高等数学课后习题答案第九章1

第九章习题解答 2 习题 9 3 1 求上半球面含在柱面内部的曲面面积 222 yxaz axyx 22 解 被积函数为 222 yxaz 222 2 2 yxa x zx 222 2 2 yxa y zy 所以 dxdy yxa a dS 222 积分区域为 化成极坐标 设 Daxyx 22 cosrx sinry drrddxdy cos 0 22 ar cos 022 2 2 a ra ardr dS cos 0 22 22 2 2 2 a ra rad d a 2 2 cos 0 22 draa a 2 2 22 sin 2 222 2 0 aaadaaa 2 求圆锥面被柱面所截下的曲面面积 22 yxz xz2 2 解 被积函数为 22 yxz 22 2 2 yx x zx 22 2 2 yx y zy 所以 dxdydS2 积分区域为 设 Dxyx2 22 cosrx sinry drrddxdy cos2 0 22 r cos2 0 2 2 2rdrdS 2 22 1 24cos22 2 2 2 d 3 求抛物柱面含在由平面所围的柱体内的面积 2 2 1 xz xyyx 0 1 解 被积函数为 2 2 1 xz 22 xzx 0 2 y z 所以 dxdyxdS 2 1 积分区域为 围成的闭区域 Dxyyx 0 10 z xx dyxdxS 00 2 1 x dxxx 0 2 1 3 122 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 0 2 3 2 0 22 xxdx x 4 求下列图形的形心 1 围成的闭区域 D1 0 2 xyxy 解 将密度看成 1 x D dydxdxdy 2 0 1 0 3 22 2 1 0 dxx 5 22 2 1 0 2 3 2 0 1 0 dxxdyxdxxdxdy x D 2 1 1 0 2 0 1 0 dxxydydxydxdy x D 于是得形心坐标为 形心为 5 3 3 22 5 22 x 8 23 3 22 2 1 y 8 23 5 3 2 围成的闭区域 D cos1 解 将密度看成 1 前面求出的结果 2 3 D drrd drrdrdrdrxdxdy DD cos1 0 2 2 0 coscos 2 0 3 cos1 cos 3 1 d 2 0 cos 3 1 d 2 0 2 cosd 2 0 3 cosd 2 0 4 cos 3 1 d 0 2 0 2cos1 2 1 d 0 2 0 2 4 2cos2cos21 3 1 d 12 15 24 2 12 2 由图形关于轴的对称性得 形心为 6 5 2 3 12 15 xx0 y 0 6 5 3 围成的闭区域 D0 1 2 2 2 2 x b y a x 解 面积ab 2 2 2 2 2 1 1 0 a x b a x b a D xdydxxdxdy a dx a x xb 0 2 2 12 3 2 1 3 2 2 2 2 1 0 2 3 2 22 ba a xa b 由图形关于轴的对称性得 3 4 2 3 2 2 a ab ba x x0 y 形心为 0 3 4 a 5 圆盘内各点处的密度 求此圆盘的质心 0 2 22 aaxyx yx 22 yx 解 M D dxdyyx D dxdyyx 22 cos2 0 2 2 2 a drrd 3 2 0 33 3 2 3 16 cos 3 16 ada 3 9 32 a y M D dxdyyxx D dxdyyxx 22 cos2 0 3 2 2 cos a drrd 15 64 15 8 8cos16 4 1 4 4 2 2 54 a ada 由对称性得 所求质心为 5 6 a M M x y 0 y 0 5 6 a 6 设有一个等腰直角三角形薄片 各点处的密度等于该点到直角顶点距离的平方 求此 圆薄片质心 解 设等腰直角三角形的顶点为则 0 0 0 0 aa 22 yxyx M D dxdyyx D dxdyyx 22 xaa dyyxdx 0 22 0 a dxxaxax 0 32 3 1 a dxxaxaax 0 3322 3 1 3 1 2 62 1 3 2 4 44 a aa y M D dxdyyxx D dxdyxyx 23 xaa dyxyxdx 0 23 0 a dxxaxxax 0 33 3 1 a dxxxaxaax 0 43223 3 4 3 1 2 55 5 55 15 1 15 4 63 1 2 1 aa a aa 由对称性得 x M D dxdyyxy D dxdyyyx 32 yaa dxyyxdy 0 32 0 15 5 a 所求质心为 5 2 a M M x y 5 2 a M M x x 5 2 5 2 aa 7 设有顶角为 半径为的扇形薄片 各点处的密度等于该点到扇形顶点距离的平 2R 方 求此薄片质心 解 设扇形顶点为关于轴对称 则 0 0 x 22 yxyx M D dxdyyx D dxdyyx 22 R drrd 0 3 2 4 R y M D dxdyyxx D dxdyyxx 22 R drrd 0 4 cos 5 sin2 R 由对称性得 所求质心为 5 sin4 R M M x y 0 y 0 5 sin4 R 8 设均匀薄片 面密度为常数 战局的区域如下 求指定的转动惯量 1 求 其中是过原点切倾斜角为的直线 1 2 2 2 2 b y a x yxD y I l I 解 abM y I D dxdyyxx 2 D dxdyx2 1 0 23 2 0 3 cosdrrdba 4 cos 4 3 2 0 2 ba d ab 4 2 Ma 由题设可知薄片上任意点到直线 的距离为l 2 tan1 tan yx d l I D dxdyyxd 2 D dxdyxyyx tan2tan tan1 222 2 D dxdyx2 2 2 tan1 tan D dxdyy 2 2 tan1 D xydxdy 2 tan1 tan2 4tan1 tan 2 2 2 Ma drrd ab 1 0 32 2 0 2 3 sin tan1 drrd ba 1 0 3 2 0 2 22 sincos tan1 4tan1 tan 2 2 2 Ma 2tan1 2 3 ab 4tan1 tan 2 2 2 Ma 4tan1 1 2 2 Mb 2 222 tan1 tan 4 abM 2 求 其中是过原点与点的对角线 byaxyxD 0 0 y I l I ba abM y I D dxdyyxx 2 D dxdyx2 ba dydxx 00 2 33 23 Maba x I D dxdyyxy 2 D dxdyy 2 ba dyydx 0 2 0 3 2 Mb 由题设可知薄片上任意点到直线 的距离为l 22 ba aybx d l I D dxdyyxd 2 D dxdyabxyyaxb ba 2 2222 22 D dxdyx ba b 2 22 2 D dxdyy ba a 2 22 2 D xydxdy ba ab 22 2 22 22 3ba bMa 22 22 3ba aMb 2 22 22 ba ba M 6 22 22 ba bMa 习题 9 4 1 化三重积分为三次积分 只须先次对后对一种次序 dvzyxF z yx 1 由三个坐标面与平面围成06236 zyx 解 2 3 230 y xz 220 xy 10 x dvzyxf yxx dzzyxfdydx 323 0 22 0 1 0 2 由旋转抛物面与平面围成 22 yxz 1 z 解 1 22 zyx 11 22 xyx 11 x dvzyxf 11 1 1 1 22 2 2 yx x x dzzyxfdydx 3 由圆锥面与上半球面围成 22 yxz 22 2yxz 解 2222 2yxzyx 22 22 xyx 22 x dvzyxf 22 22 2 2 22 2 2 2 yx yx x x dzzyxfdydx 4 由双曲抛物面与平面围成xyz 0 1 zyx 解 xyz 0 10 xy 10 x dvzyxf xyx dzzyxfdydx 0 1 0 1 0 2 设有一物体 点据空间闭区域密度函 10 10 10 zyxzyx 数为 求该物体的质量zyxzyx 解 dvzyxM xdv ydv zdv zdv3 2 3 3 1 0 1 0 1 0 zdzdydx 3 计算三重积分 1 xydv 1 32 0 0 0 zy xzyxzyx xydv 2 1 3 0 1 2 0 1 0 y xx xydzdydx 1 2 0 22 1 0 2 3 33 x dyxyyxxydx 1 2 0 22 1 0 2 3 33 x dyxyyxxydx 1 0 3222 22 2 1 22 3 3 22 2 3 dxxxxxxx 1 0 3222 22 2 1 22 3 3 22 2 3 dxxxxxxx 10 1 5 12 2 15 105 12303010 1 0 432 dxxxxx 2 zdvyx 22 xzzxyxyxzyx 0 1 xyzdv xx x zdzyxdydx 0 22 1 0 x x dyyxdx 24 1 0 2 1 24 1 3 1 1 0 7 dxx 3 xyzdv 0 1 zxxyxyzzyx 2 xyzdv xyx xyzdzdydx 00 1 0 64 1 8 1 1 0 7 dxx 4 dvz 2 0 1 22 zyxzzyx xyzdv 222 2 1 0 2 1 1 1 1 yxx x dzzdydx x dyyxdx 0 2 3 22 1 0 1 3 1 15 2 5 1 3 2 1 3 1 1 0 2 3 2 2 0 rdrrd 5 dvz 2 zxyzzyx2 222 解 积分区域是 1 1 222 zyx 2222 1111yxzyx 22 11xyx 111 x 这样计算很繁琐 改为下面的方法 是很高的技巧 任意取一点则截口面积为 z 2 2 zzdxdy D dxdydzzdvz 2 0 22 dzzz 2 2 0 43 5 8 54 2 2 0 54 zz 4 利用柱坐标计算 1 其中是由上半球面与旋转抛物面围成 zdv 22 2yxz 22 yxz 的闭区域 解 先确定该区域在面的投影区域xoy 为就是 22 22 2 yxz yxz 0 1 22 z yx 1 22 yxyxD 设 有 sin cos ryrxzz rdxdydzdv 22 2rzr 1 0 20 r zdv 2 2 21 0 2 0 r r zdzrdrd 1 0 42 2 0 2 2 1 drrrrd 12 7 6 1 4 1 1 2 2 1 1 0 53 2 0 drrrrd 2 其中是由旋转抛物面与平面围成的闭区域 dvyxz 22 22 yxz 1 z 解 先确定该区域在面的投影区域xoy 为就是 22 1 yxz z 0 1 22 z yx 1 22 yxyxD 设 有 sin cos ryrxzz rdxdydzdv 1 2 zr1 0 20 r zdv 11 0 2 2 0 2 r zdzdrrd 1 0 42 2 0 1 2 1 drrrd 21 4 7 1 3 1 2 1 1 0 62 2 0 drrrd 5 设密度为常量的均匀物体占据由与围成的闭 22 3yxz 0 1 1 zyx 区域 求 1 物体的质量 2 物体的重心 3 物体对于轴的转动惯量z 解 先确定该区域在面的投影区域xoy 就是 11 11 yxyxD 1 M dv 22 3 0 1 1 1 1 yx dzdydx 1 0 22 1 1 3 2dyyxdx 3 28 3 1 3 8 4 3 8 4 1 0 2 dxx 2 由对称性得0 0 yx z M zdv 22 3 0 1 1 1 1 yx zdzdydx 1 0 222 1 1 3 dyyxdx 45 506 3 16 5 36 2 1 0 42 dxxx 所以物体的重心是 M M z z 210 253 210 253 0 0 3 z I dvyx 22 22 3 0 1 1 22 1 1 yx dzdyyxdx 1 0 2222 1 0 3 4dyyxyxdx 1 0 442222 1 0 233 4dyyxyxyxdx Mdxxx 105 62 45 248 5 1 9 7 5 4 4 3 7 5 4 4 1 0 42 6 设密度为常量 1 的均匀物体占据由上半球面与圆锥面 22 2yxz 围成的闭区域 求 22 yxz 1 物体的质量 2 物体的重心 3 物体对于轴的转动惯量z 解 先确定该区域在面的投影区域xoy 为就是 22 22 2 yxz yxz 0 1 22 z yx 1 22 yxyxD 设 有 sin cos ryrxzz rdxdydzdv 于是 2 2rzr 1 0 20 r 1 M dv 2 21 0 2 0 r r dzrdrd 1 0 2 2 0 2 drrrrd 1 0 22 2 0 2 drrrrd 12 3 4 12 3 2 2 0 d 2 由对称性得0 0 yx z M zdv 2 21 0 2 0 r r zdzrdrd 1 0 22 2 0 2 2 1 drrrrd 1 0 3 2 0 drrrd 24 1 2 0 d 所以物体的重心是 M M z z 12 8 3 12 8 3 0 0 3 z I dvyx 22 2 21 0 3 2 0 r r dzdrrd 1 0 23 2 0 2 drrrrd 1 0 423 2 0 2 drrrrd 5 1 2 A Adtttdrrr cossin242 2 2 0 3 1 0 23 dttt sin sin24 5 2 0 3 15 28 15 8 3 2 24 所以 z I 328 15 2 5 1 15 28 2 B 的习题 的习题 1 dvzxy cos 0 2 0 2 zzxxyyxzyx xyzdv xx dzzxydydx 2 00 2 0 cos x dyxydx 0 2 0 sin1 2 0 sin1 2 1 dxxx 2 0 2 cos sin 2 1 16 xxx 2 1 16 2 2 zdv zzyxzyxzyx2 1 222222 皆 7 先确定该区域在面的投影区域xoy 为就是 zzyx zyx 2 1 222 222 0 4 3 22 z yx 4 3 22 yxyxD 设 有 sin cos ryrxzz rdxdydzdv 于是 22 111rzr 2 3 0 20 r zdv 2 2 1 11 2 3 0 2 0 r r zdzrdrd 2 3 0 2 2 0 112 2 1 drrrd 24 5 2 1 1 3 2 2 3 0 2 2 3 2 rr 习题习题 9 5 1 计算下列对弧长曲线积分 1 其中 为圆周dsyx n l 22 l 222 ayx 解 设 taytaxsin cos adtds dsyx n l 22 2 0 1212 2 nn adta 2 其中 是连接点 的直线段 l ydsxsinl 0 0 3 解 的方程为 lxy 3 1 30 x dxdxds 3 10 9 1 1 l ydsxsindx x x 3 0 3 sin 3 10 dttt 0 sin103 103 3 其中 是连接点上点 的一段弧 l ydslxy4 2 0 0 2 1 解 的方程为 lxy4 2 10 xdx x ds 1 1 l yds 122 3 4 1 3 4 12 1 0 2 3 1 0 xdxx 4 其中 是连接点 的直线段 l dsyx l 0 1 1 0 解 的方程为 lxy 110 xdxds2 l dsyx dx 1 0 22 5 其中 为与所围区域的边界dsx l lxy 2 xy 解 的方程为 lxy 10 xdxds2 的方程为 l 2 xy 10 xdxxds 2 41 dsx l dxxxdxx 1 0 2 1 0 412 12655 12 1 41 3 2 8 1 2 2 1 0 2 3 2 x 5 其中 为与所围区域的边界dsx l lxy 2 xy 解 的方程为 lxy 10 xdxds2 的方程为 l 2 xy 10 xdxxds 2 41 dsx l dxxxdxx 1 0 2 1 0 412 12655 12 1 41 3 2 8 1 2 2 1 0 2 3 2 x 6 其中 为圆周dsy l l1 22 yx 解 设 tytxsin cos dtds dsy l 0 sintdt 2 sintdt 2 0 coscosxx 422 7 其中 为圆周在第一象限的区域的边界dse l yx 22 l0 4 22 yxyyx 解 在直线上 0 y20 xdxds dse l yx 1 22 1 2 2 0 edxe x 在弧上设 4 22 yxtytxsin2 cos2 dtds2 4 0 t dse l yx 2 22 2 2 2 4 0 2 edte 在直线上 xy 20 xdxds2 dse l yx 3 22 12 22 0 2 2 0 2 eedxe xx dse l yx 22 1 2 e 2 2 e 1 2 e 2 2 2 e2 8 其中 是围成的矩形的边界 lxyds l2 4 0 0 yxyx 解 4321 lllll 的方程为 的方程为 1 l0 y 1 l xyds00 1 dx l 4 l0 x 4 l xyds00 4 dy l 的方程为 2 l4 x 2 l xyds84 2 0 ydy 的方程为 3 l2 y 3 l xyds162 4 0 xdx 24 lxyds 9 其中 是摆线的一拱 l dsy 2 l cos1 sin tayttax 解 dttatads 2222 sin cos1 dt t a 2 sin2 2 l dsy 23 2 0 222 8 2 sin2 cos1 adt t ata 2 0 5 2 sindt t 0 53 sin16udua 15 256 15 8 32sin32 3 3 2 0 53 a audua 10 其中 是上半圆周与轴围域的边界 l dsyx 22 lxyx2 22 x 解 化为 21 lll 1 lxyx2 22 1 1 22 yx 设 tytxsin cos1 dtds 1 22 l dsyx 0 22 sin cos1 dttt 0 2 cosdt t 4cos4 2 0 udu 2 l0 ydxds 2 22 l dsyx2 2 0 xdx 624 22 l dsyx 2 求半径为中心角为的扇形圆弧的质心 密度均匀 R 2 1 解 选择与书上 168 页图 9 34 一样的坐标系 于是根据对轴的对称性得x0 y 设 1 tRytRxsin cos Rdtds RM 2 l yds M x 1 tdtR M cos 1 2 0 2 cos 2 tdtR M sinsin2 2 R M R 所求质心为 0 sin R 3 计算下列关于坐标的曲线积分 1 是抛物线上到一段弧 l dxyx 22 L 2 xy 0 0 O 4 2 A 解 l dxyx 22 15 56 53 2 0 53 2 0 42 xx dxxx 2 是矩形的边界按照逆时针方向 l ydxL2 4 0 0 yxyx 解 AO 0 y4 xBA 0 dx2 yCA 0 xOC 0 dx l ydx ABOA ydx00 COBC ydx0282 0 4 dx 3 是一段针方向的弧 l xdyydxL 2 0 sin cos ttRytRx 解 l xdyydxdtxxdtttRRtRtR coscos sin sin 2 0 42 02sin 2 2cos 2 0 2 2 0 2 t R dttR 4 是圆周沿逆时针方向 l yx dyxydxyx 22 L 222 ayx 解 taytaxsin cos l yx dyxydxyx 22 2 0 2 2 cos sin cos sin sin cos a dttttttta 21 2 0 dt 5 是折线从到一段 l xydydxyx Lxy 11 0 0 0 2 解 弧 12 1 xx xx ydxdyxyAO dxdyxyBA 2 l xydydxyx OAAB 3 8 3 7 32 3 1 1 22 2 2 1 2 1 0 2 dxxxdxxx 6 是摆线的一拱 从 l dyyadxya 2 L cos1 sin tayttax 到 0 0 0 2 a 解 l dyyadxya 2 dttataa 2 0 cos1 cos1 2 dttataa 2 0 sin cos1 dtttta 2 0 22 cossin sin 2 2 0 2 2 2sin2cos1 adt tt a 4 计算 其中分别是 l dyxydxyx L 1 上点到xy 2 1 1 2 4 2 点到的直线段 1 1 2 4 解 1 在上点到 xy 2 1 1 2 4 dx x dy 2 1 l dyxydxyx dxxx x xx 2 1 4 1 3 34 2 15 3 7 2 3 2 1 2 1 4 1 dxxx 2 点到的直线段 1 1 2 4 3 2 3 1 xydxdy 3 1 l dyxydxyx dxxxxx 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 4 1 113 9 8 2 15 9 10 9 8 9 10 4 1 dxx 5 计算 其中分别是 l dyyxdxyx 2 2 L 1 上点到的一段弧 2 xy 0 0 1 1 2 点到的一段弧 3 xy 0 0 1 1 3 点到点再到点的折线 0 0 0 1 1 1 解 1 上点到 2 xy 0 0 1 1 xdxdy2 l dyyxdxyx 2 2 dxxxxxx 2 22 1 0 22 3111 432 1 0 32 dxxxx 2 点到的一段弧 3 xy 0 0 1 1 dxxdy 2 3 l dyyxdxyx 2 2 dxxxx 642 1 0 53 3111 3 点到点再到点的折线 0 0 0 1 1 1 l dyyxdxyx 2 2 dxx 1 0 2 1 0 21 dyy3 6 一力场由沿轴正向的常力构成 求将一个质量为的质点沿按逆时x Fm 222 Ryx 针方向移动过第一象限那段弧所做的功 解 F iFdxFW l FRtdtRF 2 0 sin 节 9 6 习题处理 1 计算下列关于坐标的曲线积分 并验证格林公式的正确性 1 是椭圆沿逆时针方向dyyxdxyx l 22 L1 2 2 2 2 b y a x 解 设tbdytbytadxtaxcos sin sin cos dyyxdxyx l 22 2 0 23 2 0 23 2 0 sincoscossintdttatdttbdtab ab 2 用格林公式 yxyxP 2 2 yxyxQ 1 yxQx1 yxPy dyyxdxyx l 22 abdxdy D 22 2 直线段围成的闭路dyyxdxyx l 222 0 0 1 0 0 1 0 0 L 解 0 0 1 0 0 1 yLxyL 1 1 0 0 1 2 0 0 0 1 0 3 xL dyyxdxyx l 222 1 1 0 1 2 0 1 22 1 0 dyydxxxxdx 用格林公式 2 yxyxP 22 yxyxQ xyxQx2 2 yxyxPy dyyxdxyx l 222 D dxdyyx 2 2 x dyyxdx 1 0 1 0 2 2 1 2 3 2 1 2 1 0 dxxx 2 求星形线所围的面积taytax 33 sin cos 解 dttt a ydxxdyA l 2 0 22 2 sincos 2 3 2 1 8 3 4cos1 16 3 2 2 0 2 a dttt a 3 用格林公式计算 1 直线段围成dyyxdxyx l 653 42 0 0 2 3 0 3 0 0 L 的三角形边界 解 653 yxyxQ42 yxyxP 3 yxQxyyxPy dyyxdxyx l 653 42 12 2 1 2344 D dxdy x dyyxdx 1 0 1 0 2 2 2 逆时针方向dyyyxdxxexy l x cos 32 2 1 2 2 2 2 b y a x L 解 x xexyyxP32 yyxyxQcos 2 xyxQx2 xyxPy2 dyyxdxyx l 653 42 00 D dxdy 3 由的弧 l yy dyexdxxey 1 2222 4 xxyl 0 4 0 0 解 先补足成闭路 1 lOAL y xeyyxP 2 1 22 y exyxQ y x xeyxQ 2 2 y y xeyxP 2 21 L yy dyexdxxey 1 222 2 2 2 1 2 D dxdy 于是 l yy dyexdxxey 1 222 dyexdxxey y OA y 1 22 2 L yy dyexdxxey 1 222 282 4 0 xdx 4 上由的弧 l dyyyxdxy sin cos1 xylsin 0 0 0 解 先补足成闭路 1 lOAL yyxPcos1 sin yyxyxQ yyyxQxsin yyxPysin 1 sin cos1 lOA dyyyxdxy x D ydydxydxdy sin 00 4 12 cos 4 1 sin 2 1 00 2 xxdx 于是 l dyyyxdxy sin cos1 dyyyxdxy OA sin cos1 1 sin cos1 lOA dyyyxdxy 44 0 0 dx 5 上由的弧 l dyyxdxyx sin 222 2 xxyl 1 1 0 0 解 先补足成闭路 1 lABOAL yxyxP 2 sin 2 yxyxQ yxQx1 yxPy 1 sin 22 lABOA dyyxxdxyx0 于是 l dyyxdxyx sin 22 dyyxdxyx OA sin 22 dyyxdxyx AB sin 22 1 0 2dx x 1 0 2 sin1 dyy 1 0 2cos1 2 1 1 3 1 dyy 6 7 2sin 4 1 6 上由的上半椭圆 l xx dyexdxye 1 1 2 2 2 2 b y a x L 0 0 aa 解 先补足成闭路 1 laaL x yeyxP 1 x exyxQ x x eyxQ 1 x y eyxP abdxdydyexdxye D laa xx 2 1 1 1 于是 l xx dyexdxye 1 abdyexdxye aa xx 2 1 1 abdx a a 2 1 aba 2 1 2 4 证明下列曲线积分在面内与路径无关 并计算积分值xoy 1 3 2 1 1 dyyxdxyx 都是初等函数 因此在面内有连续的偏导数yxyxP yxyxQ xoy 得 1 yxQx1 yxPy yxQx yxPy 所以曲线积分在面内与路径无关xoy 3 2 1 1 dyyxdxyx 2 1 1 dxx 3 1 2 dyy 19 2 1 4 14 2 1 1 2 5 2 1 2 0 1 324 4 32 dyxyxdxyxy 都是初等函数 因此在面内有连续32 4 yxyyxP 32 4 xyxyxQ xoy 的偏导数 得 3 42 yxyxQx 3 42 yxyxPy yxQx yxPy 所以曲线积分在面内与路径无关xoy 1 2 0 1 324 4 32 dyxyxdxyxy 2 1 22 dxx 1 0 3 164 dyy 544 14 2 2 5 3 0