正切函数的性质与图象教案(改)

第 1 页 共 5 页 正切函数的性质与图象 课 题 正切函数的性质与图象 普通高中课程标准实验教科书数学必修 4 人民教育出版社 A 版 第一章 1 4 3 授课教师 许晓芸 授课班级 高一 2 班 授课时间 2011 年 5 月 4 日 第 12 周星期三第 5 节 一一 教学目标 教学目标 1 用单位圆中的正切线作正切函数的图象 2 熟练掌握正切函数的图象与性质 3 渗透数形结合 类比的基本数学思想方法 4 培养学生分析问题 解决问题的能力 二二 教学重点 教学重点 1 用单位圆中的正切线作正切函数的图象 2 正切函数的性质 3 例题 6 的讲授 三三 教学难点 教学难点 1 正切函数的图象与性质及其应用 借助几何画板演示用正切线画正切函数图象 以突破难点 2 正切函数的单调性及证明 在例题 6 中反复强调把 看成一个整体的角 即换元思想 以准确求出函数的定义域 及单调性 通过复习 如果函数 y f x 的周期是 T 那么函数 知识点 使学生懂得利用 简便求出函数周期 四四 教学方法 教学方法 启发式 五五 教具准备 教具准备 PowerPoint 课件 几何画板 y fx T 的周期是 23 x T 第 2 页 共 5 页 六六 教学过程 教学过程 复习引入 1 在前面的学习中我们知道 研究一个函数通常会研究其定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 图象等方面 今天我们来研究另一个三角函数 正切函数 2 复习正切函数的定义 完成练习 求函数的定义域 tan3yx 解 由 得3 2 xkkZ 63 k xkZ 所以的定义域是 tan3yx 63 k x xkZ 讲评 函数定义域指的是自变量的取值范围 把看成一个整体 3x 3 复习有向线段及三角函数线 讲解新课 1 类比正弦函数图像作法 演示利用正切线画出正切函数图象 2 观察函数图象得出正切函数的相关性质 并用诱导公式辅助证明 3 正切函数的性质 tanyx 定义域 2 x xkkZ 周期性 由于 所以是周期函数 是它的周期 tantan 2 xx xR xkkZ tanyx 并且是最小正周期 奇偶性 由于 所以是奇函数 图象关于原点对称 tantan 2 xx xR xkkZ tanyx 单调性 多媒体演示 在上 随着角的变化 正切线的变化规律 引导学生发现规律 从而得 2 2 到在上是增函数 tanyx 2 2 由正切函数的周期性可知 在开区间上都是增函数 tanyx 22 kkkZ 值域 当大于且无限接近时 正切线向轴的负方向无限延伸 x 2 2 ATOy 当小于且无限接近时 正切线向轴的正方向无限延伸 x 2 2 ATOy 所以的值域是 R 注意在定义域上函数没有最值 tanyx 第 3 页 共 5 页 x y 2 2 2 2 4 4 正切函数的图象 tanyx 正切函数在上的图象 tanyx 2 2 多媒体演示 通过几何画板演示利用单位圆中的正切线连续作正切函数在上tanyx 2 2 的图象 作法 单位圆中把的半圆八等分 把角 x 的正切线向右平移 使它的起点与 x 轴上 2 2 的点 x 重合 再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来 正切函数的图象 tan 2 yx xR xkkZ 根据正切函数的周期性 把上述图象向左向右扩展 得到正切函数 的图象 称 正切曲线 tan 2 yx xR xkkZ 思考 正切函数在整个定义域上是增函数吗 为什么 5 完成练习 观察正切曲线 写出满足下列条件的 x 的值的范围 解 1 tan0 x 2 tan1x 2 kkkZ 24 kkkZ 第 4 页 共 5 页 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小 解 函数的自变量x应满足 232 xkkZ 1 2 3 xkkZ 即 1 2 3 x xkkZ 所以 函数的定义域是 tan tan tan 2 2 232323 f xxxxf x 因此函数的周期为2 51 22 223233 51 22 33 kxkkZkxk kZ kkkZ 由解得 因此 函数的单调区间是 评讲 本题是这节课的重点 难点 强调把 看成一个整体的角 即换元思想 以准确求出函数的定义域及单调性 通过复习 如果函数 y f x 的周期是 T 那么函数 知识点 使学生懂得利用 简便求出函数周期 最终突破难点 00 1 tan138tan143与 0000 00 90138143180 tan 138tan143 yx 00 解 1 因为 又 在 90 180 上是增函数 所以 t an 1317 2 tan tan 45 与 13131717 tan tan tan tan 4455 131722 33 4455452 tan 21317 tan tantan 4545 17 tan 5 yx 解 2 因为 又 且 2 又 在 上是增函数 2 2 所以t an即 13 所以 t an 4 tan 23 yx 例6 求函数的定义域 周期和单调区间 23 x y fx T 的周期是 T 第 5 页 共 5 页 解 函数的自变量x应满足2 62 xkkZ 26 k x xkZ 所以 函数的定义域是 tantan 2 6 yxyx 由于正切函数的周期是 所以函数的周期是 2 2 2623262 3262 kk kxkkZxkZ kk kZ 由解得 因此 函数的单调区间是 26 k xkZ 即 课堂小结 1 正切函数