2026统考专升本高数：高数Ⅰ考点汇编

第一章极限与连续

第一节初高中基本计算公式

1.幂函数基本公式

m

m

mnmnxmnm1

（1）（2）（3）nmn（）

xxxnx4xm

xxxx

2.三角函数公式

（1）三角函数恒等式

①22②22③22

sinxcosx1tanxsecx1cotxcscx1④tanxcotx1

sinxcosx

⑤secxcosx1⑥cscxsinx1⑦tanx⑧cotx

cosxsinx

（2）倍角公式与半角公式

2tanx

①sin2x2sinxcosx②cos2xcos2xsin2x2cos2x112sin2x③tan2x

1tan2x

2

cotx12x1cosx2x1cosx2x1cosx

④cot2x⑤cos⑥sin⑦tan

2cotx222221cosx

3.反三角函数基本关系式

①arcsin(x)arcsinx(1x1)

②arccos(x)arccosx(1x1)

③arctan(x)arctanx

④arccot(x)arccotx

⑤arcsinxarccosx(1x1)

2

⑥arctanxarccotx

2

1

⑦arctanxarccot(x0)

x

4.常见角度三角函数表

第二节函数

1.函数的定义：

设x和y是两个变量，D是一个给定数集，如果当x在D中任意取定一个值时，通过一定的对应法则f，变量y总有

确定的数值与x对应，则称y是x的函数。记作yf(x)。数集D称为函数yf(x)的定义域。

2.常见函数的定义域

1

（1）y,D:x0

x

（2）y2nx,D:x0

（3）ylogax,D:x0

（4）ytanx,D:xk

2

（5）ycotx,D:xk

yarcsinx

（6）,D:x1,1

yarccosx

3.反函数

（1）定义：一般地，给定y是x的函数yf(x)，如果把y当做自变量，x当做函数，则由关系式yf(x)所

1

确定的函数xf1(y)叫做f(x)的反函数.习惯上记为yf(x)。

注：反函数求解步骤：直接函数解出x以y为自变量的反函数调换x和y反函数

4.基本初等函数的分类

（1）幂函数：yxu，（u为常数）a

（2）指数函数：yax，（a是常数且a＞0、a≠1）

（3）对数函数：

ylogax，（a是常数且a＞0、a≠1）

（4）三角函数：

①正弦函数ysinx，定义域为(,)，值域为[1,1]，奇函数，周期为2

②余弦函数ycosx，定义域(,)，值域为[1,1]，偶函数，周期为2

③正切函数ytanx，定义域为{x|xk,kz}，值域为(,)，奇函数，周期为π

2

④余切函数ycotx，定义域为{x|xk,kz}，值域为(,)，奇函数，周期为

四朵花团队

1

⑤正割函数ysecx=，定义域为{x|xk,kz}，值域为

cosx2

(,1][1,)，偶函数，周期为2

1

⑥余割函数ycscx，定义域为{x|xk,kz}，值域为

sinx

(,1][1,)，奇函数，周期为2

（5三：

①反正弦函数：yarcsinx，定义域为[1,1]，值域为[,]，奇函数

22

②反余弦函数：yarccosx，定义域为[1,1]，值域为[0,]

③反正切函数：yarctanx，定义域为(,)，值域为(,)，奇函数

22

④反余切函数yarccotx，定义域为(,)，值域为(0,)

四朵花团队

第三节极限

一、数列的极限

意的，存在

（1）定义：若对于任0N0时，有aA，称为数列的极限，记为limanA。

nAann

为有界数列。

（2）数列极限的有界性：如果数列an收敛，则an

（3）收敛数列与其子数列间的关系：如果数列an收敛于A，那么它的任何一个子数列也收敛，其极限也为A。

注：单调有界数列必收敛

二、函数的极限

limf(x)A

1.当xx0时f(x)的极限：

xx0

limf(x)Alimf(x)A

左极限：右极限：

xx0xx0

定理：函数在某一点极限存在的充要条件：左右极限存在且相等。

limf(x)Alimf(x)limf(x)A

xx0xx0xx0

2.极限的运算法则

若limf(x)A,limg(x)B，那么：

（1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB;

（2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB;

f(x)limf(x)A

（3）又B0，则lim.

g(x)limg(x)B

（4）limkf(x)klimf(x)kA

3.两个重要极限四朵花团队

（1）第一个重要极限：

sinxsin(x)

lim1，lim1。

x0x(x)0(x)

（2）第二个重要极限：

11

1x

lim(1)e，lim(1x)xe，lim(1(x))(x)e。

xxx0(x)0

三、无穷小量与无穷大量

（1）定义：

或limf(x)0limf(x)0），那么称函数

无穷小量：当函数在xx0(x)时极限为零，即（或

xx0x

f(x)为当xx0(或x)时的无穷小。

无穷大量：如果当x0（或x）时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x0（或x）时

的无穷大量，记为lm

xixf(x)（或limfx）

0x

（2）无穷小的比较：

设lim0,lim0

①若lim0，则称是比较高阶的无穷小量，记为o()；

②若limc（c0为常数），则称与是同阶的无穷小量；

③若lim1，则称与是等价的无穷小量，记作：～；

④若lim，则称是比较低阶的无穷小量。

（3）无穷小与极限的关系

limf(x)Af(x)A(x).其中lim(x)0

xx0xx0

（4）常用的等价无穷小量：

x0

(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1

x2a

(2)1cosx~1cosax~x2

22

(3)(1x)a1~axax1~xlna

x3x3x3

(4)xsinx~tanxx~tanxsinx~

632

四、求极限常用方法

0

1.消零因子法（适用于xx时，“”型）；

00

2.抓大头法（适用于n或x时，“”型）；

a

0mn

b0四朵花团队

nn1…

a0xa1x++an1xan

0mn

limmm1

xbxbx+…+bxb

01m1m

mn

3.有理化法（适用于带有根式的极限问题）；

4.通分法（适用于“”型）；

5.运用两个重要极限；

6.无穷小量的性质（两个无穷小量的积为无穷小量，无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量）；

7.等价无穷小量代换法；

8.利用极限存在的充要条件求分段函数在分段点的极限；

9.洛必达法则。

五、夹逼准则

limg(x)limh(x)Axxf(x)

设在x0的某个去心邻域内，恒有g(x)f(x)h(x)，。则当0时极限

xx0xx0

存在，且limf(x)A

xx0

第四节函数的连续与间断

一、连续

1.连续的定义：limf(x)f(x)

若0，则称f(x)在x0点连续。

xx0

2.连续的充要条件：

limf(x)f(x0)limf(x)limf(x)f(x0)

xx0xx0xx0

3.初等函数在定义域内连续。

4.左右连续

limf(x)f(x)

0，则称f(x)在x0点右连续

xx0

limf(x)f(x)

0，则称f(x)在x0点左连续

xx0

二、间断

1.间断点的分类

（1）第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点：

limf(x)limf(x)

xxxx

00

跳跃间断点：limf(x)limf(x)

xx0xx0

（2）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

无穷间断点：至少有一个极限为无穷

振荡间断点：至少有一个极限不存在四朵花团队

第二章一元函数微分学

第一节导数与微分

1.导数的定义：

f(xx)f(x)f(x)f(x0)

00或

f(x0)limf(x0)lim

x0xx0

xxx0

f(xx)f(x)

①左导数00

f(x0)lim

x0x

f(xx)f(x)

②右导数00

f(x0)lim

x0x

2.导数的几何意义：

曲线在点M(x0,f(x0))处切线的斜率。

特别地，若f(x0)0，则曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处切线平行于x轴；

若f(x0)，则曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处切线垂直于x轴，切线方程为xx0；

函数yf(x)在M(x0,y0)的

切线方程为：

yy0f(x0)(xx0)

法线方程为：1

yy0(xx0)(f(x0)0)

f(x0)

3.求导公式：

1

（1）(C)0（2）(x)x，（3）(sinx)cosx（4）(cosx)sinx

22

（5）(tanx)secx（6）(cotx)cscx（7）(secx)secxtanx（8）(cscx)cscxcotx

1

xxxx1

（9）(a)alna（10）(e)e（11）(logax)（12）(lnx)

xlnax

1111

（）（）(arccotx)

（13）(arcsinx)（14）(arccosx)15(arctanx)2162

1x21x21x1x

4.函数的和、差、积、商的求导法则

设uu(x)，vv(x)都可导，则：

（1）(uv)uv（2）(Cu)Cu(C为常数）

uuvuv

（3）(uv)uvuv（4）(v0)

vv2

四朵花团队

5.复合函数求导法则

设yf(u)，而ug(x)且f(u)及g(x)都可导，则复合函数yf[g(x)]的导数为：y(x)f(u)g(x)

6.对数求导

对数求导适用于幂指函数yu(x)v(x)和某些用连乘连除或乘方开方表示的函数。应先对等式两边取对数，然后用隐函

数求导方法求其导数。

7.参数方程求导

dydydtdy1(t)d2yddy1

x(t)()

设，则dxdtdxdtdx(t)，dx2dtdxdx

y(t)

dtdt

8.高阶求导

yf(x)为yf(x)的一阶导数。把yf(x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数，记作y或

2

dy(n1)(n1)

，类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数。一般地，把yf(x)的(n1)阶导数y的导数叫做阶导数y

dx2

dny

导数叫做yf(x)的n阶导数，记为y(n)或。二阶及二阶以上导数统称为高阶导数。

dxn

9.微分

函数f(x)可微分的充要条件是：函数f(x)可导，且dyf(x)dx

10.可导、可微与连续三者之间的关系

f(x)点x0可导f(x)在点x0可微f(x)点x0连续即：可导必连续，连续不一定可导

第二节导数的应用

1.洛必达法则的应用

设x0(x)时，满足以下三个条件：

①函数f(x)，g(x)均为无穷小量（或均为无穷大量）；

'''

②在点x0的某个去心邻域内（或xM），f(x)与g(x)都存在且g(x)0

f'(x)

③lim'存在

xx0g(x)

(x)

00

(或)(或)

0'0

f(x)f(x)0

则：……注：其中洛必达法则适用于,,0,,00,1,0求极限。

limlim'

xx0g(x)xx0g(x)0

(x)(x)

2.函数的单调性

设函数yf(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。

（1）如果在(a,b)内f(x)0，那么函数yf(x)在[a,b]内单调增加；

（2）如果在(a,b)内f(x)0，那么函数yf(x)在[a,b]内单调减少

3.函数的极值：

（1）极值的定义：四朵花团队

设f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一点；若对于x0的某个邻域内的任意点xx0，都有：f(x0)f(x)

[或f(x0)f(x)]则称f(x0)是f(x)的一个极大值（或极小值），称x0为f(x)的极大值点（或极小值点）。

（2）驻点的定义：若f(x0)0，则称x0为f(x)的驻点。

（3）极值存在的必要条件：设函数在0处可导，且在0取得极值，那么0

f(x)xxf(x)0

（4）极值存在的充分条件：

定理1（第一充分条件）：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导。

①当x渐增通过x0时，f(x)由（+）变（-）；则f(x0)为极大值；

②当x渐增通过x0时，f(x)由（-）变（+）；则f(x0)为极小值。

定理2（第二充分条件）：设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f(x0)0,f(x0)0。

①若f(x0)0，则f(x0)为极大值；

②若f(x0)0，则f(x0)为极小值。

4.凹凸区间和拐点的应用

（1）曲线的凹凸性及拐点：

①若；则在内是凹的（下凸），（∪）；

f(x)0,xa,bf(x)(a,b)

②若f(x)0,xa,b；则f(x)在(a,b)内是凸的（上凸），（∩）；

（2）凹凸性改变的点称为拐点。

5.渐近线方程

limf(x)b

（1）水平渐近线：若x，则曲线yf(x)有水平渐近线yb；

(x)

limf(x)

xx

（2）垂直渐近线：0，则曲线yf(x)有垂直渐近线xx0；

(xx0)

f(x)

（3）斜渐近线：若limk0，blim[f(x)kx]，则ykxb为yf(x)的斜渐近线。

xxx

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

1.不定积分的概念和性质

（1）若F(x)f(x)，则F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)dxF(x)C

（2）f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

（3）kf(x)dxkf(x)dx

d

（4）[f(x)dx]f(x)或d[f(x)dx]f(x)dx

dx

（5）F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

四朵花团队

2.基本积分公式

1

x1

（1）kdxkxC（2）xdxC(1)（3）dx2xC

1x

111dx

（4）dxC（5）dxlnxC（）

262arctanxC

xxx1x

dx（）

（7）arcsinxC（8）cosxdxsinxC9sinxdxcosxC

1x2

x

xxa

（10）edxeC（11）axdxC

lna

3.不定积分的方法

（1）第一换元积分法（凑微分法）

g(x)dx拆f[(x)](x)dx凑f[(x)]d(x)(x)uf(u)du

F(u)Cu(x)F[(x)]C

（2）第二换元积分法

f(x)dx令x(t)f[(t)](t)dtF(t)Ct1(x)F[1(x)]C

(t)0

（3）分部积分

udvuvvdu-----分部积分公式

第二节定积分

bn

1.定积分的定义f(x)dxlimf(i)xi

a0

i1

定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。

定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

2.定积分的性质

设f(x)，g(x)在区间[a,b]上可积，则四朵花团队

aba

（1）f(x)dx0（2）f(x)dxf(x)dx

aab

bbbbb

（4）kf(x)dxkf(x)dx（5）[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aaaaa

bcb

（）b

6f(x)dxf(x)dxf(x)dx（3）1dxba

aaca

3.牛顿——莱布尼茨公式：

若是连续函数在上的一个原函数，则

F(x)f(x)[a,b]

bb

f(x)dxF(x)F(b)F(a)

aa

4.变上限函数求导

xdx

如果函数f(x)连续，则f(t)dt(axb)是上限x的可导函数，且有f(t)dtf(x)

adxa

若(x)，(x)均可导，则变上限函数的求导公式：

dx(x)

（1）f(t)dtf(x)（3）f(t)dtf[(x)](x)

dxadxa

dad(x)

（）f(t)dtf(x)（）f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)

24

dxxdx(x)

d

5.积分计算总结公式

（1）定积分对称区间内，偶倍奇零

设f(x)在[a,a]上连续，则

0f(x)为奇函数

a

f(x)dxa

a2f(x)dxf(x)为偶函数

0

a1

（2）a2x2dxa2

04

6.定积分的换元法和分部积分法

（1）定积分的换元法

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，令x(t)，如果

①(t)在[,]上连续，当t[,]时，(t)的值不超出[a,b]并且有连续的导函数，

b

②()a,()b则有f(x)dxf[(t)](t)dt

a

（2）定积分的分部积分法bbb

设函数、在上有连续导数，则：uvdx[uv]udv

u(x)v(x)[a,b]aaa

7.反常积分的概念和计算

（1）无限区间的反常积分

b

如果极限limf(x)dx(ba)存在，则称此极限值为函数f(x)在无限区间[a,)上的广义积分。记作

ba

b

f(x)dx，即：f(x)dxlimf(x)

aaba

b

此时称广义积分f(x)dx收敛.如果limf(x)dx不存在，则称广义积分f(x)dx发散。

abaa

若F(x)f(x)，则：

①limF(x)

f(x)dxF(x)aF(a)四朵花团队

ax

b

b

②f(x)dxF(x)F(b)limF(x)

x

③f(x)dxF(x)limF(x)limF(x)

xx

（2）无界函数的反常积分

设函数f(x)在区间(a,b]上连续。而limf(x)，称a为f(x)的瑕点。

xa

b

如果极限limf(x)dx存在，则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b)上的反常积分。

tat

bbb

记作f(x)dx，即f(x)dxlimf(x)

aatat

bb

此时称反常积分f(x)dx收敛。如果上述极限不存在，则称反常积分f(x)dx发散。

aa

bt

类似地，若b为瑕点，则f(x)dxlimf(x)；

atba

bcb

反常积分f(x)dx收敛的含义是f(x)dx与f(x)dx同时收敛。

aac

若F(x)f(x)，则

b

bF(b)limF(x)

（1）若a为瑕点，f(x)dxF(x);

aaxa

b

b

（2）若b为瑕点，f(x)dxF(x)alimF(x)F(a).

axb

bcbcb

（3）若c为瑕点，f(x)dxf(x)dxf(x)dx=F(x)+F(x)=limF(x)F(a)+F(b)limF(x)

aacacxcxc

第三节定积分的几何应用

1.平面图形的面积

b

①直角坐标下：设区域D是由yf(x),yg(x)以及直线xa,xb所围成，则平面图形D面积Sf(x)g(x)dx

a。

2.旋转体体积

①直角坐标下：设曲线是由yf(x)，且f(x)0(axb)，则

b

绕轴旋转的体积：2

xVxf(x)dx

a

b

绕y轴旋转的体积：

Vy2xf(x)dx

a

第四章多元函数微积分学

第一节空间解析几何与向量代数

1.向量的运算

（1）向量积和数量积

设a(ax,ay,az)，b(bx,by,bz)

①加减ab(axbx,ayby,azbz)

②数乘a(ax,ay,az)

③数量积ababcos

abaxbxaybyazbz四朵花团队

cabsin

④向量积abc

ca,cb

ijk

abaxayaz

bxbybz

2.向量关系

axayaz

（1）a//bab0

bxbybz

（2）abab0axbxaybyazbz0

3.平面方程

（1）平面的基本方程：

①点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

法向量n(A,B,C)

②一般式：AxByCzD0

xyz

③截距式：1(abc0)

abc

（2）平面与平面的位置关系

平面1A1xB1yC1zD10

①垂直12n1n20A1A2B1B2C1C20

n1(A1,B1,C1)ABC

②平行111

1//2n1n20A

2B2C2

平面2A2xB2yC2zD20

n2(A2,B2,C2)

4.直线方程

（1）空间直线方程

xx0yy0zz0

①点向式方程：s{m,n,p}为方向向量，(x0,y0,z0)为直线上的一点。

mnp

A1xB1yC1zD10

②一般式方程：

A2xB2yC2zD20

xx0mt

③参数式方程：yy0nt

zz0pt

（2）直线与直线的位置关系

xxyyzzxxyyzz

111222

直线L1：直线L2：

m1n1p1m2n2p2

s1(m1,n1,p1)s2(m2,n2,p2)

①垂直：LLss0mmnnpp0

1212121212

mnp

②平行：L//Lss0m111

1212np

222

（3）直线与平面的位置关系

xxyyzz

直线L：000

mnp

s(m,n,p)

平面：AxByCzD0

n(A,B,C)

mnp

①垂直：Lsn0

ABC

②平行：L//sn0mAnBpC0

第二节多元函数微分学

1.二元函数的概念

定义设D是R2上的一个非空子集，称映射f:DR为定义在D上的二元函数，通常记为zf(x,y),(x,y)D。

其中点集D称为该函数的定义域。x,y称为自变量，z称为因变量。

2.偏导数的定义

（1）一阶偏导数

定义

设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一领域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，

相应的函数有增量f(x0x,y0)f(x0,y0)。

f(x0x,y0)f(x0,y0)

如果lim存在，则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)

x0x

z

处对x的偏导数，记为；或fx(x0,y0)。

xxx0

yy0

类似的，函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为

z

f(x0,y0y)f(x0,y0)

lim，记作或fy(x0,y0)。

y0

yyxx0

yy0

如果zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x的偏导函数，它就称为zf

zz

(x,y)对x的偏导函数，记为，或f(x,y)。类似地，定义zf(x,y)对y的偏导函数，记为，或f(x,y)。

xxyy

函数连续

偏导数连续函数可微

偏导数存在四朵花团队

（2）二阶偏导数

zz

定义设函数zf(x,y)在区域D内具有偏导数fx(x,y),fy(x,y)，如果这两个函数的偏导数也存在，

xy

则称它们是函数zf(x,y)的二阶偏导数，按照对变量的求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数：

2zz2zz

()；();

x2xxxyyx

2zz2zz

()；();

yxxyy2yy

（3）隐函数的导数

dyFx

①设由方程F(x,y)0确定的函数yf(x)在点x处有Fy0，则有

dxFy