《定积分的概念》PPT课件.ppt

定积分的概念 一 引入定积分概念的实例二 定积分的概念三 定积分的几何意义四 定积分的性质 一 引入定积分概念的实例 引例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数f x 在区间 a b a b 上非负且连续 由曲线y f x 直线x a x b及x轴围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧y f x 称为曲边 线段ab称为底边 问题求由x a x b y 0与y f x 所围成的曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积A的具体做法 1 分割在 a b 内插入n 1个分点 过每个分点xi i 1 2 n 作y轴的平行线 将曲边梯形分割成n个小曲边梯形 记每一个小区间的长度为 把区间 a b 分成n个小区间 我们同样可以用这种 分割 近似 求和 取极限 的方法解决变力作功的问题 引例2变力做功 计算步骤 1 分割 以上两问题虽然不同 但解决问题的方法却相同 即归结为求同一结构的总和的极限 由此引入定积分的概念 二 定积分的概念 定义 定积分 简称积分 其中f x 叫做被积函数 f x dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a叫做积分下限 b叫做积分上限 a b 叫做积分区间 根据定积分的定义 前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述 曲线 x轴及两条直线x a x b所围成的曲边梯形面积A等于函数f x 在区间 a b 上的定积分 即 质点在变力F s 作用下作直线运动 由起始位置a移动到b 变力对质点所做之功等于函数F s 在 a b 上的定积分 即 如果函数f x 在区间 a b 上的定积分存在 则称函数f x 在区间 a b 上可积 关于定积分的概念 还应注意两点 1 定积分是积分和式的极限 是一个数值 定积分值只与被积函数f x 及积分区间 a b 有关 而与积分变量的记法无关 即有 2 在定积分的定义中 总假设 为了今后的使用方便 对于时作如下规定 定积分的几何意义 如果在 a b 上 则在几何上表示由曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积 如果在 a b 上 此时由曲线y f x 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数 如果在 a b 上f x 既可取正值又可取负值 则定积分在几何上表示介于曲线y f x 直线x a x b及x轴之间的各部分面积的代数和 三 定积分的几何意义 四 定积分的性质 性质1 证明 设下面函数f x fi x g x 在 a b 上可积 推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和 即 性质2 证明 如果积分区间 a b 被分点c分成区间 a c 和 c b 则 性质3 性质3表明定积分对积分区间具有可加性 这个性质可以用于求分段函数的定积分 当c在区间 a b 之外时 上面表达式也成立 利用定积分的几何意义 可分别求出 例1 解 性质4 性质5 推论1 性质6 估值定理 证明 曲边梯形的面积小于由y M x a x b及x轴所围成的矩形面积 而大于由y m x a x b及x轴所围成的矩形面积 性质6的几何意义 例2 解 性质7 定积分中值定理 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 则在积分区间 a b 上至少存在一个点 使下式成立 证明因为函数f x 在闭区间 a b 上连续 根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理 f x 在 a b 上一定有最大值M和最小值m 由定积分的性质6 有 即数值介于f x 在 a b 上的最大值M和最小值m之间 性质7的几何意义 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 我们称为函数f x 在 a b 上的平均值 如已知某地某时自0至24时天气