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天津市木斋中学高一数学王珏 等差数列前n项和公式 人教版必修五 2 3 复习回顾 1 等差数列的通项公式 已知首项a1和公差d 则有 an a1 n 1 d已知第m项am和公差d 则有 an am n m d 2 等差数列的性质 在等差数列 an 中 如果m n p q m n p q N 那么 am an ap aq 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 借助几何图形之直观性 使用熟悉的几何方法 把 全等三角形 倒置 与原图补成平行四边形 探究发现 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 获得算法 问题2 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放100支 这个V形架上共放着多少支铅笔 问题就是求 1 2 3 4 100 问题2 对于这个问题 德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果 你知道应如何算吗 这个问题 可看成是求等差数列1 2 3 n 的前100项的和 100个101 高斯 问题3 求 1 2 3 4 n 记 S 1 2 3 n 2 n 1 n S n n 1 n 2 3 2 1 设等差数列a1 a2 a3 它的前n项和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序颠倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由等差数列的性质a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2sn a1 an a1 an a1 an 即 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 n个a1 an 倒序相加法 由此得到等差数列的 an 前n项和的公式 即 等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 上面的公式又可以写成 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式 正所谓 知三求二 公式记忆 用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式 这里对图形进行了割 补两种处理 对应着等差数列前n项和的两个公式 等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 补成平行四边形 例1 某长跑运动员7天里每天的训练量 单位 m 是 8000 8500 9000 9500 10000 10500这位运动员7天共跑了多少米 解 这位长跑运动员每天的训练量成等差数列 记为 an 其中a1 7500 a7 10500 根据等差数列前n项和公式 得 答 这位长跑运动员7天共跑了63000m 例2等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是54 本题实质是反用公式 解一个关于n的一元二次函数 注意得到的项数n必须是正整数 解 将题中的等差数列记为 an sn代表该数列的前n项和 则有a1 10 d 6 10 4 根据等差数列前n项和公式 解得n1 9 n 3 舍去 因此等差数列 10 6 2 2 前9项的和是54 设该数列前n项和为54 4 54成立 1 推导等差数列前n项和公式的方法