《工学复变函数》PPT课件.ppt

第一节复数及其代数运算 一 复数的概念 二 复数的代数运算 三 小结与思考 2 一 复数的概念 1 虚数单位 对虚数单位的规定 3 虚数单位的特性 4 2 复数 5 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等 复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0 说明两个数如果都是实数 可以比较它们的大小 如果不全是实数 就不能比较大小 也就是说 复数不能比较大小 6 二 复数的代数运算 1 两复数的和 2 两复数的积 3 两复数的商 7 4 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数 例1 解 8 5 共轭复数的性质 以上各式证明略 9 例2 解 10 例3 解 11 12 三 小结与思考 本课学习了复数的有关概念 性质及其运算 重点掌握复数的运算 它是本节课的重点 13 思考题 复数为什么不能比较大小 14 思考题答案 由此可见 在复数中无法定义大小关系 放映结束 按Esc退出 第二节复数的几何表示 一 复平面 二 复球面 三 小结与思考 16 一 复平面 1 复平面的定义 17 2 复数的模 或绝对值 显然下列各式成立 18 3 复数的辐角 说明 辐角不确定 19 辐角主值的定义 20 4 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 21 5 复数和差的模的性质 22 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 6 复数的三角表示和指数表示 23 例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 故三角表示式为 24 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 25 故三角表示式为 指数表示式为 26 例5 证 27 两边平方 并化简得 下面例子表明 很多平面图形能用复数形式的方程 或不等式 来表示 也可以由给定的复数形式的方程 或不等式 来确定它所表示的平面图形 28 例6 解 所以它的复数形式的参数方程为 29 30 例7 证 31 两边同时平方 32 例8 求下列方程所表示的曲线 解 33 化简后得 34 二 复球面 1 南极 北极的定义 35 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大 的几何表示 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 2 复球面的定义 36 3 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 对于复数 来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 复球面的优越处 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 37 38 三 小结与思考 学习的主要内容有复数的模 辐角 复数的各种表示法 并且介绍了复平面 复球面和扩充复平面 注意 为了用球面上的点来表示复数 引入了无穷远点 无穷远点与无穷大这个复数相对应 所谓无穷大是指模为正无穷大 辐角无意义 的唯一的一个复数 不要与实数中的无穷大或正 负无穷大混为一谈 39 思考题 是否任意复数都有辐角 40 思考题答案 否 它的模为零而辐角不确定 放映结束 按Esc退出 第三节复数的乘幂与方根 一 乘积与商 二 幂与根 三 小结与思考 42 一 乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 证 43 两复数相乘就是把模数相乘 辐角相加 从几何上看 两复数对应的向量分别为 证毕 44 说明 由于辐角的多值性 两端都是无穷多个数构成的两个数集 对于左端的任一值 右端必有值与它相对应 例如 45 由此可将结论推广到n个复数相乘的情况 46 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 证 按照商的定义 证毕 47 例1 解 48 例2 解 如图所示 49 50 二 幂与根 1 n次幂 51 棣莫佛公式 棣莫佛介绍 推导过程如下 2 棣莫佛公式 52 根据棣莫佛公式 53 当k以其他整数值代入时 这些根又重复出现 54 从几何上看 55 例3 解 56 57 例4 解 58 即 59 例5 解 即 60 61 例6 解 故原方程可写成 62 故原方程的根为 63 例7 证 利用复数相等可知 64 等式得证 65 三 小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算 在各种形式中以三角形式 指数形式最为方便 棣莫佛 deMoivre 公式 放映结束 按Esc退出 第四节区域 一 区域的概念 二 单连通域与多连通域 三 典型例题 四 小结与思考 67 一 区域的概念 1 邻域 说明 68 2 去心邻域 说明 69 3 内点 4 开集 如果G内每一点都是它的内点 那末G称为开集 70 5 区域 如果平面点集D满足以下两个条件 则称它为一个区域 1 D是一个开集 2 D是连通的 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来 6 边界点 边界 设D是复平面内的一个区域 如果点P不属于D 但在P的任意小的邻域内总有D中的点 这样的P点我们称为D的边界点 71 D的所有边界点组成D的边界 说明 1 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 2 区域D与它的边界一起构成闭区域 72 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 7 有界区域和无界区域 73 1 圆环域 课堂练习 判断下列区域是否有界 2 上半平面 3 角形域 4 带形域 答案 1 有界 2 3 4 无界 74 二 单连通域与多连通域 1 连续曲线 平面曲线的复数表示 75 2 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线 76 3 简单曲线 没有重点的曲线C称为简单曲线 或若尔当曲线 77 换句话说 简单曲线自身不相交 简单闭曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集 内部 外部 边界 78 4 单连通域与多连通域的定义 复平面上的一个区域B 如果在其中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于B 就称为单连通域 一个区域如果不是单连通域 就称为多连通域 单连通域 多连通域 第五节复变函数 一 复变函数的定义 二 映射的概念 三 典型例题 四 小结与思考 80 一 复变函数的定义 1 复变函数的定义 81 2 单 多 值函数的定义 3 定义集合和函数值集合 82 4 复变函数与自变量之间的关系 例如 83 二 映射的概念 1 引入 84 2 映射的定义 85 86 3 两个特殊的映射 87 且是全同图形 88 89 根据复数的乘法公式可知 90 如下页图 91 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形 92 以原点为焦点 开口向左的抛物线 图中红色曲线 以原点为焦点 开口向右的抛物线 图中蓝色曲线 93 4 反函数的定义 94 根据反函数的定义 当反函数为单值函数时 今后不再区别函数与映射 95 四 小结与思考 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点 注意 复变函数与一元实变函数的定义完全一样 只要将后者定义中的 实数 换为 复数 就行了 96 思考题 函数 映射 变换 等名词有无区别 97 思考题答案 在复变函数中 对 函数 映射 变换 等名词的使用 没有本质上的区别 只是函数一般是就数的对应而言 而映射与变换一般是就点的对应而言的 放映结束 按Esc退出 第六节复变函数的极限和连续性 一 函数的极限 二 函数的连续性 三 小结与思考 99 一 函数的极限 1 函数极限的定义 注意 100 2 极限计算的定理 定理一 证 根据极限的定义 1 必要性 101 2 充分性 102 证毕 说明 103 定理二 与实变函数的极限运算法则类似 104 例1 证 一 105 根据定理一可知 证 二 106 107 二 函数的连续性 1 连续的定义 108 定理三 例如 109 定理四 110 特殊的 1 有理整函数 多项式 2 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的 111 例3 证 112 三 小结与思考 通过本课的学习 熟悉复变函数的极限 连续性的运算法则与性质 注意 复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同 但在实质上有很大的差异 它较之后者的要求苛刻得多 113 思考题 114 思考题答案 没有关系 极限值都是相同的 放映结束 按Esc退出 115 第二章解析函数 2 1解析函数的概念 1复变函数的导数 定义 存在 则就说f z 在z0可导 此极限值就称为f z 在z0的导数 记作 应该注意 上述定义中的方式是任意的 116 容易证明 可导可微 可导连续 如果f z 在区域D内处处可导 就说f z 在 内可导 例1求f z z2的导数 解 因为 所以f z 2z 复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 即f z z2在复平面处处可导 117 例2问f z x 2yi是否可导 解 这里 所以f z x 2yi的导数不存在 即f z x 2yi在整个复平面处处不可导 118 例3讨论 的可导性 解 所以 在复平面上除原点外处处不可导 119 2 解析函数的概念 函数在一点解析 在该点可导 反之不一定成立 在区域内 例如f z z2 在整个复平面上解析 仅在原点可导 故在整个复平面上不解析 f z x 2yi 在整个复平面上不解析 定义 否则称为奇点 120 例4讨论函数f z 1 z的解析性 解 故f z 1 z除z 0外处处解析 z 0是它的一个奇点 解析函数的性质 1 两个解析函数的和 差 积 商仍为解析函数 2 两个解析函数的复合函数仍为解析函数 3 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析 所有解析点的集合必为开集 问题 对函数f z u x y iv x y 如何判别其解析 可导 性 121 换句话说 设函数 于是 122 u x y 与v x y 在该点可微 并且满足柯西 黎曼 Cauchy Riemann 方程 123 设u x y 与v x y 在点 x y 可微 于是 x y 0时 ek 0 k 1 2 3 4 并且满足柯西 黎曼 Cauchy Riemann 方程 124 即函数f z 在点z x iy处可导 由z的任意性可知 定理1函数f z u x y iv x y 在其定义域D内解析的充要条件是u x y 与v x y 在D内可微 并满足Cauchy Riemann方程 定理2函数f z u x y iv x y 定义在区域D内一点z x iy可导的充分必要条件是 u x y 与v x y 在点 x y 可微 在该点满足Cauchy Riemann方程 125 推论 例题1 解 例题2 判断下列函数在何处可导 在何处解析 126 解 得u x v y 所以 在复平面内处处不可导 处处不解析 2 由w zRe z x2 ixy 得u x2 v xy 所以 当且仅当x y 0时 因而函数仅在z 0可导 但在复平面内任何地方都不解析 127 2 2解析函数和调和函数的关系 定义1 称为调和方程或Laplace方程 定理1 证明 且u v有任意阶连续偏导数 同样可得 128 注 逆定理显然不成立 即 对区域D内的任意两个调和函数u v 不一定是解析函数 定义2 若u与v是区域D内的调和函数且满足C R程 则称v为u的共轭调和函数 定理2 在区域D内解析 v为u的共轭调和函数 解析函数的虚部为实部的共轭调和数 例如 是解析函数 不是解析函数 129 已知共轭调和函数中的一个 可利用C R方程求得另一个 从而构成一个解析函数 例题1 已知一调和函数 求一解析函数 解 由C R方程 于是 法一 130 从而 即为所求解析函数 131 2 3初等函数 3 1指数函数 定义 性质 132 3 2三角函数 定义 性质 1 Euler公式仍然成立 2 全平面解析函数 3 各种三角恒等式仍然成立 半角公式除外 4 sinz为奇函数 cosz为偶函数 133 例如 7 定义其他的三角函数 134 3 3双曲函数 定义 1 全