专项练习--磁场的最小面积求解

2525 题练习 题练习 3 3 磁场的最小面积磁场的最小面积 1 如图所示 第四象限内有互相正交的匀强电场 E 与匀强磁场 B1 E 的大小为 1 5 103 V m B1大小为 0 5 T 第一象限的某个矩形区域内 有方向垂直纸面的匀强磁场 磁场的下边界与 x 轴重合 一质量 m 1 10 14 kg 电荷量 q 2 10 10 C 的带正电微粒 以某一速度 v 沿与 y 轴正方向 60 角从 M 点射入 沿直线运动 经 P 点后即进入处于第一象限内的磁场 B2区域 一段时间后 微 粒经过 y 轴上的 N 点并与 y 轴正方向成 60 角的方向飞出 M 点 的坐标为 0 10 N 点的坐标为 0 30 不计微粒重力 g 取 10 m s2 则求 1 微粒运动速度 v 的大小 2 匀强磁场 B2的大小 3 B2磁场区域的最小面积 解析 1 带正电微粒在电场和磁场复合场中沿直线运动 qE qvB1 解得 v E B1 3 103 m s 2 画出微粒的运动轨迹如图 粒子做圆周运动的半径为 R m 3 15 由 qvB2 mv2 R 解得 B2 3 4 T 3 3 由图可知 磁场 B2的最小区域应该分布在图示的矩形 PACD 内 由几何关系易得 PD 2Rsin 60 20 cm 0 2 m PA R 1 cos 60 30 m 3 所以 所求磁场的最小面积为 S PD PA m2 3 150 答案 1 3 103 m s 2 T 3 m2 3 3 4 3 150 2 如图甲所示 x 轴正方向水平向右 y 轴 正方向竖直向上 在 xoy 平面内有与 y 轴平行的 匀强电场 在半径为 R 的圆形区域内加有与 xoy 平面垂直的匀强磁场 在坐标原点 O 处放置一带 电微粒发射装置 它可以连续不断地发射具有相 同质量 m 电荷量 q 0 q 和初速为 0 v的带 电粒子 已知重力加速度大小为 g 1 当带电微粒发射装置连续不断地沿 y 轴正 方向发射这种带电微粒时 这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场 并 继续沿 x 轴正方向运动 求电场强度和磁场强度的大小和方向 2 调节坐标原点 0 处的带电微粒发射装置 使其在 xoy 平面内不断地以相同的速率 v0 沿不同方向将这种带电微粒射入第 1 象限 如图乙所示 现要求这些带电微粒最终都能平 行于 x 轴正方向运动 则在保证匀强电场 匀强磁场的强度和方向不变的条件下 应如何 改变匀强磁场的分布区域 并求出符合条件的磁场区域的最小面积 解解 1 由题目中 带电粒子从坐标原点 O 处沿 y 轴正方向进入磁场后 最终沿圆形磁场区 域的水平直径离开磁场并继续沿 x 轴正方向运动 可知 带电微粒所受重力与电场力平衡 设电场强度大小为 E 由平衡条件得 qEmg 1 分 N q mg E 1 分 电场方向沿y轴正方向 带电微粒进入磁场后 做匀速圆周运动 且圆运动半径 r R 设匀强磁场的磁感应强度大小为 B 由牛顿第二定律得 R mv Bqv 2 0 0 1 分 qR mv B 0 1 分 磁场方向垂直于纸面向外1 分 2 设由带电微粒发射装置射入第 象限的带电微粒的初速度方向与x轴承夹角 则 满足0 2 由于带电微粒最终将沿x轴正方向运动 故 B 应垂直于xoy平面向外 带电微粒在磁场内做半径为 qB mv R 0 匀速圆周运动 由于带电微粒的入射方向不同 若磁场充满纸面 它们所对应的运动的轨迹如图所示 2 分 为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x轴正方向运动 由图可知 它们必须从经 O 点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场 这样磁场边界上 P 点的坐标 P x y 应满足方程 sinRx cos1 Ry 所以磁场边界的方程为 222 RRyx 2 分 由题中 0 2 的条件可知 以 2 的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹 222 RyRx 即为所求磁场的另一侧的边界 2 分 因此 符合题目要求的最小磁场的范围应是圆 222 RRyx 与圆 222 RyRx 的 交集部分 图中阴影部分 1 分 由几何关系 可以求得符合条件的磁场的最小面积为 22 2 0 2 min 1 2 Bq vm S 1 分 3 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中的第一象限内存在磁感应强度大小为 B 方向 垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域 图中未画出 在第二象限内存在沿 x 轴负 方向的匀强电场 一粒子源固定在 x 轴上的 A 点 A 点坐标为 L 0 粒子源沿 y 轴正 方向释放出速度大小为 v 的电子 电子恰好能通过 y 轴上的 C 点 C 点坐标为 0 2L 电子经过磁场偏转后方向恰好垂直 ON ON 是与 x 轴正方向成 15 角的射线 电子的质量为 m 电荷量为 e 不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用 求 1 第二象限内电场强度 E 的大小 2 电子离开电场时的速度方向与 y 轴正方向的夹角 3 圆形磁场的最小半径 Rmin 解 1 2 2 mv E eL 2 45 3 电子的运动轨迹如图 电子在磁场中做匀速圆周运动的半径 电子在磁场中偏转 120 后垂直于 ON 射出 则磁场最小半径 由以上两式可得 4 黑龙江适应性测试 在如右图所示的平面直角坐标系中 存在一个半径R 0 2m 的 圆形匀强磁场区域 磁感应强度B 1 0T 方向垂直纸面向外 该磁场区域的右边缘与坐 标原点O相切 y轴右侧存在电场强度大小为E 1 0 104N C 的匀强电场 方向沿y轴正 方向 电场区域宽度l 0 1m 现从坐标为 0 2m 0 2m 的P点发射出质量 m 2 0 10 9kg 带电荷量q 5 0 10 5C 的带正电粒子 沿y轴正方向射入匀强磁场 速度大小 v0 5 0 103m s 重力不计 1 求该带电粒子射出电场时的位置坐标 2 为了使该带电粒子能从坐标为 0 1m 0 05m 的点回到 电场后 可在紧邻电场的右侧一正方形区域内加匀强磁场 试求 所加匀强磁场的磁感应强度大小和正方形区域的最小面积 解析 1 带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动 有qv0B m v2 0 r 解得r 0 20m R 根据几何关系可知 带电粒子恰从O点沿x轴进入电场 带电粒子做类平抛运动 设 粒子到达电场边缘时 竖直方向的位移为y 有l v0t y t2 1 2 qE m 联立解得y 0 05m 所以粒子射出电场时的位置坐标为 0 1m 0 05m 2 粒子飞离电场时 沿电场方向速度 vy at 5 0 103m s v0 粒子射出电场时速度 v v0 2 由几何关系可知 粒子在正方形区域磁场中做圆周运动半径 r 0 05m 2 由qvB m 解得B 4T v2 r 正方形区域最小面积S 2r 2 解得S 0 02m2 答案 1 0 1m 0 05m 2 0 02m2 5 如图所示 在坐标系第一象限内有正交的匀强电 磁场 电场强度 E 1 0 103 V m 方向未知 磁感应强度 B 1 0 T 方向垂直纸面向里 第二象限的某个圆形区域内 有垂直纸面向里的匀强磁场 B 图中未画出 一质量 m 1 10 14 kg 电荷量 q 1 10 10 C 的带正电粒子以某一速 度 v 沿与 x 轴负方向成 60 角的方向从 A 点进入第一象限 在 第一象限内做直线运动 而后从 B 点进入磁场 B 区域 一段 时间后 粒子经过 x 轴上的 C 点并与 x 轴负方向成 60 角飞 出 已知 A 点坐标为 10 0 C 点坐标为 30 0 不计粒子重力 1 判断匀强电场 E 的方向并求出粒子的速度 v 2 画出粒子在第二象限的运动轨迹 并求出磁感应强度 B 3 求第二象限磁场 B 区域的最小面积 解析 1 粒子在第一象限内做直线运动 速度的变化会引起洛伦兹力的变化 所以粒子必 做匀速直线运动 这样 电场力和洛伦兹力大小相等 方向相反 电场 E 的方向与微粒运 动的方向垂直 即与 x 轴正向成 30 角斜向右上方 由平衡条件有 Eq Bqv 得 v m s 103 m s E B 1 0 103 1 0 2 粒子从 B 点进入第二象限的磁场 B 中 轨迹如图 粒子做圆周运动的半径为 R 由几何关系可知 R cm cm 10 cos 30 20 3 由 qvB m 解得 B 代入数据解得 B T v2 R mv2 qvR mv qR 3 2 3 由图可知 B D 点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点 磁场 B 的最小区域应该 分布在以 BD 为直径的圆内 由几何关系得 BD 20 cm 即磁场圆的最小半径 r 10 cm 所以 所求磁场的最小面积为 S r2 3 14 10 2 m2 答案 1 与 x 轴正向成 30 角斜向右上方 103 m s 2 运动轨迹见解析图 T 3 2 3 3 14 10 2 m2 6 如图甲所示 在 xOy 平面内有足够大的匀强电场 电场方向竖直向上 电场强度 E 40 N C 在 y 轴左侧平 面内有足够大的瞬时磁场 磁感应强度 B1随时间 t 变化的 规律如图乙所示 15 s 后磁场消失 选定磁场垂直纸面向 里为正方向 在 y 轴右侧平面内还有方向垂直纸面向外的恒 定的匀强磁场 分布在一个半径为 r 0 3 m 的圆形区域 图 中未画出 且圆的左侧与 y 轴相切 磁感应强度 B2 0 8 T t 0 时刻 一质量 m 8 10 4 kg 电荷量 q 2 10 4 C 的微粒从 x 轴上 xP 0 8 m 处的 P 点以速度 v 0 12 m s 向 x 轴正方向入 射 g 取 10 m s2 计算结果保留两位有效数字 1 求微粒在第二象限运动过程中离 y 轴 x 轴的最大距离 2 若微粒穿过 y 轴右侧圆形磁场时 速度方向的偏转角度 最大 求此圆形磁场的圆心坐标 xy 解析 1 因为微粒射入电磁场后受到的电场力 F电 Eq 8 10 3 N G mg 8 10 3 N F电 G 所以微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 因为 qvB1 m 所以 R1 0 6 m v2 R1 mv B1q T 10 s 2 m B1q 从图乙可知在 0 5 s 内微粒向左做匀速圆周运动 在 5 s 10 s 内微粒向左匀速运动 运动位移 x1 v 0 6 m T 2 在 10 s 15 s 内 微粒又做匀速圆周运动 15 s 以后向右匀速运动 之 后穿过 y 轴 所以 离 y 轴的最大距离 s 0 8 m x1 R1 1 4 m 0 6 m 3 3 m 离 x 轴的最大距离 s 2R1 2 4R1 2 4 m 2 如图 微粒穿过圆形磁场要求偏转角最大 因为 R 2r 入射点 A 与出射点 B 的连线必须 为磁场圆的直径 因为 qvB2 mv2 R2 所以 R2 0 6 m 2r mv B2q 所以最大偏转角 60 所以圆心坐标 x 0 30 m y s rcos 60 2 4 m 0 3 m 2 3 m 1 2 即磁场的圆心坐标为 0 30 2 3 答案 1 3 3 m 2 4 m 2 0 30 2 3 7 如图所示 虚线 MO 与水平线 PQ