一元二次函数知识点汇总

一元二次函数知识点汇总 1 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的一元二次函数 cbacbxaxy 2 0 ayx 2 二次函数的性质 2 axy 1 抛物线的顶点是原点 对称轴是轴 2 axy 0 ay 2 函数的图像与的符号关系 2 axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点 当时抛物线开口向下顶点为其最高点0 a 0 a 3 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 4 二次函数用配方法可化成 的形式 其中 cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 5 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 cbxaxy 2 决定抛物线的开口方向 a 当时 开口向上 当时 开口向下 越小 抛物线的开口越大 越大 抛物线的开口越0 a0 aaa 小 对称轴为平行于轴 或重合 的直线 记作 特别地 轴记作直线 yhx y0 x 定点是抛物线的最值点 最大值 时 或最小值 时 坐标为 0 a0 ah k 6 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 对称轴是直线 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 2 配方法 运用配方法将抛物线的解析式化为的形式 得到顶点为 对称轴是 khxay 2 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以抛物线上纵坐标相等的两个点 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 7 抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线 故 bacbxaxy 2 a b x 2 时 对称轴为轴 时 对称轴在轴左侧 时 对称轴在轴右侧 0 by 0 a b y 0 a b y 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负半轴 0 c0 c y 0 c y 以上三点中 当结论和条件互换时仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y 0 a b 8 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 hx h k cbxaxy 2 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 9 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 10 直线与抛物线的交点 或称二次函数与一次函数关系 1 轴与抛物线得交点为 ycbxaxy 2 c 0 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 hcbhah 2 3 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次方程cbxaxy 2 x 1 x 2 x 的两个实数根 抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 0 2 cbxaxx 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标相等 设纵坐标 为 则横坐标是的两个实数根 而根的存在情况仍如 3 一样由根的判别式判定 kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像的交点 由方程组 0 knkxyl 0 2 acbxaxyG 的解的数目来确定 cbxaxy nkxy 2 方程组有两组不同的解时与有两个交点 lG 方程组只有一组解时与只有一个交点 方程组无解时与没有交点 lG lG 6 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为 由xcbxaxy 2 x 00 21 xBxA 于 是方程的两个根 故由韦达定理知 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 11 二次函数与一元二次方程的关系 1 一元二次方程就是二次函数当函数 y 的值为 0 时的情况 cbxax 2 0cbxaxy 2 2 二次函数的图象与轴的交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 cbxaxy 2 x 当二次函数的图象与轴有交点时 交点的横坐标就是当时自变量的值 cbxaxy 2 x0 yx 即一元二次方程的根 0 2 cbxax 3 当二次函数的图象与轴有两个交点时 则一元二次方程有两个不cbxaxy 2 xcbxaxy 2 相等的实数根 当二次函数的图象与轴有一个交点时 则一元二次方程cbxaxy 2 x 有两个相等的实数根 当二次函数的图象与轴没有交点时 则一0 2 cbxaxcbxaxy 2 x 元二次方程没有实数根0 2 cbxax 12 二次函数的应用 1 二次函数常用来解决最优化问题 这类问题实际上就是求函数的最大 小