【第一方案】高三数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布章末整合练习

用心 爱心 专心 1 第第 1212 章计数原理 概率 随机变量及其分布章末整合章计数原理 概率 随机变量及其分布章末整合 理 一 选择题 6 5 分 30 分 1 2011 广州模拟 在区间 上随机取一个数x cosx的值介于 0 到 之间的 2 2 1 2 概率为 A B 1 3 2 C D 1 2 2 3 解析 当x 时 cosx 0 2 3 3 2 1 2 P 故选 A 2 6 1 3 答案 A 2 2011 深圳模拟 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到 一名学生 且甲 乙两名学生不能分到同一个班 则不同分法的种数为 A 18 B 24 C 30 D 36 解析 由四名学生分到三个班 每个班至少分到一名学生可知 有一个班有 2 个人 另 外两个班各 1 人 故共有 C42A33种不同分法 其中甲 乙两名学生分到同一个班有 A33种不同 分法 所以满足题意的不同分法为 C42A33 A33 30 种 答案 C 3 如图 三行三列的方阵有 9 个数aij i 1 2 3 j 1 2 3 从中任取三个数 则至少 有两个数位于同行或同列的概率是 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A B 3 7 4 7 C D 1 14 13 14 解析 从中任取三个数共有 C93 84 种取法 没有同行 同列的取法有 C31C21C11 6 至 用心 爱心 专心 2 少有两个数位于同行或同列的概率是 1 6 84 13 14 答案 D 4 2011 抚顺模拟 国庆节放假 甲去北京旅游的概率为 乙 丙去北京旅游的概率 1 3 分别为 假定三人的行动相互之间没有影响 那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的 1 4 1 5 概率为 A B 59 60 3 5 C D 1 2 1 60 解析 因甲 乙 丙去北京旅游的概率分别为 因此 他们不去北京旅游的概率 1 3 1 4 1 5 分别为 所以 至少有 1 人去北京旅游的概率为P 1 2 3 3 4 4 5 2 3 3 4 4 5 3 5 答案 B 5 2011 西宁模拟 用三种不同的颜色填涂右图 3 3 方格中的 9 个区域 要求每行 每列的三个区域都不同色 则不同的填涂方法种数共有 A 48 B 24 C 12 D 6 解析 可将 9 个区域标号如图 用三种不同颜色为 9 个区域涂色 可分步解 决 第一步 为第一行涂色 有 A33 6 种方法 第二步 用与 1 号区域不同色 的两种颜色为 4 7 两个区域涂色 有 A22 2 种方法 剩余区域只有一种涂法 综上由分步乘法计数原理可知共有 6 2 12 种涂法 答案 C 6 2011 威海模拟 某同学同时掷两颗骰子 得到点数分别为a b 则椭圆 1 的离心率e 的概率是 x2 a2 y2 b2 3 2 A B 1 18 5 36 C D 1 6 1 3 解析 当a b时 e 2b 符合a 2b的情况有 当b 1 时 有 1 b2 a2 3 2 b a 1 2 a 3 4 5 6 四种情况 当b 2 时 有a 5 6 两种情况 总共有 6 种情况 用心 爱心 专心 3 则概率为 6 36 1 6 同理当a的概率也为 3 2 1 6 综上可知e 的概率为 3 2 1 3 答案 D 二 填空题 3 5 分 15 分 7 2010 辽宁高考 三张卡片上分别写上字母E E B 将三张卡片随机地排成一行 恰好排成英文单词BEE的概率为 解析 三张卡片的排列方法有EEB EBE BEE共 3 种 则恰好排成英文单词BEE的概率 为 1 3 答案 1 3 8 若书架上有中文书 5 本 英文书 3 本 日文书 2 本 则随机抽取一本恰为外文书的 概率为 解析 P 2 3 5 2 3 1 2 答案 1 2 9 2011 南平模拟 好运 出租车公司按月将某辆车出租给司机 按照规定 无论 是否出租 该公司每月都要负担这辆车的各种管理费 100 元 如果在一个月内该车被租的概 率是 0 8 租金是 2 600 元 那么公司每月对这辆车收入的期望值为 元 解析 设公司每月对这辆车收入为X元 则其分布列为 X 100 2 500 P0 20 8 故E X 100 0 2 2 500 0 8 1 980 元 答案 1 980 三 解答题 共 37 分 10 12 分 在某电视台的一次有奖竞猜活动中 主持人准备了A B两个相互独立的问 题 并且宣布 幸运观众答对问题A可获 100 分 答对问题B可获 200 分 先答哪个题由观 众自由选择 但只有第一个问题答对 才能再答第二题 否则终止答题 答题终止后 获得 的总分将决定获奖的档次 若你被选为幸运观众 且假设你答对问题A B的概率分别为 1 2 1 4 用心 爱心 专心 4 1 记先回答问题A的得分为随机变量X 求X的分布列和数学期望 2 你觉得应先回答哪个问题才能使你得分更高 请说明理由 解析 1 X的分布列为 X0100300 P 1 2 3 8 1 8 E X 0 100 300 75 1 2 3 8 1 8 2 设先答问题B的得分为随机变量Y 则Y的分布列为 X0200300 P 3 4 1 8 1 8 E Y 0 200 300 62 5 3 4 1 8 1 8 E X E Y 应先回答问题A所得的分较高 11 12 分 2011 东北六校联考 检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测 空气质量分为A B C三级 每间教室的检测方式如下 分别在同一天的上 下午各进行一 次检测 若两次检测中有C级或两次都是B级 则该教室的空气质量不合格 设各教室的空 气质量相互独立 且每次检测的结果也相互独立 根据多次抽检结果 一间教室一次检测空 气质量为A B C三级的频率依次为 3 4 1 8 1 8 1 在该市的教室中任取一间 估计该间教室空气质量合格的概率 2 如果对该市某中学的 4 间教室进行检测 记在上午检测空气质量为A级的教室间数 为X 并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率 求X的分布列及期望值 解析 1 该间教室两次检测中 空气质量均为A级的概率为 3 4 3 4 9 16 该间教室两次检测中 空气质量一次为A级 另一次为B级的概率为 2 3 4 1 8 3 16 设 该间教室的空气质量合格 为事件E 则 P E 2 3 4 3 4 3 4 1 8 3 4 故估计该间教室的空气质量合格的概率为 3 4 2 法一 由题意可知 X的取值 0 1 2 3 4 P X i C4i i 1 4 i i 0 1 2 3 4 3 4 3 4 用心 爱心 专心 5 随机变量X的分布列为 X01234 P 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 E X 0 1 2 3 4 3 1 256 3 64 27 128 27 64 81 256 法二 X B 4 E X 4 3 3 4 3 4 12 13 分 2011 扬州模拟 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病 需要通过化验血液 来确定患病的动物 血液化验结果呈阳性的即为患病动物 呈阴性即没患病 下面是两种化 验方案 方案甲 逐个化验 直到能确定患病动物为止 方案乙 先任取 3 只 将它们的血液混在一起化验 若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只 然后再逐个化验 直到能确定患病动物为止 若结果呈阴性则在另外 2 只中 任取 1 只化验 1 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率 2 X表示依方案乙所需化验次数 求X的期望 解析 记A1 A2分别表示依方案甲需化验 1 次 2 次 B1 B2分别表示依方案乙需化验 2 次 3 次 A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数 依题意知A2与B2独立 1 A1 A2B2 A P A1 1 C51 1 5 P A2 A41 A52 1 5 P B2 C42 C21 C53 C31 2 5 P P A1 A2B2 P A1 P A2B2 A P A1 P A2 P B2 1 5 1 5 2 5 7 25 所以P A 1 P 0 72 A 18 25 2 X的可能取值为 2 3 P B1 C43 C53 C42 C53 C31 3 5 用心 爱心 专心 6 P B2 2 5 P X 2 P B1 3 5 P X 3 P B2 2 5 所以E X 2 3 2 4 3 5 2 5 12 5 文 一 选择题 6 5 30 分 1 从 12 个同类产品中 其中有 10 个正品 2 个次品 任意抽取 3 个 下列事件是必然 事件的是 A 3 个都是正品 B 至少有一个是次品 C 3 个都是次品 D 至少有一个是正品 解析 在基本事件空间中 每一个事件中正品的个数可能是 1 2 3 个 而不可能没有 答案 D 2 在 20 件产品中有 3 件次品 从中任取一件 取到正品的概率为 A B 1 3 17 20 C D 3 17 3 20 解析 从 20 件产品中任取一件共有 20 个基本事件 任取一件取到正品的基本事件数为 17 所以概率为 17 20 答案 B 3 在区间 15 25 内的所有实数中随机取一个实数a 则这个实数满足 17 a 20 的概率 是 A B 1 3 1 2 C D 3 10 5 12 解析 a 15 25 P 17 a 20 20 17 25 15 3 10 答案 C 4 某城市 2010 年的空气质量状况如表所示 污染指数T 3060100110130140 概率P 1 10 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30 其中污染指数T 50 时 空气质量为优 50 T 100 时 空气质量为良 100 T 150 时 用心 爱心 专心 7 空气质量为轻微污染 该城市 2010 年空气质量达到良或优的概率为 A B 3 5 1 180 C D 1 19 5 6 解析 所求概率为 1 10 1 6 1 3 3 5 答案 A 5 某班准备到效外野营 为此向商店定了帐篷 如果下雨与不下雨是等可能的 能否 准时收到帐篷也是等可能的 只要帐篷如期运到 他们就不会淋雨 则下列说法正确的是 A 一定不会淋雨 B 淋雨的可能性为 3 4 C 淋雨的可能性为 D 淋雨的可能性为 1 2 1 4 解析 基本事件有 下雨帐篷到 不下雨帐篷到 下雨帐篷未到 不下雨帐篷未到 4 种情况 而只有 下雨帐篷未到 时会淋雨 故淋雨的可能性为 1 4 答案 D 6 2011 银川模拟 把一颗骰子投掷两次 观察出现的点数 并记第一次出现的点数 为m 第二次出现的点数为n 向量p p m n q q 2 1 则向量p qp q的概率为 A B 1 18 1 12 C D 1 9 1 6 解析 向量p qp q p qp q 2m n 0 n 2m 满足条件的 m n 有 3 个 1 2 2 4 3 6 P 3 36 1 12 答案 B 二 填空题 3 5 15 分 7 某家庭电话 打进的电话响第一声时被接的概率为 响第二声时被接的概率为 1 10 3 10 响第三声时被接的概率为 响第四声时被接的概率为 则电话在响前四声内被接的概率 2 5 1 10 为 解析 设响n声时被接的概率为Pn 则P1 P2 P3 P4 故前四声内被 1 10 3 10 2 5 1 10 用心 爱心 专心 8 接的概率为P1 P2 P3 P4 9 10 答案 9 10 8 在区域Error 内任取一点P 则点P落在单位圆x2 y2 1 内的概率为 解析 区域为 ABC内部 含边界 则概率为 P S半圆 S ABC 2 1 2 2 2 2 4 答案 4 9 3 粒种子种在甲坑内 每粒种子发芽的概率为 若坑内至少有 1 粒种子发芽 则不需 1 2 要补种 若坑内的种子都没有发芽 则需要补种 则甲坑不需要补种的概率为 解析 因为种子发芽的概率为 种子发芽与不发芽的可能性是均等的 若甲坑中种子 1 2 发芽记为 1 不发芽记为 0 每粒种子发芽与否彼此互不影响 故其基本事件为 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 共 8 种 而都不发 芽的情况只有 1 种 即 0 0 0 所以需要补种的概率是 故甲坑不需要补种的概率是 1 8 1 1 8 7 8 答案 7 8 三 解答题 共 37 分 10 12 分 2009 福建高考 袋中有大小 形状相同的红 黑球各一个 现依次有放回 地随机摸取 3 次 每次摸取一个球 1 试问 一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果 2 若摸到红球时得 2 分 摸到黑球时得 1 分 求 3 次摸球所得总分为 5 的概率 解析 1 一共有 8 种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 红 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 2 记 3 次摸球所得总分为 5 为事件A 事件A包含的基本事件为 红 红 黑 红 黑 红 黑 红 红 事件A包含 的基本事件数为 3 用心 爱心 专心 9 由 1 可知 基本事件总数为 8 所以事件A的概率为P A 3 8 11 12 分 甲 乙两人共同抛掷一枚硬币 规定硬币正面朝上甲得 1 分 否则乙得 1 分 先积得 3 分者获胜 并结束游戏 1 求在前 3 次抛掷中甲得 2 分 乙得 1 分的概率 2 若甲已经积得 2 分 乙已经积得 1 分 求甲最终获胜的概率 解析 1 掷一枚硬币三次 列出所有可能情况共 8 种