二项式定理经典习题及答案

二项式定理二项式定理 1 求展开式的 x x 29 1 2 1 第 6 项的二项式系数 2 第 3 项的系数 3 的系数 x 9 分析 1 由二项式定理及展开式的通项公式易得 第 6 项的二项式系数为 C9 5 126 2 故第 3 项的系数为 9 TCx x x 39 227212 1 2 9 3 令 故 r 3 所TCx x Cx r rrrrrr 19 29 9 18 3 1 2 1 2 1839 r 求系数是 1 2 21 2 3 9 3 C 2 求证 能被 7 整除 511 51 分析 51149214949249 221 5151 51 051 51 150 51 5150 51 5151 CCCC 除以外各项都能被 7 整除 C51 5151 21 又CCCCC 51 515131717 17 017 17 116 17 16 17 17 21217117771 显然能被 7 整除 所以能被 7 整除 511 51 3 求除以 100 的余数 9192 分析 91901909090 9292 92 092 92 191 92 91 92 92 CCCC 由此可见 除后两项外均能被 100 整除 而CC 92 91 92 92 9082818210081 故除以 100 的余数为 81 9192 4 2009 北京卷文 若 4 12 2 aba b 为有理数 则ab A 33B 29C 23D 19 答案答案 B w 解析解析 本题主要考查二项式定理及其展开式 属于基础知识 基本运算的考查 401234 01234 44444 1222222CCCCC 14 2128 2417 12 2 由已知 得17 12 22ab 17 1229ab 故选 B 5 2009 北京卷理 若 5 12 2 aba b 为有理数 则ab A 45 B 55 C 70 D 80 答案答案 C 解析解析 本题主要考查二项式定理及其展开式 属于基础知识 基本运算的考查 5012345 012345 555555 12222222CCCCCC 1 5 22020 2204 24129 2 由已知 得4129 22ab 412970ab 故选 C 6 已知的展开式中 前三项系数的绝对值依次成等差数列 x x n 1 24 1 证明展开式中没有常数项 2 求展开式中所有的有理项 分析 依条件可得关于 n 的方程求出 n 然后写出通项 讨论常数项和有理项对 rTr 1 的限制 解 解 依题意 前三项系数的绝对值分别为 1 且CC nn 122 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 122 CC nn 即nn 2 980 解得 n 8 或 n 1 舍去 TCx x C x r rrrr r r r 18 8 4 8 16 3 4 1 2 1 2 1 若为常数项 当且仅当 即 而 这不可能 故Tr 1 163 4 0 r 316r rZ 展开式中没有常数项 2 若为有理数 当且仅当为整数 Tr 1 163 4 r 08 rrZ 即展开式中的有理项共有三项 r0 4 8 TxTxTx 1 4 59 2 35 8 1 256 7 1 如果 122 12222187 nn nnn CCC 则 012n nnnn CCCC 答 128 2 化简 012 23 1 n nnnn CCCnC 答 1 2 2nn 已知 929 0129 1 3 xaa xa xa x 则 0129 aaaa 等于 答 9 4 2 200422004 0122004 1 2 xaa xa xax 则 0102 aaaa 02004 aa 答 2004 3 3 设 n n n xaxaxaaxx 2 2 2 210 2 1 则 n aaa 220 答 2 13 n 8 湖南理 15 将杨辉三角中的奇数换成 1 偶数换成 0 得到如图 1 所示的 0 1 三角数 表 从上 往下数 第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行 第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行 第次全行的数都为 1 的是第 行 第 61 行中 1 的个数是 n 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1 答案 3221 n 9 04 上海春季高考 如图 在由二项式系数所构成的杨辉三角形中 第 34 行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 3 2 10 2009 江西卷理 1 naxby 展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243 不含 y的项的系数绝对值的和为32 则 a b n的值可能为 A 2 1 5abn B 2 1 6abn C 1 2 6abn D 1 2 5abn 答案 D 解析 5 1 2433 n b 5 1 322 n a 则可取1 2 5abn 选 D 11 2009 湖北卷理 设 2 22212 01212 2 2 nnn nn xaa xa xaxa x 则 22 024213521 lim nn n aaaaaaaa 1A 0B 1C 2 2 D 答案 B 解析 令0 x 得 2 0 21 22 n n a 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 令1x 时 2 0122 2 1 2 n n aaaa 两式相加得 22 022 22 1 1 22 2 nn n aaa 两式相减得 22 1321 22 1 1 22 2 nn n aaa 代入极限式可得 故选 B 12 2009 湖北卷文 已知 1 ax 3 1 10 x bx3 a3x3 则 b 答案 40 解析 因为 15 rr r TCax 解得2 40ab 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 13 2009 四川卷文 6 1 2 2 x x 的展开式的常数项是 用数字作答 m 答案答案 20 解析解析 rrrrrrrr r xC x xCT 2626 6 6 61 2 1 2 1 2 1 令026 r 得3 r 故展开式的常数项为20 1 3 6 3 C 14 2009 湖南卷理 在 323 1 1 1 xxx 的展开式中 x的系数为 7 用数 字作答 答案 7 解析 由条件易知 3333 1 1 1 xxx 展开式中x项的系数分别是 123 333 C C C 即所求系数是33 17 15 2009 浙江卷理 观察下列等式 153 55 22CC 15973 999 22CCC 15913115 13131313 22CCCC 1591317157 1717171717 22CCCCC 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 nN 15941 41414141 n nnnn CCCC 答案 4121 212 n nn 解析 这是一种需类比推理方法破解的问题 结论由二项构成 第二项前有 1 n 二 项指数分别为 4121 2 2 nn 因此对于 nN 15941 41414141 n nnnn CCCC 4121 212 n nn 16 在 x2 3x 2 5的展开式中 x 的系数为 A 160B 240 C 360 D 800 17 已知 S 在 S 的展开式中 x3项 1010 10 33 10 22 10 1 10 1 C 1 C 1 C 1 C xxxx 的系数为 A 10 10 4 10 3 10 CCC B 7 10 10 10 2 5 5 10 1 4 4 10 3 10 CCCCCCC C 0 D 1 18 2002 年全国高考题 x2 1 x 2 7的展开式中 x3项的系数是 答案 1008 19 展开式中 x4的系数为 54 1 1 xx A 40B 10C 40D 45 20 已知 3x2 n展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大 992 32 x 1 求展开式中二项式系数最大的项 2 求展开式中系数最大的项 答案 1 3 26 3 22 405 2 270 xx 21 设 则 Nn 12321 666 nn nnnn CCCC 解 由二项式定理得 即 nnn nnnn CCCC 61 66661 33221 61 故原式 nnn nnnn CCCC7 666 12321 17 6 1 n 22 在的二项展开式中 含的奇次幂的项之和为 当时 等于 2006 2 xxS2 xS A B C D 3008 2 3008 2 3009 2 3009 2 解 令 20062005 2005 3 3 2 210 2006 2 xxaxaxaxaax 取 分别得2 2 xx 0 2 2 2 2006 3 3 2 2 10 xaaaa 30092006 3 3 2 2 10 2 2 2 2 xaaaa 两式相减得 3008 2005 2005 3 3 1 2 2 2 2 aaa 故选 B 项 23 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成 2003 年某地区农民人均收入为 3150 元 其中工资性收入为 1800 元 其它收入为 1350 元 预计该地区自 2004 年起的 5 年内 农民的工资性收入将以每年 6 的年增长率增长 其它收入每年增加 160 元 根据以上数 据 2008 年该地区农民人均收入介于 A 4200 元 4400 元 B 4400 元 4600 元 C 4600 元 4800 元 D 4800 元 5000 元 解 2008 年农民工资性收入为 06 0 06 0 1 1800 06 0 1 1800 22 5 1 5 5 CC 036 0 3 01 1800 元 2405336 1 1800 又 2008 年农民其它人均收入为 元 215051601350 故 2008 年农民人均总收入约为 元 455521502405 故选 B 项 24 2003 已知数列 n 为正整数 是首项是 a1 公比为 q 的等比数列 1 求和 n a 2 由 1 的结果归纳概括出关于 2 23 1 22 0 21 CaCaCa 3 34 2 33 1 32 0 31 CaCaCaCa 正整数 n 的一个结论 并加以证明 1 2 1 2 23 1 22 0 21 q1 aCaCaCa 2 归纳概括的结论为 若数列是首 3 1 3 34 2 33 1 32 0 31 q1 aCaCaCaCa n a 项为 a1 公比为 q 的等比数列 则 n n1n n3 n4 2 n3 1 n2 0 n1 Ca 1 CaCaCaCa 证明略 Nn q1 a n 1 25 2007 湖北文 理 湖北文 理 如果 的展开式中含有非零常数项 则正整数 n 的最 n x x 3 2 2 3 小值为 B A 3 B 5 C 6 D 10 26 2007 江苏 江苏 若对于任意实数 有 则x 323 0123 2 2 2 xaa xaxa x 的值为 B 2 a A B C D 36912 27 2007 江西文 江西文 设 x2 1 2x 1 9 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a11 x 2 11 则 a0 a1 a2 a11的值为 A 2 B 1 C 1 D 2 28 2007 江西理 江西理 已知 n展开式中 各项系数的和与其各项二项式系数的和x 3 3 x 之比为 64 则 n 等于 C A 4 B 5 C 6 D 7 29 2007 安徽文安徽文 已知 则 5 54 3 3 2 210 5 4 1 xaxaxaxaxaax 的值等于 256 531420 aaaaaa 30 2005 浙江卷理第浙江卷理第 5 题 题 在 1 x 5 1 x 6 1 x 7 1 x 8的展开式中 含x3的项的系数是 A 74 B 121 C 74 D 121 答案 D 10 求展开式中系数最大的项 8 4 2 1 x x 解 记第项系数为 设第项系数最大 则有r r Tk 又 那么有 1 1 kk kk TT TT 1 1 8 2 r r rC T k k k k k k k k CC CC 2 2 2 2 8 1 1 8 2 2 8 1 1 8 即 8 8 2 9 1 8 2 10 2 8 9 1 8 KKKK KKKk KK KK 1 9 2 2 2 1 1 解得 系数最大的项为第 3 项和第 4 项 43 k 2 5 3 7xT 2 7 4 7xT 1 系数绝对值最大的项 例 11 在 的展开式中 系数绝对值最大项是 7 yx 解 求系数绝对最大问题都可以将 型转化为型来处理 n ba n ba 故此答案为第 4 项 和第 5 项 43 4 7 yx C 52 5 7 yx C 31 99 全国 若 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 则的值为 2 31 2 420 aaaaa 解 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 令 有 1 x 43210 4 32 aaaaa 令 有1 x 32 31420 4 aaaaa 故原式 3142043210 aaaaaaaaaa 44 32 32 1 1 4 32 04 天津 若 20042 210 2004 2004 21 xxaxaax 则 200402010 aaaaaa 解 20042 210 2004 2004 21 xxaxaax 令 有1 x1 21 2004210 2004 aaaa 令 有0 x1 01 0 2004 a 故原式 02004210 2003 aaaaa 200420031 在用 赋值法 求值时 要找准待求代数式与已知条件的联系 一般而言 特0 1 1 殊值在解题过程中考虑的比较多 33 设 01 5 5 6 6 6 12 axaxaxax 则 6210 aaaa 分析 解题过程分两步走 第一步确定所给绝对值符号内的数的符号 第二步是用赋 值法求的化简后的代数式的值 解 rr r r xT C 1 2 6 6 1 65432106210 aaaaaaaaaaa 5316420 aaaaaaa 0 34 江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一 若 1 mx 6 a0 a1x a2x2 a6x6且 a1 a2 a6 63 则实数 m 的值为 A 1 B 1 C 3 D 1 或 3 答案 D 35 广东省深圳外国语学校 2008 届第三次质检 若 5 5 2 210 5 1 1 1 1 xaxaxaax 则 0 a A 32 B 1 C 1 D 32 答案 A 36 河北省正定中学 2008 年高三第五次月考 若二项式 2 3 2 3 n x x nN 展开式中含有 常数项 则n的最小取值是 A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 37 黑龙江省哈尔滨九中 2008 年第三次模拟考试 设 1 1 x 2 1 2x 2 1 3x 2 1 nx 2 a0 a1x a2x2 则 1 2 0 lim a a n 的值是 A 0 B C 1 D 2 1 2 答案 C 38 湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考 代数式 522 1 524 xxx的展开式中 含 4 x项的系数是 A 30B 30C 70D 90 答案 A 39 08 年辽宁卷 15 已知的展开式中没有常数项 且 2 3 1 1 n xxx x n N 2 n 8 则 n 分析 本小题主要考查二项式定理中求特定项问题 依题对中 3 1 nx x 2 8nNn 只有时 其展开式既不出现常数项 也不会出现与 乘积为常数的项 故填5n x 2 x 5 40 04 天津 若 则 2004 21x 2004 2004 2 210 Rxxaxaxaa 20040302010 aaaaaaaa 解析 直接展开由各项系数求解将误入歧途 二项式定理既是公式 又可视为方程 式或恒等式 故可用多项式恒等理论和赋值法去求解 解 取得 1 0 xx1 0 a1 2004210 aaaa 故原式 2004 2003 2004100 aaaa 41 2009 北京卷理 若 5 12 2 aba b 为有理数 则ab A 45 B 55 C 70 D 80 答案答案 C 解析解析 本题主要考查二项式定理及其展开式 属于基础知识 基本运算的考查 5012345 012345 555555 12222222CCCCCC 1 5 22020 2204 24129 2 由已知 得4129 22ab 412970ab 故选 C 42 2009 江西卷理 1 naxby 展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243 不含 y的项的系数绝对值的和为32 则 a b n的值可能为 A 2 1 5abn B 2 1 6abn C 1 2 6abn D 1 2 5abn 答案 D 解析 5 1 243