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数列复习 1 等差与等比数列复习 一 知识回顾 仍成等差 仍成等比 等差数列 等比数列 定义 通项 通项推广 中项 性质 求和公式 关系式 适用所有数列 等差 等比数列的设法及应用 1 三个数成等差数列可设为 或者 2 三个数成等比数列 则这三个数可设为 也可以设为 例1 1 已知三个数成等差数列 其和为15 其平方和为83 求此三个数 析 设这三个数为 则 所求三个数分别为3 5 7 解得x 5 d 或7 5 3 2 二 知识应用 根据具体问题的不同特点而选择不同设法 例1 2 互不相等的三个数之积为 这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列 求这三数排成的等差数列 设这三个数为 则 即 即 与已知三数不等矛盾 即 三个数为 或 即 三个数为 或 综上 这三数排成的等差数列为 运用等差 等比数列的性质 例2 1 已知等差数列满足 则 3 已知在等差数列 an 的前n项中 前四项之和为21 后四项之和为67 前n项之和为286 试求数列的项数n 析 C 2 已知等差数列前项和为30 前项和为100 则前项和为 C 例3 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项的和最小 分析 如果等差数列 an 由负数递增到正数 或者由正数递减到负数 那么前n项和Sn有如下性质 当a1 0 d 0时 当a1 0 d 0时 思路1 寻求通项 n取10或11时Sn取最小值 即 易知 由于 等差数列的最值问题 例 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项的和最小 分析 等差数列 an 的通项an是关于n的一次式 前项和Sn是关于n的二次式 缺常数项 求等差数列的前n项和Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法 思路2 从函数的角度来分析数列问题 设等差数列 an 的公差为d 则由题意得 a10 d 0 Sn有最小值 又 n N n 10或n 11时 Sn取最小值 即 例3 等差数列 an 中 a1 0 S9 S12 该数列前多少项和最小 分析 数列的图象是一群孤立的点 数列前n项和Sn的图象也是一群孤立的点 此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点 求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n 因为S9 S12 又S1 a1 0 所以Sn的图象所在的抛物线的对称轴为直线n 9 12 2 10 5 所以Sn有最小值 数列 an 的前10项或前11项和最小 n Sn o n 10 5 类比 二次函数f x 若f 9 f 12 则函数f x 图象的对称轴为 直线x 9 12 2 10 5 若f x 2 f 2 x 则函数f x 图象的对称轴为 直线x 2 思路3 函数图像 数形结合 令 故开口向上 过原点抛物线 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为 则由题意得 解析 通项特征 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法 错位相减法 错项法 等差 等比数列的综合应用 解析 两式相减 错位相减法 1 观察数列 30 37 32 35 34 33 36 38的特点 在括号内适当的一个数是 2 在等比数列中 a4 a6 3 则a5 a3 2a5 a7 3 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则2a10 a12的值为 A 20B 22C 24D 28 31 9 C 4 已知数列 an 中 a1 1 并且3an 1 3an 1 则a301 A 100B 101C 102D 103 B 5 若 an 是等比数列 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 那么a3 a5的值等于 A 5B 1C 15D 10 A 三 基础练习 6 等差数列 an 中 已知前4项和是1 前8项和是4 则a17 a18 a19 a20的值等于 A 7B 8C 9D 10 C 7 首项为 24的等差数列从第10项开始为正数 求公差为d的取值范围 8 在数列 an 中 a1 3