得到估计量 xx n mp n i i 1 1 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 6 页 共 25 页 m x p 5 设总体设总体 X 以等概率以等概率取值取值 求未知参数求未知参数的矩估计值 的矩估计值 1 2 1 解 由矩估计法 n i i X n XXE 1 1 由于 2 1 2 1 1 XE 1 2 x 第第 7 章章 参数估计参数估计 作业作业 2 一 一 选择及填空题选择及填空题 1 设 设 是参数是参数的两个估计量的两个估计量 下列正确的是下列正确的是 D 1 2 A 则称则称为比为比有效的估计量有效的估计量 21 DD 1 2 B 则称则称为比为比有效的估计量有效的估计量 21 DD 1 2 C 是参数是参数的的 2 个无偏估计量个无偏估计量 则称则称为比为比有效的估计量有效的估计量 1 2 21 DD 1 2 D 是参数是参数的的 2 个无偏估计量个无偏估计量 则称则称为比为比有效的估计量有效的估计量 1 2 21 DD 1 2 解 当解 当 是参数是参数的的 2 个无偏估计量时 个无偏估计量时 则称则称为比为比有效的估有效的估 1 2 21 DD 1 2 计量 所以计量 所以 D 正确 正确 A B C 不正确 不正确 2 设 设是来自于总体是来自于总体 X 的样本的样本 X 的分布函数的分布函数含未知参数含未知参数 n XXX 21 XF 则则 C A 用矩估计法和极大似然估计法求出的用矩估计法和极大似然估计法求出的估计量相同估计量相同 B 用矩估计法和极大似然估计法求出的用矩估计法和极大似然估计法求出的估计量不同估计量不同 C 用矩估计法和极大似然估计法求出的用矩估计法和极大似然估计法求出的估计量不一定相同估计量不一定相同 D 用极大似然估计法求出的用极大似然估计法求出的估计量是唯一的估计量是唯一的 解 用矩估计法和极大似然估计法求出的解 用矩估计法和极大似然估计法求出的估计量不一定相同 故估计量不一定相同 故 C 正确 正确 3 设 设是在是在上服从均匀分布总体上服从均匀分布总体 X 中得到的中得到的 n 个样本值个样本值 则用最大似然法则用最大似然法 12 n XXX 0 估计估计时其似然函数是时其似然函数是 12 12 1 0 0 nn n xxx L xxx 其 其其 其 二 计算题二 计算题 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 7 页 共 25 页 1 设设 0 0 0 2 2 2 2 x xe x xf x 试用试用 X 的样本的样本求求最大似然估计最大似然估计 21n XXX 解 样本的似然函数为 12 n XXX 2 2 2 2 1 1 22 2 2 11 n i i i x nnx n i i ii x Lexe 而 2 2 11 1 ln 2 lnln 2 nn ii ii Lnxx 令 2 3 1 21 ln 0 n i i n Lx 解得 的极大似然估计值为 n i i X n 1 2 2 1 2 设某种电子器件的寿命设某种电子器件的寿命 T 以小时计 服从双参数的指数分布 其概率密度为 以小时计 服从双参数的指数分布 其概率密度为 其其它它 0 1 cte tf ct 其中其中为未知参数 自一批这种器件中随机地取为未知参数 自一批这种器件中随机地取 n 件进行寿命试验 设它们的失件进行寿命试验 设它们的失 0 cc 效时间依次为效时间依次为 求求与与 c 的最大似然估计的最大似然估计 12n ttt 解 1 似然函数为 1 1 1 1 2 0 n i i xc i n exc in Lc 其他 1 1 121 1 0 n i i xc nn n exxxxc 其他 1 1 ln ln n i i Lcnxc 故 关于单调增 故 ln 0 n Lc c ln Lc c 1 MLcx 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 8 页 共 25 页 再令得的最大似然估计为 2 1 1 ln 0 n i i n Lcxc 1 ML xx 3 设设为总体为总体的一个样本 的一个样本 为一相应的样本值为一相应的样本值 求总体的分密求总体的分密 12 n XXX X 12 n xxx 度中未知参数的最大似然估计值度中未知参数的最大似然估计值 其中其中 0 为未知参数 为未知参数 1 0 1 0 xx f x 其 其其 其 解 样本的似然函数为 12 n XXX 11 2 11 n nn ii ii Lxx 而 1 ln ln 1 ln 2 n i i n Lx 令 1 1 ln ln0 22 n i i n Lx 解得 的极大似然估计值为 2 2 1 ln n i i n x 的极大似然估计量为 2 2 1 ln n i i n X 4 设设是来自参数为是来自参数为的指数分布总体的样本 其中的指数分布总体的样本 其中未知未知 设有估计量设有估计量 1234 XXXX 3 1 6 1 43211 XXXXT 5 432 43212 XXXXT 4 43213 XXXXT 1 指出 指出中哪几个是中哪几个是的无偏估计量 的无偏估计量 321 TTT 2 在上述 在上述的无偏估计中指出哪一个较为有效 的无偏估计中指出哪一个较为有效 解 1 且 Xe E X 2 D X 而 11234 11 63 E TE XE XE XE X 21234 1 2 3 4 2 5 E TE XE XE XE X 21234 1 4 E TE XE XE XE X 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 9 页 共 25 页 所以是的无偏估计量 而不是的无偏估计量 13 T T 2 T 2 2 11234 115 36918 D TD XD XD XD X 2 31234 1 164 D TD XD XD XD X 因此较有效 31 D TD T 3 T 1 T 5 设 设 和 和都来自于总体都来自于总体 X 的两个独立样本 的两个独立样本 与与分别是两分别是两 1 n21 XXX 2 n21 YYY XY 个样本的样本均值个样本的样本均值 问常数问常数 a b 为何值时 为何值时 是是的无偏估计 的无偏估计 XE 2 XDYbXaZ 且且 D Z 达到最小 达到最小 解 依题意可求得 2 2 1 2 nYDnXDYEXE babaYbEXaEYbXaEZE 所以当时 是的无偏估计 1 baYbXaZ 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 22 1 n b n b n b n a YDbXDaYbXaDZD 22 2111 1121 b nnn b n 上式是开口朝上的抛物线 所以当 时 D Z 达到最小 且 21 1 21 2 21 1 11 2 nn n a nn n nn n b 2 21 2 2 21 1 1 2 21 2 1 1 1 4 4 1 11 4 2 1 nn n nn n n nn n n ZD 6 设设 和 和都来自于总体都来自于总体 X 的两个独立样本的两个独立样本 分别是两个样分别是两个样 1 n21 XXX 2 n21 YYY 2 2 2 1 S S 本的样本方差本的样本方差 假若总体假若总体 X 服从正态分布服从正态分布 则则 a b 为何值时为何值时 T 是是 2 XD 2 2 2 1 bSaST 的无偏估计的无偏估计 且且 D T 达到最小达到最小 2 解 由于总体服从正态分布 所以X 2 N 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 10 页 共 25 页 其中是的样本方差 即 1 1 2 2 2 n Sn 2 SX 222 22 2 1 11 SEnSE nSn E 所以 1 2 12 11 4 22 2 22 2 n SDnSD nSn D 2222 2 2 1 2 2 2 1 babaSbESaEbSaSE 当时 是的无偏估计 1 ba 2 2 2 1 bSaST 2 4 2 2 1 2 2 4 2 1 4 22 2 22 1 22 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 n a n a n b n aSDbSDabSaSD 4 2221 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 nn a nn a 所以当时 D T 达到最小 2 1 2 1 21 2 21 1 nn n b nn n a 三 证明题三 证明题 1 设 设 是参数是参数的无偏估计 且有的无偏估计 且有 试证 试证 不是不是的无偏估计的无偏估计 0 D 22 2 2 试证明均匀分布 试证明均匀分布 其其它它 0 0 1 x xf 中未知参数中未知参数的最大似然估计量不是无偏的的最大似然估计量不是无偏的 证明 1 E E 2 2 D 22 D 所以不是的无偏估计量 2 2 2 似然函数为 1 2 1 0 0 n n xxx L 其他 故单调减 因此 ln 0 Ln ln L 1 max MLni i n XX 的概率密度函数为 ML 1 1 0 0 ML n n n nx x fxn F xf x 其他 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 11 页 共 25 页 0 1 n ML n nxn Edx n 故不是的无偏估计量 1 max MLni i n XX 第七章第七章 区间估计 作业区间估计 作业 3 一 一 填空题填空题 1 设总体 设总体 X 服从正态分布服从正态分布 其中其中已知已知 则在求总体均值则在求总体均值的区间估计时的区间估计时 使用统计使用统计 2 N 2 量量 X U n 2 设炮弹速度服从正态分布 设炮弹速度服从正态分布 取取 9 发炮弹做试验发炮弹做试验 得样本方差得样本方差 则炮弹速度方差则炮弹速度方差 11 22 sms 的置信度为的置信度为 90 的置信区间为的置信区间为 5 675 32 199 2 解 利用解 利用的置信度为的置信度为 90 的置信区间的置信区间 2 5 675 32 199 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 n Sn n Sn 733 2 118 507 15 118 二 选择题二 选择题 1 设总体 设总体 已知 样本容量已知 样本容量 n 和置信度和置信度均不变均不变 则对于不同的样本观察值则对于不同的样本观察值 总总 2 NX 2 1 体均值体均值的置信区间的长度为的置信区间的长度为 C A 变长变长 B 变短变短 C 保持不变保持不变 D 不能确定不能确定 2 设总体 设总体 已知 总体均值已知 总体均值的区间估计中的区间估计中 正确的说法是正确的说法是 B 2 NX 2 A 置信度置信度一定时一定时 样本容量增加样本容量增加 则置信区间的长度变长 则置信区间的长度变长 1 B 置信度置信度一定时一定时 样本容量增加样本容量增加 则置信区间的长度变短 则置信区间的长度变短 1 C 置信度置信度变小变小 则置信区间的长度变短 则置信区间的长度变短 1 D 置信度置信度变大变大 则置信区间的长度变短则置信区间的长度变短 1 三 计算题三 计算题 1 某种零件的长度某种零件的长度 从一批这样的零件中随机地抽取 从一批这样的零件中随机地抽取 9 件 测得长度值 单位 件 测得长度值 单位 2 NX mm 为 为 49 7 50 6 51 8 52 4 48 8 51 1 51 2 51 0 51 5 求这批零件长度均值求这批零件长度均值的的 95 的置信区间的置信区间 1 2 未知未知 22 5 1 2 解 因为 所以 95 0 1 05 0 9 025 0 2 n 1 22 5 1 求出 n zxx 2 90 50 5 51 7 49 9 1 mmx 查出 算出96 1 025 0 2 n zz 98 0 9 5 1 96 1 025 0 n z 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 12 页 共 25 页 故 88 51 92 4998 0 90 50 98 0 90 50 2 未知 2 n s ntxx 1 2 求出 查出 算出09 1 s 306 2 8 025 0 t 84 0 9 09 1 306 2 8 025 0 n s t 故 74 51 06 5084 0 90 50 84 0 90 50 2 设冷抽铜丝的折断力服从正态分布设冷抽铜丝的折断力服从正态分布 从一批铜丝中抽取从一批铜丝中抽取 10 根试验折断力根试验折断力 得数据得数据 单位单位 N 为为 573 572 570 568 572 570 570 596 584 572 求标准差求标准差的的 95 置信区间置信区间 解 由题中条件得是未知的 则统计量 由 1 1 2 2 2 n Sn 12 75 110 1 7 574 10 1 16 1 2 2 16 1 i i i i xxsxx 所以的置信度是 95 的置信区间为 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 n sn n sn 10 05 0 951 n 经查表得 023 1991 2 025 0 2 2 n 7 291 2 975 0 2 2 1 n 解得的置信度为 95 的置信区间为 35 54 250 4 2 标准差标准差的的 95 置信区间置信区间 35 54 250 4 3 设总体为设总体为 如果要求如果要求的置信度的置信度的置信区间的长度不超过的置信区间的长度不超过 2 2 NX3 1 如取水平如取水平或或 0 01 那么需要抽取的样本容量那么需要抽取的样本容量 n 应该是多少应该是多少 1 0 解 1 当取时 查表得所以的置信区间为 1 0 645 1 2 z 1 区间长度为 222 z n xz n xz n x 即 22 222 z n z n xz n x35 24 n 故得样本容量至少应该取25 n 2 当取时 查表得 同理区间长度为01 0 576 2 2 z 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 13 页 共 25 页 即 22 222 z n z n xz n x72 59 n 故得样本容量至少应该取60 n 4 为研究正常成年男为研究正常成年男 女血液中红细胞的平均数的差别女血液中红细胞的平均数的差别 检查某地正常成年男子检查某地正常成年男子 156 名名 正常正常 成年女子成年女子 74 名名 计算得男性血液中红细胞平均数为计算得男性血液中红细胞平均数为 465 13 子样标准差为子样标准差为 54 80 女性血液中女性血液中 红细胞平均数为红细胞平均数为 422 16 子样标准差为子样标准差为 49 20 试求男女血液中红细胞平均值之差的置信区间试求男女血液中红细胞平均值之差的置信区间 单位单位 万个万个 mm3 取取 01 0 解 假定正常成年男 女血液中红细胞数构成的两个总体均服从正态分布 分别记为 并假定 已知样本容量 2 11 N 2 22 N 2 1 2 2 2 74 156 21 nn 男 女血液中红细胞数的样本均值及标准差分别为 20 4980 5416 42213 465 2121 ssxx 对查表得 01 0 601 2 2 21 2 nnt 于是得的是个 置信区间为 21 1 21 21 2 21 21 21 2 21 11 2 11 2 nn snntxx nn snntxx WW 515 62 425 23 其中 357 2840 2 11 21 2 22 2 11 2 nn snsn sW 5 设有两个相互独立的正态分布设有两个相互独立的正态分布 其中参数均未知其中参数均未知 现从中分别取容量为现从中分别取容量为 2 11 N 2 22 N 25 与与 15 的两个样本的两个样本 由样本观察值算得方差分别为由样本观察值算得方差分别为与与 试求方差比的置信度试求方差比的置信度38 6 2 1 S15 5 2 2 S 为为 0 9 的置信区间的置信区间 解 由于 得 0 1 9 01 25 2 14 241 1 05 0 21 2 FnnF 13 2 1 24 14 1 1 1 1 1 1 05 0 12 2 21 2 1 FnnF nnF 从而 的置信度为 0 90 的置信区间为 2 2 2 1 64 2 527 0 1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 2 2 1 21 2 2 2 2 1 nnFs s nnFs s 第第 8 章章 假设检验假设检验 作业作业 1 单总体单总体 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 14 页 共 25 页 一 填空题一 填空题 1 设 设是来自正态是来自正态的简单随机样本的简单随机样本 其中参数其中参数和和未知未知 记记 12 n XXX 2 N 则假设 则假设的的 t 检验使用统计量检验使用统计量 1 1 n i i XX n 22 1 n i i QXX 00 H 假设 假设的的检验使用的统计量检验使用的统计量 1 00 nnQ x nS x t 2 0 2 0 H 2 2 0 2 2 2 2 1 QSn 2 设总体 设总体 X 服从正态分布服从正态分布 未知 若选择拒绝域为未知 若选择拒绝域为则相应的则相应的 2 N 2 1 nt 备择假设为备择假设为 若选择拒绝域为若选择拒绝域为 01 H 1 2 nt 1 2 nt 则相应的备则假设为则相应的备则假设为 01 H 3 要使犯第一类错误和第二类错误的概率都减少 只有要使犯第一类错误和第二类错误的概率都减少 只有 增加样本容量增加样本容量 二 选择题二 选择题 1 假设检验中 假设检验中 显著性水平显著性水平表示表示 B A 为假为假 但接受但接受的假设检验的概率 的假设检验的概率 0 H 0 H B 为真为真 但拒绝但拒绝的假设检验的概率 的假设检验的概率 0 H 0 H C 为假为假 且拒绝且拒绝的假设检验的概率 的假设检验的概率 0 H 0 H D 可信度可信度 2 某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布 某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布 为已知为已知 现从某日生产的一现从某日生产的一 2 00 N 2 00 批产品中批产品中 随机抽随机抽 16 缕进行支数测量缕进行支数测量 求得子样均值及方差为求得子样均值及方差为 A B 要检验纱的均匀度是否变劣要检验纱的均匀度是否变劣 则提出假设则提出假设 C A 0100 HH B 0100 HH C 2 0 2 1 2 0 2 0 HH D 2 0 2 1 2 0 2 0 HH 3 对于假设检验中所犯的第一类错误的概率 对于假设检验中所犯的第一类错误的概率 与第二类错误的概率与第二类错误的概率之间关系为之间关系为 D A B C 无论怎样改变样本容量无论怎样改变样本容量 小小 则则一定大一定大 D 样本容量一定时样本容量一定时 越小越小 则则越大越大 三 计算题三 计算题 1 设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布 设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布 今随机抽取今随机抽取 9 名犯罪名犯罪 其年龄如下其年龄如下 22 17 19 25 25 18 16 23 24 试以试以 95 的概率判断犯罪青少年的年龄是否为的概率判断犯罪青少年的年龄是否为 18 岁岁 解 提出检验假设 选择统计量查表得 18 0 H 9 18 S X T 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 15 页 共 25 页 计算对应的统计值 因为即落入否定区域 306 2 8 025 0 t55 2 3 5 12 1821 t 306 2 t 因此能以 95 的把握推断该市犯罪的平均年龄不是 18 岁 2 某一产品的某性能指标 某一产品的某性能指标 X 服从正态分布服从正态分布 其中其中未知未知 现从某一天生产的产现从某一天生产的产 2 72 XN 2 品中抽取品中抽取 10 件件 其性能指标的样本均值其性能指标的样本均值 样本方差样本方差 给定显著水平给定显著水平 4 67 x 2 35 15s 现从该性能指标这一抽样结果检验一下这一天的生产是否正常现从该性能指标这一抽样结果检验一下这一天的生产是否正常 0 05 解 提出检验假设这是总体数学期望的双侧检验问题 而总体方差72 72 10 HH 未知 要使用样本方差 故要使用 t 检验法 所用的统计量是 又由于是双侧检验问题 所要用的 t 分布临界值是 1 nt n s X t 而其统计值故拒绝 262 2 91 025 0 2 tnt 262 2 76 7 n s X t 0 H 即这一天的生产是不正常的 3 在正常的生产条件下 在正常的生产条件下 某产品的测试指标总体某产品的测试指标总体 其中其中 后来改变了生后来改变了生 2 00 NX23 0 0 产工艺产工艺 生产出新产品生产出新产品 假设新产品的测试指标总体假设新产品的测试指标总体 从新产品中随机地抽取从新产品中随机地抽取 10 2 NX 件件 测得样本值为测得样本值为 算得样本标准差算得样本标准差 s 0 33 试在检验水平试在检验水平的情况下的情况下 检验检验 1021 xxx 05 0 1 方差方差是否有显著变化是否有显著变化 2 2 方差方差是否变大 是否变大 2 解 本题为正态总体在未知的情况下 方差的假设检验问题 1 是双侧检验问题 2 是单 2 侧检验问题 1 23 0 2 0 2 1 22 0 2 0 HH 统计量 9 1 10 1 1 2 2 0 2 2 nnn Sn k 的拒绝域为 得 0 H 11 0 2 2 2 2 1 nn 527 18 23 0 33 0 9 2 2 2 k 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 16 页 共 25 页 查表得 7 291 023 1991 2 975 0 2 2 1 2 025 0 2 2 nn 这里 不在的拒绝域 接受假设 即新产品 023 19527 187 2 2 k 0 H 0 H 2 0 2 的指标方差与原产品比较 没有显著变化 2 统计量仍然为 2 0 2 1 2 0 2 0 HH 1 1 2 2 0 2 2 n Sn k 的拒绝域为查出 0 H 1 2 n 919 1691 2 05 0 2 n 这里在的拒绝域内 故拒绝 接受 222 1919 16527 18knk 0 H 0 H 新产品指标的方差比原产品指标的方差显著变大 22 0 2 1 23 0 H 1 检验 按未知处理 作假设 2 108 0 2 0 2 1 22 0 2 0 HH 统计量 的拒绝域为 05 0 1 1 2 2 0 2 2 n Sn k 0 H 1 0 2 1 n 查出8409 3 108 0 0112 0 4 2 2 k 711 0 41 2 95 0 2 1 n 这里不在的拒绝域内 故接受 方差没有减小 1711 0 8409 3 2 95 0 2 nk 0 H 0 H 综合 1 2 知 含碳量降低 方差没有减小 因此新工艺生产的铁水比通常情况下生产的 铁水 质量上有所提高 4 某工厂生产的某种钢索的断裂强度服从分布某工厂生产的某种钢索的断裂强度服从分布 其中其中 Pa 现从一批此现从一批此 2 NX400 种钢索的容量为种钢索的容量为 9 的样本测得断裂强度平均值的样本测得断裂强度平均值 与以往正常生产时的与以往正常生产时的相比相比 较较大大X X 200Pa 设总体方差不变设总体方差不变 问在显著水平问在显著水平下能否认为这批钢索质量有显著提高下能否认为这批钢索质量有显著提高 01 0 解 本题是对参数的单侧检验问题 在显著水平下提出检验假设 01 0 0100 HH 由于已知 由样本观测值算得 22 0 2 400 9 n5 1 0 0 n X Z 用 U 检验法 查表得故接受假设 认为这批刚索质量没有显 5 133 2 01 0 zz 0 H 著提高 第第 8 章章 假设检验假设检验 作业作业 2 一 填空题一 填空题 1 1 设总体 设总体 检验假设检验假设 是一组样是一组样 2 NX 2 0 2 0 H 2 0 2 1 H 1121 xxx 本观察值本观察值 显著性水平显著性水平 则拒绝域是则拒绝域是 05 0 483 20 247 3 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 17 页 共 25 页 解 拒绝域为解 拒绝域为247 3 10 1 1 2 975 0 2 2 1 2 0 2 n sn 或或 483 20 10 1 1 2 025 0 2 2 2 0 2 n sn 2 2 从已知标准差 从已知标准差的正态总体中的正态总体中 抽取容量为抽取容量为 16 的样本的样本 算得样本均值算得样本均值 2 5 56 27 x 在显著水平在显著水平之下检验假设之下检验假设 检验结果是检验结果是 接 受 0 05 26 0 H 解 选取统计量解 选取统计量2 14 2 5 2656 27 0 0 n X U 96 1 975 0 2 1 UU 3 今进行某项工艺革新 从革新后的产品中抽取 今进行某项工艺革新 从革新后的产品中抽取 25 个零件 测量其直径 计算得样本方差个零件 测量其直径 计算得样本方差 0 00066 已知革新前零件直径的方差已知革新前零件直径的方差 设零件直径服从正态分布 问革新后 设零件直径服从正态分布 问革新后 2 s0012 0 2 的零件直径的方差是否显著减小的零件直径的方差是否显著减小 减小减小 0 05 解 此为解 此为未知未知 选取统计量选取统计量 2 0 2 0 H 2 13 0012 0 00066 0 24 1 2 0 2 2 Sn 从而有从而有 拒绝拒绝 即即848 13 1 2 13 2 1 2 n 1 22 n 2 0 2 0 H 认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差 认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差 4 两箱中分别装有甲乙两厂生产的产品 两箱中分别装有甲乙两厂生产的产品 欲比较它们的质量欲比较它们的质量 甲厂产品质量甲厂产品质量 乙厂乙厂 2 11 XN 产品质量产品质量 假定假定 现从现从 X 中抽取中抽取 10 件件 测得质量的平均值测得质量的平均值 标准标准 2 22 NY 2 2 2 1 kgx95 4 差差 从从 Y 中抽取中抽取 15 件件 测得质量的平均值测得质量的平均值 标准差标准差 则甲乙则甲乙kgs07 0 1 5 02ykg kgs12 0 2 两厂产品质量的方差两厂产品质量的方差 无无 显著差异显著差异 0 05 解 解 未知未知 选取统计量选取统计量 2 2 2 10 H 21 583 0 12 0 07 0 2 2 2 1 S S F 21 3 14 9 1 1 025 0 21 2 FnnF 265 0 77 3 1 9 14 1 14 9 1 1 025 0 975 0 21 2 1 F FnnF 由于由于 21 3 1 1 1 1 265 0 21 2 21 2 1 nnFFnnF 所以接受所以接受 方差无显著差异方差无显著差异 2 2 2 10 H 二 选择题二 选择题 1 设总体 设总体 是总体的一个样本 设是总体的一个样本 设 2 XN 12 n XXX 1 1 n i i XX n 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 18 页 共 25 页 若若都是未知的 则下面结论正确的是都是未知的 则下面结论正确的是 C 2 1 2 1 XX n S i n i n 2 A 若提出假设检验若提出假设检验 则选用统计量 则选用统计量 00 H nS X n 0 B 若提出假设检验若提出假设检验 则选用统计量 则选用统计量 00 H nS X n 0 C 若提出假设检验若提出假设检验 则选用统计量 则选用统计量 00 H 1 0 nS X n D 若提出假设检验若提出假设检验 则选用统计量 则选用统计量 00 H 1 0 nS X n 解 选取解 选取 t 统计量统计量 故正确故正确 1 1 0 0 2 nS X H n S n n X 2 下列正确的是 下列正确的是 A A 原假设原假设 且且未知未知 检验统计量检验统计量 拒绝域为拒绝域为 00 H 2 1 0 nt nS X T 1 2 ntt B 原假设原假设 且且已知已知 检验统计量检验统计量 拒绝域拒绝域 210 H 2 2 2 1 2 21 2 2 21 2 1 21 nnt nn YX T 为为 2 21 2 nntt C 原假设原假设 且且未知未知 检验统计量检验统计量 拒绝域为拒绝域为 2 0 2 0 H 1 1 2 2 0 2 2 n Sn 1 2 2 2 n D 原假设原假设 且且未知未知 检验统计量检验统计量 拒绝域为拒绝域为 2 2 2 10 H 21 1 2 2 2 2 12 n S S 1 1 2 2 1 2 2 2 2 nn 或或 3 设总体 设总体 为一组观察值为一组观察值 对于显著水平对于显著水平 假设检验假设检验 等等 2 NX n xxx 21 2 0 2 0 H 价于价于 D A 判断总体方差近似等于判断总体方差近似等于 B 判断总体方差一定等于判断总体方差一定等于 2 0 2 0 C 判断样本方差近似等于判断样本方差近似等于 2 0 D 区间区间包含总体方差的概率为包含总体方差的概率为 2 1 2 2 1 2 1 2 2 n i i n i i xxnxxn 1 三 计算题三 计算题 1 某铁矿有 某铁矿有 10 个样品个样品 每一样品用两种方法各化验一次每一样品用两种方法各化验一次 测得含铁量测得含铁量 如下 如下 样品号样品号12345678910 概率论与数理统计概率论与数理统计 作业作业 学号学号 姓名姓名 91 版 第 8 章 第 19 页 共 25 页 方法方法 A28 2233 9538 2542 5237 6237 8436 1235 1134 4532 83 方法方法 B28 2733 9938 2042 4237 6437 8536 2135 2034 4032 86 设两组数据来自正态分布的总体设两组数据来自正态分布的总体 两总体方差相等两总体方差相等 试检验这两种方法有无显著差异试检验这两种方法有无显著差异 22 BA 05 0 解 所要解决的是对两个正态总体均值的双侧检验问题 其中且未知 提出检验 22 BA 假设 故选统计量 BA H 0 2 11 21 21 nnt nn S XX T W BA 其中 013 0 10 21 BA xxnn 792 3 2 11 21 2 2 2 1 nn snsn S BA W 则 由 查 t 分布表得 0076 0 11 21 nn S xx t W BA 05 0 10 21 nn 于是故接受原假设 1009 2 182 025 0 21 2 tnnt 2 21 2 nntt 即认为两种方法无显著差异 BA H 0 2 两箱中分别装有甲乙两厂生产的产品 两箱中分别装有甲乙两厂生产的产品 欲比较他们的质量欲比较他们的质量 甲厂产品质量甲厂产品质量乙乙 2 11 NX 厂产品质量厂产品质量假设假设 现从现从 X 中取出中取出 10 件件 测得的质量平均值为测得的质量平均值为 4 95kg 2 22 NY 2 2 2 1 标准差为标准差为 0 07kg 从从 Y 中取出中取出 15 件件 测得的质量平均值为测得的质量平均值为 5 02kg 标准差为标准差为 0 12kg 试检验两试检验两 者平均质量有无显著差异者平均质量有无显著差异 05 0 解 本题是在且未知的情况下 对两正态总体 X Y 的均值进行检验的问题 可 2 2 2 1 以认为 X Y 相互独立 提出假设检验 选取统计量 0 0 2110 HH BA 其中 2 11 0 21 21 nnt nn S YX T W 2 11 21 2 22 2 112 nn snsn S W 由题意知 12 0 07 0 02 5 95 4 15 10 2121 ssyxnn 经计算得 0107 0 23 12 0 1407 0 9 232 22 21 W snn 求得 查表得 6583 1 15 1 10 1 10