【精品】高中数学 9.10《球·第三课时》教案 旧人教版必修

用心 爱心 专心 球 三 球 三 教学目标 一 教学知识点 1 推导球表面积公式 S 4 R2的方法 分割 求近似和 化为准确和 2 球的表面积公式 S 4 R2的应用 3 几何体的接切问题 二 能力训练要求 1 使学生再一次了解 分割 求近似和 化为准确和 的思想方法 2 使学生熟练掌握球的表面积公式 S 4 R2 3 使学生进一步熟练解决几何体的相接切问题 三 德育渗透目标 培养学生用普遍联系的观点看问题 教学重点 球表面积公式 S 4 R2的应用 教学难点 了解 分割 求近似和 化为准确和 的思想方法 教学方法 启发式 推导球的表面积公式 S 4 R2的过程同前面推导球体积公式的过程一样 并不要求学生 熟练掌握 但必须让学生了解推导过程中所用 分割 求近似和 化为准确和 的方法 它与推导球体积公式时所用的方法在思想上是一脉相承的 只是在具体分割的做法上有所不 同 教学中 教师应指导学生再一次体会 分割 求近似和 化为准确和 这一重要的数 学思想在研究数学问题中的应用 在上节讨论与球有关的相接切问题的基础上 通过例题的分析启发学生进一步归纳总结 处理这类问题的方法与技巧 教具准备 多媒体课件一个 作球 O 将球 O 的表面分成 n 个小网格 把球心与每一个小网格的顶点连接起来 让学 生观察 整个球体被分割成 n 个 小锥体 当 n 无限增大时 每一个小锥体 曲 的底面 几乎变成 平 的 这时 每个 小锥体 就近似于棱锥 投影片四张 第一张 本课时教案练习 记作 9 9 3 A 第二张 课本 P70例 3 记作 9 9 3 B 第三张 本课时教案例 1 记作 9 9 3 C 第四张 本课时教案例 2 记作 9 9 3 D 教学过程 复习回顾 师 上节课 我们讨论了球的体积公式及与球有关的相接切问题 现在 请大家练习 以下题目 打出投影片 9 9 3 A 读题 练习 1 已知球面上 A B C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半 且 AB BC CA 2 求球的体积 2 一个体积为 8 的正方体的各个顶点都在球面上 求此球的体积 用心 爱心 专心 师 对于第 1 题 欲求球的体积 只需求出球的半径 R 即可 那么 如何去求 R 呢 生 由于已知条件过球面上 A B C 三点的截面和球心距离等于球半径的一半 所以 应作出过 A B C 三点的截面圆 O1 在三棱锥 O ABC 中进行分析解决 师 思路清晰 请同学将过程写在本上 学生练习 教师巡视 请一位同学板演 教师评讲 师 对于第 2 题 由正方体的各个顶点都在球面上 能得到什么结论 如何去求球的 半径呢 生 得到正方体是球的内接正方体 所以有球半径 R 与内接正方体棱长 a 之间的关系 为 2R a 即 r 所以 球的体积是 V 3 4 33 3 4 33 师 好 就练习到这儿 这节课我们继续学习球 学习球的表面积公式及其应用 讲授新课 师 请大家回忆前面是怎样推得棱柱 棱锥的表面积公式的 生 将棱柱 棱锥的表面积展开 求其表面展开图的面积即可求得 师 既然我们研究棱柱 棱锥时都可以通过 立体图形平面化 的思想方法推得 那 么对于球来说 可以用同样的方法求其表面积吗 为什么 生 球的表面积不可以用像推导棱柱 棱锥的方法推得 因为球的表面是不可展的 曲面 师 球的表面积是球的表面的大小的度量 不妨我们再一次运用推导球的体积公式时的 方法推导球的表面积公式 即用 分割 求近似和 化为准确和 的方法 下面 我们再次一起来体会这种数学思想方法的应用 教师边讲边演示多媒体课件 学生观察 思考 师 通过刚才的演示过程 我们知道了当分割得越细 即 n 无限增大时 每个小网格 就越小 此时 小锥体 也就越接近于棱锥 请同学们自己接着阅读课本 P65的 2 求近似和 与 P66的 3 化为准确和 的学 习过程 学生自学 教师指导 帮助学生理解当分割得越细 也就是每个小网格越小时 小 锥体 就越接近于棱锥 如果分割无限加细 每个小网格都趋向于无穷小时 那么小棱锥的 高就越趋向于球半径的变化过程 师 在推导球体积公式与球表面积公式时 都采用了 分割 求近似和 化为准 确和 的思想方法 在具体分割时的做法却有所不同 推导球体积公式时 是将球分割为许 多 小圆片 在推导球表面积公式时 是将球分割为许多 小锥体 而且 借助了球的体 积公式进行变形 至此 得到了球的表面积 S 与球半径 R 之间的函数关系 即 S 4 R2 下面 我们学习它 的应用 打出投影片 9 9 3 B 读题 师 此题是球表面积公式与圆柱侧面积和全面积公式的应用 请同学们叙述它们的应 用过程 生 1 证明 设球的半径为 R 则圆柱的底面半径为 R 高为 2R 得 S球 4 R2 S圆柱侧 2 R 2R 4 R2 S球 S圆柱侧 2 S圆柱全 4 R2 2 R2 6 R2 S球 4 R2 用心 爱心 专心 S球 S圆柱全 3 2 师 现在 请同学们体会一道关于正方体与球相接切的问题 打出投影片 9 9 3 C 读题 例 1 有三个球 第一个球内切于正方体的六个面 第二个球与这个正方体各条棱 都相切 第三个球过这个正方体的各顶点 求这三个球的表面积之比 师 欲求这三个球的表面积之比 只需求出这三个球的半径即可 那么 如何去求这三 个球的半径呢 生 可通过正方体的棱长去寻求这三个球的半径 师 要准确地寻求这三个球的半径 关键是要把握每个球与正方体之间的位置关系 弄清每一种位置关系下的正方体棱长与球半径之间的关系 下面请一位同学叙述过程 生 设正方体的棱长为 a 则第一个球的半径为 第二个球的半径是a 第三个球的 2 a 2 2 半径为a 3 3 r1 r2 r3 1 23 S1 S2 S3 1 2 3 师 再来体会一道球与圆锥相切的问题 打出投影片 9 9 3 D 读题 例 2 已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍 求圆锥侧面积与底面积之比 师 对于与球有关的相接切问题 一般情况下 要作一个能反映出球与其他几何体之 间的位置关系与数量关系的适当截面 对于本题 该如何去做呢 生 过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得圆锥的轴截面和球的大圆 师 好 下面我们画出图形 求解 学生分析 教师板书过程 解 过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面 SAB 和球的大圆 O 且 O 为 SAB 的内切圆 1 qq S A O B O E 设圆锥底面半径为 r 母线长为 l 内切圆半径为 R 则 S锥全 r2 rl S球 4 R2 r2 rl 8R2 又 SOE SAO1 r R 22 rl rl rl rl 由 得 R2 r2 代入 得 rl rl r2 rl 8r2 rl rl 用心 爱心 专心 得 l 3r 3 底 锥侧 S S 2 r rl r l 圆锥侧面积与底面积之比为 3 1 课堂练习 课本 67练习 1 2 1 地球半径约 6370 km 计算地球表面积 答案 由 S 4 R2得 S 4 6370 km2 25480 km2 2 一个球的体积是 100 cm3 计算它的表面积 答案 由 R3 100 及 S 4 R2得 3 4 S 20 cm2 3 45 课时小结 本节