等比数列前n项和PPT.ppt

2 5等比数列前n项和 回顾旧知 1 等比数列 an 的通项公式 注意 当q 1时 等比数列 an 为常数列 2 求等比数列通项公式的方法 观察归纳法 累乘法 3 回想一下解等比数列题的一些技巧与方法 国际象棋起源于古印度 关于国际象棋还有一个传说 国王奖赏发明者 问他有什么要求 他答道 在棋盘第一个格放1颗麦粒 在第二个格放2颗麦粒 在第三个格放4颗麦粒 在第四个格放8颗麦粒 以此类推 每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍 直到64个格子 国王觉得这太容易了 就欣然答应了他的要求 你认为国王能满足他的要求吗 新课导入 设问 同学们 你们知道他要的是多少小麦吗 1 2 4 8 263 18446744073709551615 粒 已知麦子每千粒约为40克 则折合约为737869762948382064克 7378 7亿吨 经过计算 我们得到麦粒总数是 那么这是怎么计算的呢 其实是一个比较大小的问题 则实质上是求等比数列前n项和的问题 发明者要求的麦粒总数是 S64 1 2 22 23 263 上式有何特点 如果 式两端同时乘以2得 2S64 2 22 23 263 264 比较 两式 有什么关系呢 S64 1 2 22 23 263 2S64 2 22 23 263 264 两式上下相对的项完全相同 把两式相减 就可以消去相同的项 则 得 S64 264 1 18446744073709551615 设问 纵观全过程 式两边为什么要乘以2呢 等比数列前n项和公式及推导 在等比数列 an 中首先要考虑两种情况 当q 1时 Sn a1 a2 a3 an 1 an 我们视目以待 看接下来的解答 S1 a1S2 a1 a2 a1 a1q a1 1 q S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 a1 1 q q2 S4 a1 a2 a3 a4 a1 a1q a1q2 a1q3 a1 1 q q2 q3 分析 Sn a1 a1q a1q2 a1q3 a1qn 2 a1qn 1 qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn 2 a1qn 1 a1qn 得 Sn 1 q a1 a1qn 这就是乘公比错位相减法求和 当q 1时 则等比数列 an 前n项和公式为 注意点 1 注意q 1与q 1两种情况 2 q 1时 通过上面的讲解 对于等差数列的相关量a1 d n an sn 一般确定几个量就可以确定其他量 例1 等比数列 an 的公比q a8 1 求它的前8项和S8 解法1 因为a8 a1q7 所以 因此 这是公式法求和 解法2 把原数列的第8项当作第一项 第1项当作第8项 即顺序颠倒 也得到一个等比数列 bn 其中b1 a8 1 q 2 所以前8项和 分析 数列9 99 999 不是等比数列 不能直接用公式求和 但将它转化为10 1 100 1 1000 1 就可以解决了 例2 原式 10 1 100 1 1000 1 10n 1 10 100 1000 10n n 解 例3 2 这是分组法求和 某工厂去年1月份的产值为a元 月平均增长率为p p 0 求这个工厂去年全年产值的总和 解 该工厂去年2月份的产值为a 1 p 元 3月 4月 的产值分别为a 1 p 2元 a 1 p 3元 所以12个月的产值组成一个等比数列 首项为a 公比为1 p 例4 答 该工厂去年全年的总产值为元 求和 例5 这是错位相减法求和 注意 当等比数列的通项公式中有参数 求前n项和时要注意公比是否为1 例6 求和 例7 一尺之棰 日取其半 万世不竭 怎样用学过的知识来说明它 解 这句古语用现代文叙述是 一尺长的木棒 每天取它的一半 永远也取不完 如果每天取出的木棒的长度排成一个数列 则得到一个首项为a1 公比q 的等比数列 思考与余味 它的前n项和为 这说明一尺长的木棒 每天取它的一半 永远也取不完 课堂小结 本节课主要讲述了等比数列的前n项和公式 以及他们的推导过程 在具体使用时 不一定完全套用公式 要灵活变通 1 推导等差数列前n项和公式的方法 2 公式的应用中的数学思想 错位相加法 方程思想 3 公式中五个量a1 d an n sn 已知其中三个量 可以求其余两个 知三求二 07年广东 等比数列 an 中 a1 3 an 96 sn 189 求n的值 解 由 得 q 2 所以 高考链接 随堂练习 解 2 某商场第1年销售计算机 台 如果平均每年的销售量比上一年增加10 那么从第1年起 约几年内可使总销售量达到 台 保留到个位 分析 由题意可知 每年销售量比上一年增加的百分率相同 所以从第1年起 每年的销售量组成一个等比数列 总产量则为等比数