错位相减法的起源-浙江嘉兴第一中学

错位相减法 的起源 兼谈等比数列的教学设计 嘉兴市秀州中学 屠新跃 在传统的数学教学中 教师往往注重于对数学解题思路和方法的分析总结 注重一 题多解 变式训练等 这些已被实践证明是行之有效的 但是在具体的数学教学过程中 如何加大学生对教学的参与度 充分体现学生的主体地位 恰如其分地发挥教师的主导 作用 还数学知识的本来面目 让学生真正体验数学知识的形成和发展过程 从而培养 学生的数学思维能力 是需要我们教师反思和探讨的 而数学研究 探究 性学习是高 中数学课程中一种新的教学和学习方式 它有助于学生了解数学概念和结论产生的过程 理解直观和严谨的关系 尝试数学研究的过程 体验创造的激情 建立严谨的科学态度 和不怕困难的科学精神 有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯 培养学生发现 提出 解决数学问题的能力 有助于发展学生的创新意识和实践能力 下面结合等比数 列前项和的教学案例 谈一谈在数学教学中笔者是如何开展研究性学习的 n 一 问题的提出 设置情境 古代印度时 为了奖赏国际象棋的发明者 当时的国王答应了发明者的 一个要求 在棋盘的第 1 个格子放上 1 颗麦粒 第 2 个格子放 2 颗麦粒 第 3 个格子放 4 颗 第 4 个格子放 8 颗 依此类推 每个格子放的麦粒数是前一个格子放的麦粒数的 2 倍 直到第 64 个格子上放颗麦粒 国王认为这件事能办到 就欣然同意了 你认为 63 2 国王能满足他的要求吗 教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料 以这个实际问题 为背景来引入 有利于增强学生的学习兴趣 激发学生的探究欲望 64 个格子上的麦粒 构成了一个等比数列 因此问题转化为求的和 就涉及到怎样求等 632 2221 比数列前项和这个课题 n 二 问题的探究 在教学过程中 不少教师以课本为依照 采用 错位相减法 来推导的公式 并 n S 注意归纳这种求和的方法 把教学重点放在如何正确使用求和公式 明确区分公比 和两种情况 渗透了分类讨论的数学思想 总体设计较合理 可惜没有对求1 q1 q 和公式的推导过程进行探究 特别是不能解决 错位相减法 的由来 是怎么想到要两 边同乘以公比的呢 这对学生数学自主探究能力 实践能力和合作交流能力的培养 q 无疑是一种资源的浪费 要突破这个难点 教师必须要进行适合学生的研究性教学的设 计 教师应成为学生进行数学探究的组织者 指导者 合作者 引导和帮助他们而不是 代替学生发现和提出探究课题 特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题 组织 和鼓励学生合作地解决问题 一方面应该鼓励学生独立思考 帮助学生建立克服困难的 毅力和勇气 另一方面应该指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助 中学生 需要的时候 教师应该成为学生平等的合作者 教师要有勇气和学生一起进行探究 通过对教材的分析 研究 有这样的设计 想要探求等比数列前项和公式 即n 即 先让学生尝试能否用 nn aaaS 21 1 1 2 111 n n qaqaqaaS 等差数列的求法 倒序相加 这样的类比迁移行不通 就要找另外的思路 想一想 n S 已学的知识中 一般数列中与有什么关系 是 n 2 那么在等 n a n S nnn aSS 1 比数列中 于是有学生把 式写成 2 1 2 1111 n n qaqaqaaS 但这样不能求出 重新探究 式的右边 由 1 11 n nn qaSS n S 1 1 2 111 n n qaqaqaaS 就可以得到 将代入 2 1111 n qaqaaqa 11 nn qSaS nnn aSS 1 则 有 即 能否两 1nnn aSqaS qaaqSS nnn 1 qaaSq nn 1 1 边同除以呢 不能 当即时 是常数数列 显然 只有 1 q 01 q1 q 1 naSn 当即时 又研究 得到的式子对任意的都成立吗 01 q1 q q qaa S n n 1 1 Nn 回顾前面探索过程中的 n 2 所以还要验证 n 1 当 当 1 q 11 aS 1 q 都成立 到这完成公式推导 再把通项公式代入 就得 1 11 1 1 a q qaa S 1 1 n n qaa 当时 公式的另一种表达式为 1 q q qa S n n 1 1 1 深入探究 式左边中的 而 你能发现它 n qS nn n qaqaqaqaqS 1 1 1 2 11 与 式中右边有哪些相同的项 是 所以有 1 1 2 11 n qaqaqa 1 1 2 111 n n qaqaqaaS n qS nn qaqaqaqa 1 1 1 2 11 左右两边作差就是 式了 反思上面的过程 原来只要在 式两边同乘以 除以行吗 可以 公比 就能出现相同的项 为什么 等比数列的定义可知 于是相减就可以了 q 从形式上看 这些相同项的位置错开了 所以我们把这种方法叫做 错位相减法 再应用求和公式解 约重 1700 亿吨麦子 国王十辈子也完 632 2221 1264 不成这个承诺了 以上的研究性学习设计 巩固了等比数列定义 通项公式 结合运用了与的重 n a n S 要关系 而且通过启发学生对思维过程的反思 监控和调整 优化了学生自身的思维品 质 也从中 享受 到了数学知识的形成过程 从而主动地建构了 错位相减法 三 意外的收获 在第一个班教学时 教师如愿以偿地完成了以上的设计 但到第二个班教学时 却 发生了意外 情境引入刚结束 就有学生表示他能求的值 这是教 632 2221 师事先没有预想到的 大大出乎意料 为了让学生充分展示和暴露自己的思维过程 并 没有打断学生的发言 由于 12321 2 127221 32 32 2221 1215 4 按此规律得 教师评价 很好的一次归纳猜想 632 2221 1264 干脆来个顺藤摸瓜 也体现了教学民主 沿着学生的思路 请同学们一起来探究 结论推广到一般 成立吗 有同学发现不成立 举出反11 12 nn qqqq 例 当 时不相等 启发学生 能不能进行逆向思维 考察这些式子的右边 3 q2 n 取的特殊值 当时 再当时n2 n 1 1 1 2 qqq3 n 归纳猜想出 只要把 1 1 1 23 qqqq1 1 1 1 nn qqqq 式左边展开就证明了 1 1 2 111 n n qaqaqaaS 1 12 1 n qqqa 在 式两边同乘以 则 即 1 a0 1 a 1 1 1 n n qaSq 1 1 1 n n qaSq 这就是前面的 式 以下就类同了 研究性学习的开展 可以提高学生探究 分析和解决问题的能力 也迫使教师改变 陈旧过时的教学方法 认真自觉地钻研教学 才能紧跟教学改革的步伐 适应新课程标 准的要求 在研究性学习教学中 教师应努力成为数学探究的创造者 要有比较开阔的 数学视野 了解与中学数学知识有关的扩展知识和内存的数学思想 认真思考其中的一 些问题