2015mbampacc数学笔记

2015mbampacc 数学笔记 考题分布 第一章实数绝对值比和比例 2 题侧重于概念计算 第二章应用题 6 题 第三章整式分式和函数 1 2 题 第四章方程和不等式 2 题 第五章数列 2 题 第六章平面几何 2 题面积长度关系 第七章解析几何 2 题对称位置 第八章立体几何 2 题表面积体积 第九章排列组合 2 题 第十章概率出不 2 题 第十一章数据描述 1 题 初数 第一部分 算术 第一章实数绝对值比和比例 本章重点 实数 质数合数结论 奇偶性 被 2359 整除 绝对值 特性 非负性 比 ab cd a b c d ad bc 正比反比定义转换 等比定理 a b c d e f a c e b d f 平均值 平均值定理 一实数 1 数的概念与性质 1 整数与自然数 整数 z 正整数 z 自然数 n 最小的自然数为 0 0 负整数 z 2 质数与合数 质数 如果一个大于 1 的正整数只能被 1 和它本身整除 只有 1 和本身两个约数 也称素 数 合数 一个正整数能被 1 和本身整除外还能被其他的正整数整除 性质 都在正整数范围 且有无数多个 2 是唯一的既是质数又是偶数的整数即是唯一的偶质数 大于 2 的质数必为奇数 质数 中只有一个偶数 2 最小的质数为 2 若质数 p1a b 则必有 p1a 或 p1b 若正整数 ab 的积是质数 p 自卑又 a p 或 b p 1 既不是质数也不是合数 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2 如果两个质数的积是偶数那么其中 必有一个是 2 最小的合数为 4 任何一个合数都可以分解为几个质数的积 能写成几个质数的积的正整 数就是合数 互质数 公约数只有 1 的两个数称为互质数 20 以内的质数 2 3 5 7 11 13 17 19 3 奇数与偶数 整数 z 奇数 2n 1 偶数 2n 两个相邻整数必为一奇一偶 除了最小质数 2 是偶数外其余质数均为奇数 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 奇数 奇数 偶数 偶数 奇数 k 奇数 偶数k 偶数 4 分数与小数 5 整除倍数约数 求最小公倍数的方法 法一 分解质因数 分解后挑选最多的质因数组建为最小公倍数 法二 公式法 两数之积 最大公约数 最小公倍数 应用 步调不同对象同时相遇 求最大公余数与最小公倍数 对于两个正整数两个正整数之积 最大公约数 最小公倍数 已知最大公约数 最小公倍数求两个数 陷阱 分解时要保证互质关系 应用 植树 等间距 问题 日期 时间 同步 同余问题 2 实数 实数 有理数 正有理数 正整数 正分数 0 负有理数 负整数 负分数 有限小数 无限循环小数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 实数 正实数 正有理数 正整数 正负数 正无理数 0 负实数 负有理数 负整数 负分数 负无理数 常见无理数 E 根号 对数 3 常见整除的特点 能被 2 整除的数 个位为 0 2 4 6 8 能被 3 整除的数 各数位之和必能被 3 整除 能被 4 整除的数 末两位数字必须能被 4 整除 能被 5 整除的数 个位为 0 或 5 能被 6 整除的数 同时满足能被 2 和 3 整除的条件 能被 8 整除的数 末三位数字必须能被 8 整除 能被 9 整除的数 各数位数字之和必须能被 9 整除 能被 10 整除的数 个位为 0 能被 11 整除的数 从右向左奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被 11 整除包括 0 能被 12 整除的数 同时满足能被 3 和 4 整除的条件 二绝对值 1 定义 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数 零的绝对值还是零 本质 绝对值对于正数和零无影响 绝对值支队负数起变号作用 2 数学描述 a a a 0 a a 0 几何意义 a 表示数轴上 a 到原点的距离 3 基本不等式 x x a a a x a a xa x a x a xax a 4 4 性质性质 对称性 对称性 a a a a 等价性 等价性 a a 自比性自比性 x x x x 1 x x x x 1 x 0 x 0 1 1 x 0 x 0 非负性非负性 具有非负性的数 偶次方 偶次根号 具有非负性的数 偶次方 偶次根号 考点 若干个具有非负性质的数之和等于零时 则每个非负数应该为零 有限个非负数之考点 若干个具有非负性质的数之和等于零时 则每个非负数应该为零 有限个非负数之 和仍为非负数和仍为非负数 5 5 三角不等式三角不等式 a b a b a b a b a b a b 形如三角形三边关系两边之和大于第三边两边之差小于第三边形如三角形三边关系两边之和大于第三边两边之差小于第三边 左边等号成立的条件 左边等号成立的条件 ab 0ab B a B 右边等号成立的条件 右边等号成立的条件 同样有 同样有 左边等号成立条件 且 左边等号成立条件 且 右边等号成立条件 右边等号成立条件 绝对值类型绝对值类型 类型一 绝对值定义 核心 根据绝对值得表达式的符号去掉绝对值 类型一 绝对值定义 核心 根据绝对值得表达式的符号去掉绝对值 类型二 分类讨论 核心 根据两边类型二 分类讨论 核心 根据两边 x x 的系数值反推每个绝对值得正负情况的系数值反推每个绝对值得正负情况 类型三 利用数轴画图分析类型三 利用数轴画图分析 x a x b x a x b 表示表示 x x 到到 a a 与与 b b 的距离之和的距离之和 有最小值有最小值 a b a b 无最大值 无最大值 x a x b c x a x b c c a b c a b c a b 两根两根 c a b c a b 无无 数根数根 x a1 x b x a1 x b 表示表示 x x 到到 a a 与与 b b 的距离之差 最大值 的距离之差 最大值 a b a b 最小值最小值 a ba b x a x x a x 吧 吧 c c c a b c a b 或或 c a b c a b 无根无根 a b c a b a b c a b 一根 一根 C a b C a b 无数根无数根 类型四 绝对值三角不等式类型四 绝对值三角不等式 a b a b a b a b a b 0b 0c0b 0c0y 0 2 2 y 0yp a 1 p 1 p p 1 p p 4 4 甲比乙大甲比乙大 p p 甲甲 乙 乙 1 p 1 p 甲 甲 乙 乙 乙乙 p p 甲比乙小甲比乙小 p p 甲甲 乙 乙 1 p 1 p 乙 乙 甲 甲 乙乙 p p 5 5 比例性质 内项之积等于外项之积比例性质 内项之积等于外项之积 6 6 等比定理等比定理 a b c d e f a c e b d f a b c d e f a c e b d f 7 7 总量总量 部分量部分量 对应占得比例对应占得比例 三工程问题三工程问题 1 1 工作量工作量 s s 工作效率工作效率 v v 工作时间工作时间 t t s vts vt 2 2 重要说明重要说明 工作量工作量 对于一个题目对于一个题目 工作量往往是一定的可以将总的工作量看作工作量往往是一定的可以将总的工作量看作 1 1 少数变化时重新计算少数变化时重新计算 总量总量 工作效率工作效率 合作时总的效率等于各效率的代数和合作时总的效率等于各效率的代数和 效率可以直接相加减效率可以直接相加减 工作时间工作时间 不能直接相加减不能直接相加减 单独工作时间倒数看成效率单独工作时间倒数看成效率 3 3 重要结论重要结论 若甲单独完成若甲单独完成 m m 天乙单独完成天乙单独完成 n n 天则天则 甲效率甲效率 1 m1 m 乙的效率乙的效率 1 n1 n 合作效率合作效率 1 m 1 n 1 m 1 n 合作时合作时 间间 1 1 m 1 n mn m n 1 1 m 1 n mn m n 应用应用 出现多种完成方式先分别列出各种联系方式出现多种完成方式先分别列出各种联系方式 每个对象的时间单独核算每个对象的时间单独核算 再得到甲再得到甲 m m 天天 乙乙 n n 天最后按比例计算即可天最后按比例计算即可 技巧技巧 1 1 遇到多个对象参与工程找到效率最低的作为参考标准遇到多个对象参与工程找到效率最低的作为参考标准 先进行对象转化先进行对象转化 都用效率最都用效率最 小的对象表示小的对象表示 再按比例折算求解再按比例折算求解 2 2 遇到多种完成发方式的问题遇到多种完成发方式的问题 先分别列出每种完成方式先分别列出每种完成方式 每个时间对象单独核算每个时间对象单独核算 再通过完成方式比对得到甲再通过完成方式比对得到甲 m m 天天 乙乙 n n 天天 3 3 多个对象轮流工作多个对象轮流工作 先先 计算一个周期完成的工作量再确定需要的周期数量以及收尾对象计算一个周期完成的工作量再确定需要的周期数量以及收尾对象 4 4 效率发生变化的工程问效率发生变化的工程问 题题 先根据效率的变化关系得到原效率先根据效率的变化关系得到原效率 m m 天天 新效率新效率 n n 天再根据相差的天数扩大相应倍数天再根据相差的天数扩大相应倍数 四路程问题四路程问题 1 1 路程路程 s s 速度速度 v v 时间时间 t t s vts vt 2 2 直线型的路程问题直线型的路程问题 相遇相遇 同时出发同时出发 等量关系等量关系 用时相同用时相同 s s相遇 相遇 s s甲 甲 s s乙 乙 v v甲 甲t v t v乙 乙t v t v甲 甲 v v乙 乙 t t 追及追及 同时出发同时出发 等量关系等量关系 用时相同用时相同 s s追及 追及 s s甲 甲 s s乙 乙 v v甲 甲t v t v乙 乙t v t v甲 甲 v v乙 乙 t t t s vt s v甲 甲 v v乙 乙 3 3 环形环形 圆圈型圆圈型 同一站点同时出发同一站点同时出发 周长为周长为 s s 相遇一次时间为相遇一次时间为 t t 同向同向 等量关系经历时间相同等量关系经历时间相同 s ss s1 1 s s2 2 v v1 1t vt v2 2t vt v1 1 v v2 2 t t 甲乙每相遇一次甲比乙多跑一圈甲乙每相遇一次甲比乙多跑一圈 若相遇若相遇 n n 次则有次则有 s s甲 甲 s s乙 乙 ns ns v v甲 甲 v v乙 乙 s s甲 甲 s s乙 乙 ns s ns s乙 乙 s s乙 乙 ns s ns s乙 乙 1 1 反向反向 s s s s1 1 s s2 2 v v1 1t vt v2 2t vt v1 1 v v2 2 t t 每相遇一次甲与乙路程之和为一圈每相遇一次甲与乙路程之和为一圈 若相遇若相遇 n n 次次 s s甲 甲 s s乙 乙 ns ns v v甲 甲 v v乙 乙 ns s ns s乙 乙 s s乙 乙 ns s ns s乙 乙 1 1 技巧技巧 在做圆圈型追及相遇屉时求第在做圆圈型追及相遇屉时求第 k k 次相遇情况时可以讲次相遇情况时可以讲 k 1k 1 次相遇看成起点进行分析考次相遇看成起点进行分析考 虑虑 4 4 顺水逆水顺水逆水 V V顺 顺 v v船 船 v v氺 氺 v v逆逆 v v船 船 v v氺 氺 两个物体在水上相遇或追及所用时间与氺速无关两个物体在水上相遇或追及所用时间与氺速无关 5 5 相对速度相对速度 转换参照物转换参照物 同向运动同向运动 v v同向 同向 v v1 1 v v2 2 相向运动相向运动 v v相向 相向 v v1 1 v v 应用应用 1 1 通讯员与队伍通讯员与队伍 时间时间 l vl v0 0 v l v v l v0 0 v v 应用应用 2 2 火车与火车之间火车与火车之间 超越超越 时间时间 l l1 1 l l2 2 v v1 1 v v2 2 错车错车 时间时间 l l1 1 l l2 2 v v1 1 v v2 2 五浓度问题五浓度问题 1 1 基本量及公式基本量及公式 溶液溶液 溶质溶质 溶剂溶剂 浓度浓度 溶质溶质 溶液溶液 溶质溶质 溶质溶质 溶剂溶剂 浓度表示溶质占总体的百分比浓度表示溶质占总体的百分比 2 2 重要等量关系重要等量关系 浓度不变原则浓度不变原则 将溶液分成若干份将溶液分成若干份 每份的浓度相等每份的浓度相等 都等于原来溶液的浓度都等于原来溶液的浓度 将溶液倒掉一将溶液倒掉一 部分后部分后 剩余溶液的浓度与原溶液浓度相等剩余溶液的浓度与原溶液浓度相等 物质守恒原则物质守恒原则 物质物质 无论是溶质溶剂还是溶液无论是溶质溶剂还是溶液 不会增多也不会减少前后都是守恒的不会增多也不会减少前后都是守恒的 3 3 重要命题思路重要命题思路 1 1 稀释问题稀释问题 特征特征 溶质不变溶剂增多导致浓度减少溶质不变溶剂增多导致浓度减少 2 2 蒸发蒸发 浓缩浓缩 问题问题 特征特征 溶质不变溶剂减少导致浓度增加溶质不变溶剂减少导致浓度增加 3 3 加浓问题加浓问题 特征特征 溶剂不变溶质增多导致浓度增加溶剂不变溶质增多导致浓度增加 4 4 混合问题混合问题 采用质量守恒分析或杠杆原理采用质量守恒分析或杠杆原理 两种混合两种混合 a a 与与 b b 混合总量等于每部分量之和混合总量等于每部分量之和 也可用杠杆分析也可用杠杆分析 5 5 置换问题置换问题 原来溶液原来溶液 v v 升倒出升倒出 m m 升再补等量的溶剂升再补等量的溶剂 氺氺 则浓度为原来的则浓度为原来的 v m v v m v 六集合问题六集合问题 两个圆两个圆 a b a b a b a b a b a b 全集全集 非非 a a 非非 b b 三个圆 三个圆 命题方向一 按照拥有数量的情况划分对象命题方向一 按照拥有数量的情况划分对象 总数量总数量 拥有一个的人数拥有一个的人数 2 2 拥有两个的人数拥有两个的人数 3 3 拥有三个的人数拥有三个的人数 命题方向命题方向 2 2 按照元素具有的属性情况划分 按照元素具有的属性情况划分 a b c a b c a b b c a c a b c a b c a b c a b b c a c a b c 全集全集 非非 a a 非非 b b 非非 c c 七分段问题七分段问题 八不定方程八不定方程 三个未知量两个已知信息三个未知量两个已知信息 需要借助整除需要借助整除 倍数倍数 奇偶性奇偶性 尾数等特征得到唯一解尾数等特征得到唯一解 2 2 个未知信息个未知信息 1 1 个不等式信息个不等式信息 九杠杆原理九杠杆原理 应用应用 由两部分混合成一个整体由两部分混合成一个整体 二合一二合一 f f1 1 f f2 2 l l1 1 l l 求中间支点时直接按线段比例长度求解求中间支点时直接按线段比例长度求解 杠杆三类型思路杠杆三类型思路 类型一类型一 求求 f f1 1f f2 2其他已知其他已知 思路思路 f f1 1 f f2 2 b c c a b c c a 类型二类型二 求中间支点求中间支点 其他已知其他已知 c b a f c b a f2 2 f f1 1 f f2 2 a a 类型三类型三 求两端求两端 其他已知其他已知 思路思路 列方程列方程 尽量写成乘法尽量写成乘法 常考常考 男生女生男生女生 甲组乙组甲组乙组 优秀非优秀优秀非优秀 溶液混合溶液混合 硬币混合硬币混合 技巧技巧 离支点越近数量越多离支点越远数量越少离支点越近数量越多离支点越远数量越少 十年龄问题十年龄问题 特征特征 年龄的差值恒定年龄的差值恒定 年龄同步增长年龄同步增长 两人互相以对方年龄为参照两人互相以对方年龄为参照 十一最值问题十一最值问题 定植定植 利用平均值定理利用平均值定理 二次函数二次函数 利用抛物线利用抛物线 十二植树问题十二植树问题 等间距等间距 类型一类型一 开放型开放型 共共 l n 1 l n 1 棵树棵树 每隔每隔 n n 米共米共 l l1 1 l l2 2 n 1 n 1 棵树棵树 对于开放型植树问题直接用总长对于开放型植树问题直接用总长 间隔间隔 1 1 来计算来计算 类型二类型二 封闭型封闭型 直接用周长直接用周长 间隔来计算间隔来计算 十三还原问题十三还原问题 从后往前推算从后往前推算 十四牛吃草问题十四牛吃草问题 十五线性优化十五线性优化 两个未知量告知两个不等式方程两个未知量告知两个不等式方程 先写出等式联力解出先写出等式联力解出 2 2 个未知数个未知数 若所得结果为整数直接选答案若所得结果为整数直接选答案 若所得为小数分别讨论若所得为小数分别讨论 十六鸡兔同笼问题十六鸡兔同笼问题 十七至少至多十七至少至多 反面求解反面求解 杠杆原理的至少至多杠杆原理的至少至多 题型题型 题型题型 1 1 比例问题比例问题 例例 1 1 一公司向银行借款一公司向银行借款 3434 万元欲按万元欲按 1 2 1 3 1 91 2 1 3 1 9 的比例分配给下属甲乙丙三车间则甲车间的比例分配给下属甲乙丙三车间则甲车间 应得应得 解答解答 1 2 1 3 1 9 9 6 2 1 2 1 3 1 9 9 6 2 甲甲 9 17 34 18 9 17 34 18 万元万元 例例 2 2 奖金发给甲乙丙丁四人奖金发给甲乙丙丁四人 1 51 5 甲甲 1 31 3 乙发给丙的是甲乙奖金之差的乙发给丙的是甲乙奖金之差的 3 3 倍发给丁倍发给丁 200200 元这元这 批奖金批奖金 解答解答 法一法一 设总奖金为设总奖金为 15x15x 则则 3x 5x 6x 200 15x3x 5x 6x 200 15x x 200 x 200 总奖金总奖金 30003000 元元 法二法二 200 1 1 5 1 3 6 15 3000200 1 1 5 1 3 6 15 3000 元元 例例 3 3 某工厂由技术人员行政人员和工人组成共有男职工某工厂由技术人员行政人员和工人组成共有男职工 420420 人室女职工的人室女职工的 4 34 3 倍其中行政倍其中行政 人员占全体的人员占全体的 20 20 技术人员比工人少技术人员比工人少 1 251 25 有工人有工人 解答解答 女职工女职工 420 4 3 315420 4 3 315 人人 技术技术 工人工人 24 25 24 25 315 420 1 20 25 49 300 315 420 1 20 25 49 300 人人 例例 4 4 父亲体重与儿子体重的比等于母亲体重与女儿体重的比已知父亲体重与儿子体重之和父亲体重与儿子体重的比等于母亲体重与女儿体重的比已知父亲体重与儿子体重之和 125125 千克母亲体重与女儿体重之和千克母亲体重与女儿体重之和 100100 千克儿子比女儿重千克儿子比女儿重 1010 千克儿子体重千克儿子体重 解答解答 父父 子子 母母 女则女则 父父 子子 子子 母母 女女 女设儿子体重女设儿子体重 x x 则有则有 125 x 100 x 10 125 x 100 x 10 x 50 x 50 题型题型 2 2 利润问题利润问题 题型题型 3 3 路程问题路程问题 例例 7ab7ab 两地相距两地相距 1515 千米甲中午千米甲中午 1212 时从时从 a a 出发步行去出发步行去 b20b20 分钟后乙从分钟后乙从 b b 出发骑车前往出发骑车前往 a a 到到 达达 a a 后乙停留后乙停留 4040 分钟后骑车从原路返回结果甲乙同时到达乙地若乙比甲每小时快分钟后骑车从原路返回结果甲乙同时到达乙地若乙比甲每小时快 1010 千米千米 则两人同时到达则两人同时到达 b b 的时间为的时间为 解答解答 设甲设甲 x x 千米千米 小时小时 乙走乙走 x 10 x 10 千米千米 小时小时 15 x 30 10 x 115 x 30 10 x 1 x 5x 5 例例 8 8 在一条与铁路平行的公路上有一行人与一骑车人同向行进行人速度为在一条与铁路平行的公路上有一行人与一骑车人同向行进行人速度为 3 63 6 千米千米 小时骑小时骑 车人速度车人速度 10 810 8 千米千米 小时如果一列火车从后面小时如果一列火车从后面 同向匀速驶来通过行人时间同向匀速驶来通过行人时间 2222 秒通过骑车秒通过骑车 人时间是人时间是 2626 秒则火车长秒则火车长 解答解答 火车速度火车速度 v v 车厂车厂 l3 6l3 6 千米千米 小时小时 1 1 米米 秒秒 10 810 8 千米千米 小时小时 3 3 米米 秒则有秒则有 l v 1 22 l v 1 22 l v 3 26l v 3 26 l 286l 286 例例 9 9 两艘游艇净水中甲两艘游艇净水中甲 3 33 3 千米千米 小时乙小时乙 2 12 1 千米千米 小时于同一时刻相向出发甲下游上行乙小时于同一时刻相向出发甲下游上行乙 从相距从相距 2727 千米上游下行途中相遇后又经过千米上游下行途中相遇后又经过 4 4 小时甲到达乙的出发地水流速度是小时甲到达乙的出发地水流速度是 解答解答 27 3 3 2 1 5 27 3 3 2 1 5 小时甲需要小时甲需要 5 45 4 小时速度为小时速度为 27 9 327 9 3 千米千米 小时水流速度小时水流速度 3 3 3 0 3 3 3 3 0 3 千米千米 小时小时 题型题型 4 4 工程问题工程问题 例例 1010 空水槽有甲乙丙三个水管甲空水槽有甲乙丙三个水管甲 5 5 分注满乙分注满乙 3030 分注满丙分注满丙 1515 分放完三观起开分放完三观起开 2 2 分后关上乙分后关上乙 放满时甲共开放了放满时甲共开放了 解答解答 1 1 5 1 30 1 15 2 1 5 1 15 2 7 1 1 5 1 30 1 15 2 1 5 1 15 2 7 例例 1111 一项工程由甲乙两合作一项工程由甲乙两合作 3030 天甲单独天甲单独 2424 天后乙加入合作天后乙加入合作 1010 天后甲调走乙继续天后甲调走乙继续 1717 天完天完 成若甲单独做完需要成若甲单独做完需要 解答解答 30 1 x 1 y 1 30 1 x 1 y 1 34 x 27 y 134 x 27 y 1 x 70 x 70 题型题型 5 5 年龄问题年龄问题 题型题型 6 6 杠杆原理杠杆原理 交叉法交叉法 题型题型 7 7 浓度问题浓度问题 题型题型 8 8 植树问题植树问题 题型题型 9 9 还原问题还原问题 题型题型 1010 路程问题路程问题 圆圈型圆圈型 题型题型 1111 工程问题工程问题 逆水放水问题逆水放水问题 牛吃草问题牛吃草问题 题型题型 1212 浓度问题浓度问题 题型题型 1313 分段计费分段计费 题型题型 1414 集合问题集合问题 题型题型 1515 不定方程不定方程 题型题型 1616 线性优化线性优化 题型题型 1717 至少至多问题至少至多问题 第二部分代数第二部分代数 第三章整式分式和函数第三章整式分式和函数 一基本定义一基本定义 1 1 单项式单项式 2 2 多项式多项式 3 3 整式整式 4 4 分式分式 5 5 最简分式最简分式 6 6 有理式有理式 基本公式 基本公式 a ba b 2 2 a a2 2 2ab b2 2ab b2 a 1 a a 1 a 2 2 a a2 2 2 1 a 2 1 a2 2 a b a b 2 2 a b a b 2 2 4ab 4ab X X2 2 1 x 1 x2 2 x 1 x x 1 x 2 2 2 2 X X4 4 1 x 1 x4 4 x x2 2 1 x 1 x2 2 2 2 2 2 X X3 3 1 x 1 x3 3 x 1 x x x 1 x x2 2 1 1 x 1 1 x2 2 x 1 x x 1 x 根号下 根号下 x 1 xx 1 x 2 2 根号下根号下 x 1 xx 1 x 2 2 4 4 a b c a b c 2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 ab bc ac 2 ab bc ac a b a b a a b a b a2 2 b b2 2 形如形如 x y x x y x2 2 y y2 2 乘以 乘以 x yx y 再除以 再除以 x yx y 恒等变形 恒等变形 当当 1 a 1 b 1 c 01 a 1 b 1 c 0 时有时有 a a2 2 b b2 2 c c2 2 a b c a b c 2 2 a b a b 2 2 a a2 2 2ab c 2ab c2 2 a b c a b c 2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2ab 2bc 2ac 2ab 2bc 2ac 二整式的除法二整式的除法 1 1 从数的除法延伸到式子从数的除法延伸到式子 2 2 因式定理 因式定理 f x f x 含有 含有 ax bax b 因式 因式 f f x x 能被 能被 ax bax b 整除 整除 f f b ab a 0 0 3 3 余式定理余式定理 三分解因式三分解因式 方法 公式法 分组分解法 十字相乘法 双十字相乘法 提公因式法 拆项补项法 待方法 公式法 分组分解法 十字相乘法 双十字相乘法 提公因式法 拆项补项法 待 定系数法定系数法 四指数函数 对数函数四指数函数 对数函数 1 1 运算公式运算公式 五集合的有关概念五集合的有关概念 因式检验定理 因式检验定理 多项式多项式 f f x x a an nx xn n a an 1 n 1x xn 1 n 1 a a1 1x ax a0 0若若 ax bax b 为为 f f x x 因式则有 因式则有 a aa an n b bb bn n 约数 约数 因式为因式为 0 0 是函数值也为是函数值也为 0 0 ax bax b 为 为 f f x x 因式 因式 f b a 0 f b a 0 注意 注意 a a 只能取正的约只能取正的约 数 数 b b 要取正负的约数要取正负的约数 穿线法 用于确定多个因式相乘或相除的符号 注意 穿线法 用于确定多个因式相乘或相除的符号 注意 x x 的系数均为正 因为从右上方穿的系数均为正 因为从右上方穿 线 奇穿偶不穿 因为偶次恒正 线 奇穿偶不穿 因为偶次恒正 题型题型 题型题型 1 1 乘法公式乘法公式 若几个数之和大于若几个数之和大于 0 0 则至少有一个大于则至少有一个大于 0 0 若几个数之和小于若几个数之和小于 0 0 则至少有一个小于则至少有一个小于 0 0 题型题型 2 2 完全平方式 完全平方式 题型题型 3 3 因式定理及因式分解因式定理及因式分解 题型题型 4 4 表达式化简计算表达式化简计算 题型题型 5 5 指数的计算指数的计算 题型题型 6 6 对数的计算对数的计算 题型题型 7 7 有关整式的计算有关整式的计算 题型题型 8 8 分式的化简分式的化简 题型题型 9 9 有关恒等式的变形有关恒等式的变形 题型题型 1010 表达式取值情况的讨论表达式取值情况的讨论 题型题型 1111 考察余式定理考察余式定理 题型题型 1212 余式定理的应用余式定理的应用 题型题型 1313 指数与对数函数指数与对数函数 题型题型 1414 整体代入求值整体代入求值 第四章方程和不等式第四章方程和不等式 一基本概念和定义一基本概念和定义 1 1 方程方程的解方程方程的解 2 2 方程的元和次方程的元和次 3 3 一元一次方程一元一次方程 二结论二结论 1 1 2 2 3 3 不等式的基本性质不等式的基本性质 4 4 一元二次方程组 消元法一元二次方程组 消元法 开口向上 离对称轴越近函数值越小开口向上 离对称轴越近函数值越小 开口向下 离对称轴越远函数值越大开口向下 离对称轴越远函数值越大 若顶点在区间内则在顶点处分析最值若顶点在区间内则在顶点处分析最值 若顶点不在区间内则在边界两点出分析最值若顶点不在区间内则在边界两点出分析最值 X X1 1 x x2 2 b a b a 与与 c c 无关无关 X X1 1x x2 2 c a c a 与与 b b 无关无关 1 x1 x1 1 1 x 1 x2 2 b c b c 与与 a a 无关无关 韦达定理不仅适用于实根也适用于虚根需要注意验证韦达定理不仅适用于实根也适用于虚根需要注意验证 5 5 无理方程无理方程 重点 两个根号的处理思路一般平方重点 两个根号的处理思路一般平方 2 2 次次 6 6 分式方程分式方程 7 7 一元二次不等式一元二次不等式 表达式有意义的条件 分式分母不等于表达式有意义的条件 分式分母不等于 0 0 偶次根号非负 对数真数大于偶次根号非负 对数真数大于 0 0 8 8 分式不等式 移项 通分 合并分式不等式 移项 通分 合并 三次方程的韦达定理三次方程的韦达定理 axax3 3 bx bx2 2 cx d 0 cx d 0 X X1 1 x x2 2 x x3 3 b a b a 同次同次 X X1 1x x2 2x x3 3 d a d a X X1 1x x2 2 x x2 2x x3 3 x x1 1x x3 3 c a c a 函数与函数与 x x 轴的交点表示对应方程跟 轴的交点表示对应方程跟 根的范围根的范围 符号 两正跟 两负根 一正一负根符号 两正跟 两负根 一正一负根 韦达定理 韦达定理 不等式经过多次运算范围会扩大不等式经过多次运算范围会扩大 核心 当函数在给定区间的两个端点值异号时则在该区间就产生根 核心 当函数在给定区间的两个端点值异号时则在该区间就产生根 特殊 特殊 axax2 2 bx c 0 bx c 0 一根比一根比 k k 大一根比大一根比 k k 小小 af x 0 af x 0 0 0 注意 当注意 当 x x2 2系数与系数与 x x 系数可同时为系数可同时为 0 0 需讨论否则无需讨论需讨论否则无需讨论 类型二与最值相关的恒成立表达式类型二与最值相关的恒成立表达式 技巧 遇到技巧 遇到 a 1 aa 1 a 取取 a 1a 1 代入验证 核心 万能转换代入验证 核心 万能转换 F x sF x s s 解为解为 R R 恒成立 恒成立 F F x x 最大值 最大值 M M 最小值最小值 m m F F x x sms m ms m s ms s ms 2 2 唯一联系唯一联系 s sn n与与 a an n 的关系式的关系式 s sn n 的应用 用于求通项 a an n s sn n s sn 1 n 1 n n 2 2 用于求若干个序号相连元素求和用于求若干个序号相连元素求和 i k i kn nai ai s sn n s sn 1 n 1 S S 中的常数项只影响首项不影响求和的差值 中的常数项只影响首项不影响求和的差值 题型题型 题型题型 1 1 等差数列等差数列 题型题型 2 2 等比数列等比数列 题型题型 3 3 等差数列和等比数列等差数列和等比数列 题型题型 4 4 特殊数列求和 特殊数列求和 题型题型 5 5 数列与方程结合数列与方程结合 题型题型 6 6 已知前已知前 n n 项和或通项或递推关系中的部分求其他项和或通项或递推关系中的部分求其他 题型题型 7 7 数列的最值数列的最值 题型题型 8 8 数列的性质数列的性质 题型题型 9 9 数列中的应用题数列中的应用题 第三部分几何第三部分几何 第六章平面几何第六章平面几何 一平行直线一平行直线 2 2 线段比例线段比例 二三角形二三角形 1 1 角 角 内角和为内角和为 180180 N N 边形内角和 边形内角和 n 2n 2 180180 外角等于不相邻两内角之和 外角之和等于外角等于不相邻两内角之和 外角之和等于 360360 2 2 三边关系 任两边之和大于第三边 任两边之差小于第三边三边关系 任两边之和大于第三边 任两边之差小于第三边 三四边形 内角和三四边形 内角和 360360 1 1 平行四边形 特征 对边平行且相等对角相等对角线互相平分 注意对角线不一定平分平行四边形 特征 对边平行且相等对角相等对角线互相平分 注意对角线不一定平分 内角面积内角面积 s s 底底 高高 2 2 矩形 有一个角矩形 有一个角 9090 的平行四边形 对角线长度相等均为根号下 的平行四边形 对角线长度相等均为根号下 a a2 2 b b2 2 面积 面积 ab ab 3 3 菱形 特征 四边相等的平行四边形对角线垂直平分菱形 特征 四边相等的平行四边形对角线垂直平分 面积面积 s ls l1 1l l2 2 2 2 4 4 梯形 梯形 两个特殊梯形两个特殊梯形 等腰梯形 特征 两底角相等两顶角相等两对角线长相等等腰梯形 特征 两底角相等两顶角相等两对角线长相等 h h 根号下 根号下 c c2 2 b ab a 2 2 4 4 直角梯形 直角梯形 h h 根号下 根号下 c c2 2 n an a 2 2 概念 概念 弧 优弧 劣弧 弧 优弧 劣弧 弦 连接圆上两点的直线段 最长弦为直径弦 连接圆上两点的直线段 最长弦为直径 弓形 弧弓形 弧 弦 弦 扇形 弓形扇形 弓形 2 2 半径半径 圆心角 角的顶点在圆心圆心角 角的顶点在圆心 圆周角 角的顶点在圆周上同弧所对圆周角相等等弦对等角圆周角 角的顶点在圆周上同弧所对圆周角相等等弦对等角 弦切角 切线与过切点的弦构成的夹角弦切角 切线与过切点的弦构成的夹角 圆心距 两圆圆心圆心距 两圆圆心 的距离的距离 弦心距 圆心到弦的距离弦心距 圆心到弦的距离 圆心角圆心角 2 2 圆周角圆周角 弦切角弦切角 圆周角圆周角 四边形或多边形可分割为若干个三角形分析 四边形或多边形可分割为若干个三角形分析 考试方向 考试方向 1 1 求长度 利用比例关系 相似 平行 全等 折叠对称 求长度 利用比例关系 相似 平行 全等 折叠对称 2 2 判断形状判断形状 内角 有一个内角内角 有一个内角 9090 直角三角形 相似垂直 直角三角形 相似垂直 有有 2 2 个内角相等等腰三角形有个内角相等等腰三角形有 3 3 个内角个内角 相等等边三角形相等等边三角形 外心 在三角形某边上直角三角形 在三角形内部锐角三角形 在三角形外部钝角三角形外心 在三角形某边上直角三角形 在三角形内部锐角三角形 在三角形外部钝角三角形 垂心 三高交点 在三角形边界 直角顶点 直角三角形 在三角形内部锐角三角形 垂心 三高交点 在三角形边界 直角顶点 直角三角形 在三角形内部锐角三角形 在三角形外部钝角三角形在三角形外部钝角三角形 内心与垂心永远在给内部内心与垂心永远在给内部 求面积 求面积 常规图形求面积的核心技巧 常规图形求面积的核心技巧 平行 三角形平行 三角形 abcabc 面积不变面积不变 s 1 2 abhs 1 2 abh 三部曲 读题审题找思路 将已知条件建立等量 三部曲 读题审题找思路 将已知条件建立等量 关系 计算求解关系 计算求解 三角形 三角形 s 1 2 s 1 2 底高 同底面积之比等于高之比 等高面积之比等于底之比 同底等高则底高 同底面积之比等于高之比 等高面积之比等于底之比 同底等高则 面积相等 相似时面积比等于相似比的平方面积相等 相似时面积比等于相似比的平方 一般四边形 对角线互相垂直一般四边形 对角线互相垂直 s ls l1 1l l2 2 2 2 s s1 1s2 ss2 s3 3s s4 4 平行四边形 两对角线互相平分 两对角线交点分别为对角线中点平行四边形 两对角线互相平分 两对角线交点分别为对角线中点 圆 弧 等弧圆周角相等弦长相等 直径所对圆周角为圆 弧 等弧圆周角相等弦长相等 直径所对圆周角为 9090 题型题型 题型题型 1 1 确定角度确定角度 题型题型 2 2 求长度求长度 题型题型 3 3 三角形的全等相似三角形的全等相似 题型题型 4 4 判断三角形的形状判断三角形的形状 题型题型 5 5 基本图形的面积基本图形的面积 题型题型 6 6 与圆相关的长度与圆相关的长度 题型题型 7 7 三角形的私信五线三角形的私信五线 题型题型 8 8 四边形及多边形四边形及多边形 题型题型 9 9 求面积求面积 题型题型 1010 求距离的最值求距离的最值 题型题型 1111 求面积的最值求面积的最值 第七章解析几何第七章解析几何 一平面直角坐标系一平面直角坐标系 二平面直线二平面直线 三圆三圆 题型题型 题型题型 1 1 中点坐标共识中点坐标共识 题型题型 2 2 距离距离 题型题型 3 3 判断图像的形状性质判断图像的形状性质 题型题型 4 4 解析几何面积解析几何面积 题型题型 5 5 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 题型题型 6 6 求直线圆的方程求直线圆的方程 题型题型 7 7 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 题型题型 8 8 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 题型题型 9 9 轴对称问题轴对称问题 题型题型 1010 中心对称问题中心对称问题 题型题型 1111 对称的应用 光的反射对称的应用 光的反射 题型题型 1212 解析几何的最值问题解析几何的最值问题 第八章立体几何第八章立体几何 题型题型 题型题型 1 1 长方体 正方体 长方体 正方体 题型题型 2 2 圆柱体圆柱体 题型题型 3 3 球体球体 题型题型 4 4 愣住愣住 题型题型 5 5 体积比较体积比较 题型题型 6 6 切开融合切开融合 题型题型 7 7 与水相关的体积计算与水相关的体积计算 题型题型 8 8 内切球外接球内切球外接球 第九章排列组合第九章排列组合 一加法原理一加法原理 1 1 定义 完成某事分成定义 完成某事分成 n n 类办法没类办法有类办法没类办法有 m mi i种方法则完成任务有种方法则完成任务有 m m1 1 m m2 2 m m3 3 m mn n种种 2 2 核心 每类办法能独立完成任务核心 每类办法能独立完成任务 3 3 特征 分成特征 分成 n n 类就有类就有 n n 项相加项相加 二乘法原理二乘法原理 1 1 定义 完成某事分成定义 完成某事分成 n n 步每步又有步每步又有 m mi i种方法则完成任务种方法则完成任务 m m1 1m m2 2 m mn n种种 2 2 核心 缺少任何一步均无法完成任务核心 缺少任何一步均无法完成任务 3 3 特征 分成几步就有几项相乘特征 分成几步就有几项相乘 两个原理的联系区别 当加法与乘法同时出现一定要先宏观分