不等关系与不等式

不等关系与不等式 学习目标 1 能用不等式 组 表示实际问题的不等关系 2 初步学会作差法比较两实数的大 小 3 掌握不等式的基本性质 并能运用这些性质解决有关问题 知识点一 不等关系与不等式 1 不等关系 在现实生活中 不等关系主要有以下几种类型 1 用不等式表示常量与常量之间的不等关系 如 神舟 十号飞船的质量大于 嫦娥 探 月器的质量 2 用不等式表示变量与常量之间的不等关系 如儿童的身高小于或等于 1 4 m 3 用不等式表示函数与函数之间的不等关系 如当 x a 时 销售收入 f x 大于成本 g x 4 用不等式表示一组变量之间的不等关系 如购置课桌的费用 60 x 与购置椅子的费用 30y 的和不超过 2 000 元 2 不等式 1 不等式的定义 用数学符号 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系 含有这些不等号的式子叫做不等式 2 关于 a b 和 a b 的含义 不等式 a b 应读作 a 大于或等于 b 其含义是 a b 或 a b 等价于 a 不小于 b 即若 a b 或 a b 中有一个正确 则 a b 正确 不等式 a b 应读作 a 小于或等于 b 其含义是 a b 或 a b 等价于 a 不大于 b 即若 a b 或 a b 中有一个正确 则 a b 正确 知识点二 比较大小的依据 1 比较实数 a b 大小的文字叙述 如果 a b 是正数 那么 a b 如果 a b 等于 0 那么 a b 如果 a b 是负数 那么 ab a b 0 a b a b 0 ab bb b c a c 传递性 3 a b a c b c 可加性 4 a b c 0 ac bc a b c 0 acb c d a c b d 6 a b 0 c d 0 ac bd 7 a b 0 an bn n N n 1 8 a b 0 n N n 2 n a n b 题型一 用不等式 组 表示不等关系 例 1 铁路旅行常识 规定 一 随同成人旅行 身高在 1 1 1 4 米的儿童享受半价客票 以下称儿童票 超过 1 4 米的 应买全价票 每一名成人旅客可免费带一名身高不足 1 1 米的儿童 超过一名时 超过的 人数应买儿童票 十 旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长 宽 高尺寸之和不得超过 160 厘米 杆状物品不得超过 200 厘米 重量不得超过 20 千克 设身高为 h 米 物品外部长 宽 高尺寸之和为 P 厘米 请用不等式表示下表中的不等 关系 文字表述 身高在 1 1 1 4 米 身高超过 1 4 米 身高不足 1 1 米 物体长 宽 高 尺寸之和不得超 过 160 厘米 符号表示 解 由题意可获取以下主要信息 1 身高用 h 米 表示 物体长 宽 高尺寸之和为 P 厘 米 2 题中要求用不等式表示不等关系 解答本题应先理解题中所提供的不等关系 再用不等 式表示 身高在 1 1 1 4 米可表示为 1 1 h 1 4 身高超过 1 4 米可表示为 h 1 4 身高不足 1 1 米可表示为 h 1 1 物体长 宽 高尺寸之和不得超过 160 厘米可表示为 P 160 如下表所示 文字表述 身高在 1 1 1 4 米 身高超 过 1 4 米 身高不 足 1 1 米 物体长 宽 高尺寸之和不 得超过 160 厘 米 符号表示 1 1 h 1 4 h 1 4h 1 1 P 160 跟踪训练 1 如下图 在一个面积为 350 平方米的矩形地基上建造一个仓库 四周是绿 地 仓库的长 L 大于宽 W 的 4 倍 写出 L 与 W 的关系 解 由题意 得 Error 题型二 比较实数 式 的大小 例 2 1 比较 x6 1 与 x4 x2的大小 其中 x R 2 设 x y z R 比较 5x2 y2 z2与 2xy 4x 2z 2 的大小 解 1 x6 1 x4 x2 x6 x4 x2 1 x4 x2 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 2 x2 1 0 当 x 1 时 x6 1 x4 x2 当 x 1 时 x6 1 x4 x2 综上所述 x6 1 x4 x2 当且仅当 x 1 时取等号 2 5x2 y2 z2 2xy 4x 2z 2 4x2 4x 1 x2 2xy y2 z2 2z 1 2x 1 2 x y 2 z 1 2 0 5x2 y2 z2 2xy 4x 2z 2 当且仅当 x y 且 z 1 时取等号 1 2 跟踪训练 2 设 a 0 b 0 且 a b 比较 aabb与 abba的大小 解 aa bbb a a b aabb abba a b 当 a b 0 时 1 a b 0 a b 1 a b a b 当 b a 0 时 0 1 a b 0 a b 1 a b a b a b 1 即 1 a b aabb abba 又 aabb 0 abba 0 aabb abba 题型三 不等式性质的应用 例 3 已知 a b 0 c d 0 e 0 求证 e a c e b d 证明 c d 0 c d 0 又 a b 0 a c b d 0 即 a c b d 0 0 1 a c 1 b d 又 e 0 e a c e b d 跟踪训练 3 已知 a b m n p 0 求证 n ap m bp 证明 a b 又 p 0 ap bp ap bp 又 m n 即 n m n ap m bp 忽视性质成立的条件导致错误 例 4 已知 1 a b 2 且 2 a b 4 求 4a 2b 的取值范围 错解 1 a b 2 2 a b 4 由 得 3 2a 6 a 3 3 2 由 1 得 0 2b 3 0 b 3 2 由 4 2 得 3 4a 2b 12 错因分析 由上述解题过程可知 当 a 且 b 时 3 4a 2b 才取等号 而此时 3 2 3 2 a b 0 不满足 式 因此 4a 2b 是不能等于 3 的 同理可验证 4a 2b 也不能等于 12 出现上述错误的原因是 同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向 这一性质 是单向的 用它来作变形 是非同解变形 因此结论是错误的 正解 令 a b u a b v 则 2 u 4 1 v 2 由Error 解得Error 4a 2b 4 2 u v 2 u v 2 2u 2v u v u 3v 2 u 4 3 3v 6 5 u 3v 10 5 4a 2b 10 误区警示 把条件中的 a b 和 a b 分别看做一个整体 采用整体代入法 并结合不等式 的性质求解 可以得到正确的结论 1 完成一项装修工程 请木工共需付工资每人 500 元 请瓦工共需付工资每人 400 元 现 有工人工资预算 20 000 元 设木工 x 人 瓦工 y 人 则工人满足的关系式是 A 5x 4y 200 B 5x 4y 200 C 5x 4y 200 D 5x 4y 200 2 设 x a 0 则下列不等式一定成立的是 A x2 axax a2 C x2 a2a2 ax 3 设 M x2 N x 1 则 M 与 N 的大小关系是 A M N B M N C M N D 与 x 有关 4 若 x R 则与 的大小关系为 x 1 x2 1 2 一 选择题 1 已知 a b 0 b 0 那么 a b a b 的大小关系是 A a b b a B a b a b C a b b a D a b a b 2 设 0 b a 1 则下列不等式成立的是 A ab b2 1 B log b log a 0 1 2 1 2 C 2b 2a 2 D a2 ab 1 3 已知 a b 0 1 记 M ab N a b 1 则 M 与 N 的大小关系是 A M N B M N C M N D 不确定 4 已知四个条件 b 0 a 0 a b a 0 b a b 0 能推出 成立的有 1 a 1 b A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知 a b c 满足 c b a 且 ac 0 则下列选项中不恒成立的是 A B 0 b a c a b a c C D 0 b2 c a2 c a c ac 6 下列命题中 一定正确的是 A 若 a b 且 则 a 0 b 0 1 a 1 b B 若 a b b 0 则 1 a b C 若 a b 且 a c b d 则 c d D 若 a b 且 ac bd 则 c d 7 甲 乙两人同时从寝室到教室 甲一半路程步行 一半路程跑步 乙一半时间步行 一 半时间跑步 如果两人步行速度 跑步速度均相同 则谁先到教室 A 甲 B 乙 C 同时到达 D 无法判断 二 填空题 8 给出下列命题 a b ac2 bc2 a b a2 b2 a b a3 b3 a b a2 b2 其中正确的命题 序号是 9 一辆汽车原来每天行驶 x km 如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km 那么在 8 天内它的行程就超过 2 200 km 写出不等式为 如果它每天行驶的路程比 原来少 12 km 那么它原来行驶 8 天的路程就得花 9 天多的时间 用不等式表示为 10 已知实数 x y 满足 4 x y 1 1 4x y 5 则 9x 3y 的取值范围是 三 解答题 11 1 若 bc ad 0 bd 0 求证 a b b c d d 2 已知 a b m 均为正数 且 a b 求证 a m b m a b 12 若二次函数 f x 的图象关于 y 对称 且 1 f 1 2 3 f 2 4 求 f 3 的取值范围 13 设 f x 1 logx3 g x 2logx2 其中 x 0 且 x 1 试比较 f x 与 g x 的大小 当堂检测答案 1 答案 D 解析 据题意知 500 x 400y 20 000 即 5x 4y 200 故选 D 2 答案 B 解析 x aa2 x2 ax x x a 0 x2 ax 又 ax a2 a x a 0 ax a2 x2 xa a2 3 答案 A 解析 M N x2 x 1 x 2 0 1 2 3 4 M N 4 答案 x 1 x2 1 2 解析 0 x 1 x2 1 2 2x 1 x2 2 1 x2 x 1 2 2 1 x2 x 1 x2 1 2 课时精练答案 一 选择题 1 答案 C 解析 方法一 a b 0 a b 又 b 0 a 0 且 a b a b b a 方法二 设 a 3 b 2 则 a b b a 2 答案 C 解析 设 a b 验证即得 A D 错误 结合 y log x y 2x的单调性得 B 错误 2 3 1 3 1 2 C 正确 3 答案 B 解析 M N ab a b 1 ab a b 1 a 1 b 1 a b 0 1 a 1 0 b 1 0 M N 0 M N 4 答案 C 解析 中 a 0 b 1 a 1 b 中 b a 0 1 a 1 b 中 a b 0 1 a 1 b 故 三个均可推得 1 a 1 b 5 答案 C 解析 c b a 且 ac 0 a 0 c 0 由 a 0 得 0 1 a 又 b c 故 A 恒成立 b a c a b a b a 0 又 c 0 0 故 B 恒成立 b a c c a a c 0 又 ac 0 0 故 D 恒成立 a c ac 当 b 2 a 1 时 b2 a2 又 c 0 故 C 不恒成立 故选 C b2 c a2 c 6 答案 A 解析 对于 A 0 1 a 1 b b a ab 又 a b b a 0 ab 0 a 0 b 0 故 A 正确 对于 B 当 a 0 b 0 时 有 1 故 B 错 a b 对于 C 当 a 10 b 2 时 有 10 1 2 3 但 1 3 故 C 错 对于 D 当 a 1 b 2 时 有 1 1 2 3 但 1 3 故 D 错 故选 A 7 答案 B 解析 设路程为 S 步行速度 v1 跑步速度 v2 则 甲用时 t1 1 2S v1 1 2S v2 乙用时 t2 2S v1 v2 t1 t2 S 2v1 S 2v2 2S v1 v2 S v1 v2 2v1v2 2 v1 v2 S v1 v2 2 4v1v2 2v1v2 v1 v2 0 v1 v2 2 S 2v1v2 v1 v2 甲用时多 二 填空题 8 答案 解析 当 c2 0 时不成立 一定成立 当 a b 时 a3 b3 a b a2 ab b2 a b 0 成立 a b 2 2 3 4b2 当 b 0 时 不一定成立 如 2 3 但 22 3 2 9 答案 8 x 19 2 200 9 8x x 12 解析 由题意知 汽车原来每天行驶 x km 8 天内它的行程超过 2 200 km 则 8 x 19 2 200 若每天行驶的路程比原来少 12 km 则原来行驶 8 天的路程就要用 9 天多 即 9 8x x 12 10 答案 6 9 解析 设 9x 3y a x y b 4x y a 4b x a b y Error Error 9x 3y x y 2 4x y 1 4x y 5 2 2 4x y 10 又 4 x y 1 6 9x 3y 9 三 解答题 11 解 1 方法一 bc ad 0 bc ad bd 0 c d a b 1 1 c d a b 即 a b b c d d 方法二