初中数学背景知识31 割圆术与π素材 人教新课标版

用心 爱心 专心1 割圆术与割圆术与 圆吸引着古往今来众多学者的兴趣 古希腊的科学家 数学家阿基米德 Archilnedes 前 287 前 212 和我国魏晋时期 的数学家刘徽 都研究过圆面积计算公式和圆周率 他们所用的极富启迪性的方法 被后 人称之为 割圆术 我们先来看看他们各自所得的结论 再来分析他们所采用的方法 阿基米德在 圆的度量 中 提出了三个命题 1 圆面积计算公式 S L r 其中 2 1 L 为圆周长 r 为圆半径 2 圆与其外切正方形面积之比为 11 14 3 圆周率 3 7 1 3 71 10 刘徽在 九章算术 方田章圆田术注中 得出三个结论 1 圆面积计算公式 S L r 与阿基米德的命题完全一样 2 1 2 圆与其外切正方形面积之比为 3927 5000 3 圆周率 1250 3927 50 157 不难看出 上述结论都与圆周率 有关 他们的第一个结论中 若取 r 1 则 S 第二个结论实质是应该是 4 第三个结论 无疑给出了 的近似取值范围 相比之下 刘徽的结果比阿基米德的精密 原因何在 正是获得上述结论的方法 割圆术有所不同 阿基米德用归谬法证明他的圆面积计算公式 如图 1 不防设圆面积为 P 直角 三角形面积为 K 圆内接正多边形面积为 s 圆外切正多边形面积为 S 刘徽推导圆面积计算公式 从圆内接正 6 边形开始 如图 2 他认为 以圆内 接正 6 边形边长乘以半径 再 3 倍 得到圆内接正 12 边形面积 以圆内接正 12 边形 边长乘以半径 再 6 倍 得到圆 24 边形面积 以此类推 割之弥细 所失弥少 割 之又割 以至于不可割 则与圆合体 而无所失矣 他接着指出 每次用半径乘内接 用心 爱心 专心2 正多边形边长时 导致面积翻一倍 所以最终 以半周乘半径 得圆面积 阿基米德的证明非常精彩 它具有古希腊数学中逻辑论证的典型特征 巧妙的 归谬法颇具匠心 刘徽的推导十分明快 不仅用了极限思想 免去了外切正多边形面 积的采用 而且给出了圆面积的计算程序 显示出中国传统数学以算为主 寓理于算 的特征 基于以上特征 我们将会看到刘徽的结果比阿基米德精密的原故 关于圆周率 阿基米德分两步推导 首先 证明 以圆外切正 6 边形起算 如图 3 用勾股定理 相似形定 理证明 勾股定理 用心 爱心 专心3 其次 证明 以圆内接正 6 边形起算 如图 5 也用勾股定理 相似形定理 在圆内接正 6 边形中 用心 爱心 专心4 阿基米德一步一步推导 对近似数值进行精巧的调整 最终得到 刘徽推导圆周率 取直径为 2 也从圆内接正 6 边形起算 但只用勾股定理 且不用 圆外切正多边形 如图 7 反复运用以下关系 并且建立每次增边后的内接正多边形边长的算式 在圆周率推导过程中 阿基米德只得出了圆周率的取值范围 且没有刘徽的结果精密 而刘徽所得丰富多了 其中最为重要的是 刘徽不等式 有了这个不等式 我们可以把阿 基米德的结果与刘徽的结果集中地表示在一个圆上 读者可以通过简单的几何证明 得出 这样的结论 只要他们俩所用割圆术 所割正多边形边数相