等差数列前N项和的公式..ppt

等差数列前n项和公式 数学课堂 复习回顾 问题呈现 例题讲解 小结与作业 复习回顾 1 等差数列的通项公式 已知首项a1和公差d 则有 an a1 n 1 d已知第m项am和公差d 则有 an am n m d d an am n m 2 等差数列的性质 在等差数列 an 中 如果m n p q m n p q N 那么 an am ap aq 返回 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有100层 见左图 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 下一页 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 这是求奇数个项和的问题 不能简单模仿偶数个项求和的办法 需要把中间项11看成首 尾两项1和21的等差中项 通过前后比较得出认识 高斯 首尾配对 的算法还得分奇 偶个项的情况求和 有无简单的方法 下一页 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 借助几何图形之直观性 使用熟悉的几何方法 把 全等三角形 倒置 与原图补成平行四边形 下一页 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 获得算法 下一页 问题2 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放100支 这个V形架上共放着多少支铅笔 问题就是求 1 2 3 4 100 下一页 问题2 对于这个问题 德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果 你知道应如何算吗 这个问题 可看成是求等差数列1 2 3 n 的前100项的和 100个101 高斯 下一页 问题3 求 1 2 3 4 n 记 S 1 2 3 n 2 n 1 n S n n 1 n 2 3 2 1 下一页 设等差数列a1 a2 a3 它的前n项和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序颠倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由等差数列的性质a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2sn a1 an a1 an a1 an 即Sn n a1 an 2 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 下一页 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1 n d 则如何表示Sn呢 因为an a1 n 1 d所以Sn na1 n n 1 d 2 下一页 下一页 由此得到等差数列的 an 前n项和的公式 即 等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 上面的公式又可以写成 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式 正所谓 知三求二 下一页 说明 推导等差数列的前n项和公式的方法叫 an 为等差数列 这是一个关于的没有的 倒序相加法 Sn an2 bn n 常数项 二次函数 注意a还可以是0 等差数列前n项和公式补充知识 下一页 公式记忆 用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式 这里对图形进行了割 补两种处理 对应着等差数列前n项和的两个公式 等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 n 返回 例1 某长跑运动员7天里每天的训练量 单位 m 是 8000 8500 9000 9500 10000 10500这位运动员7天共跑了多少米 解 这位长跑运动员每天的训练量成等差数列 记为 an 其中a1 7500 a7 10500 根据等差数列前n项和公式 得 答 这位长跑运动员7天共跑了63000m 下一页 例2等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是54 本题实质是反用公式 解一个关于n的一元二次函数 注意得到的项数n必须是正整数 下一页 解 将题中的等差数列记为 an sn代表该数列的前n项和 则有a1 10 d 6 10 4 根据等差数列前n项和公式 解得n1 9 n 3 舍去 因此等差数列 10 6 2 2 前9项的和是54 设该数列前n项和为54 下一页 例3求集合M m m 7n n是正整数 且m 100 的元素个数 并求这些元素的和 解 由7n 100得n 100 7 由于满足它的正整数n共有14个 集合M中的元素共有14个 即 7 14 21 91 98 这是一个等差数列 各项的和是 答 集合M中的元素共有14个 它们的和为735 735 返