高一数学-集合的含义与表.ppt

1 1集合1 1 1集合的含义与表示 1 理解集合的含义及集合中元素的特性 2 掌握元素与集合间的关系 记住数学中的一些常用数集符号 3 掌握集合的表示方法 能在具体问题中选择适当的方法表示集合 4 体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点 1 初中时接触过一些集合 你还记得 自然数的集合 有理数的集合 的含义吗 自然数的集合包含 有理数的集合包含 2 你还会求不等式x 2 3的解吗 解为 即所有大于1的数 3 到一个定点的距离等于定长的点的集合是 零和正整数 整数和分数 x 1 圆 1 元素与集合的概念一般地 1 我们把 统称为 通常用小写拉丁字母a b c 表示 2 我们把一些元素组成的总体叫做 简称集 通常用大写拉丁字母A B C 表示 研究对象 元素 集合 2 集合中元素的特性 1 确定性 给定的集合 它的元素必须是 2 互异性 一个给定集合中的元素是 3 无序性 集合中的元素是 如 a b c 与 c b a 是同一集合 3 元素与集合之间的关系 1 如果a是集合A的元素 就说 记作 2 如果a不是集合A的元素 就说 记作 确定的 互异的 无序的 a属于集合A a A a不属于集合A a A 4 常用数集及表示符号 N 或N Z N Q R 1 你班里 数学成绩好的同学 能组成集合吗 提示 不能组成集合 成绩好 没有确定的标准 即集合中的元素是不确定的 2 你班里 第一组的同学 能组成集合吗 提示 能组成集合 集合中的元素就是第一组的全体同学 3 如果集合A中有两个元素a和a2 那么对于a有什么限制 提示 两个元素 根据集合中元素的确定性 互异性 得a a2 所以a 0且a 1 课堂互动讲练 判定一组对象能否构成一个集合 关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象 若鉴定对象的客观标准是明确的 则这些对象就能构成集合 否则不能构成集合 考察下列每组对象能否组成一个集合 1 2010年参展上海世博会的所有展馆 2 2010年上海世博会的所有漂亮的展馆 3 参加2011年元旦晚会的所有同学 4 直角坐标系中 接近原点的点 思路点拨 根据本题所列举的元素是否具有确定的属性来判定 解 1 中 所有展馆 3 所有同学 都有确定的 属性 能组成集合 2 中 漂亮 展馆 没有明确的标准 4 中 接近原点 界限不明 都不能组成集合 综上可知 1 3 能组成集合 2 4 不能组成集合 根据集合中元素的确定性可以解出字母所有可能的取值 再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验 已知集合A含有三个元素1 0 x 若x2 A 求实数x的值 解 若x2 0 则x 0 此时集合A中有两个相同元素0 不符合集合中元素的互异性 舍去 若x2 1 则x 1 当x 1时 集合A中有两个相同元素1 舍去 当x 1时 集合A中三个元素为1 0 1 符合 若x2 x 则x 0或x 1 不符合互异性 都舍去 综上可知 x 1 点拨 在解答本题的过程中 易出现根据x2 0 x2 1 x2 x解得x的值 而不考虑集合中元素特性的错误 导致该种错误的原因是忽视了元素的互异性 互动探究1若集合A为 1 2 x 当x2 A时 求x的值 元素与集合的关系有两种 属于 不属于 主要依据集合中元素的确定性 即看元素是否符合集合的属性 方法技巧1 判断元素能否组成集合 关键看这些元素是否具有确定性和互异性 如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合 否则就不能组成集合 如例1 2 对于含参数的集合问题 常要利用集合中元素的确定性 互异性 对所求出的参数值进行检验 如例2 3 判断一个元素是不是某个集合的元素 关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征 如例3 失误防范1 符号 是用来表示元素与集合之间关系的 不能用在集合与集合之间 一个元素a与一个集合A 要么有a A 要么有a A 两者必具其一且只具其一 2 利用集合相等求表达形式不同的两个集合中某个参变量的值时 必须同时注意检验元素是否满足互异性 1 把集合的元素 出来 并用花括号 括起来表示集合的方法叫做列举法 2 用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法 具体的方法是 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 一一列举 共同特征 5 集合的表示 1 集合 x x 1 与集合 y y 1 是否表示同一集合 答 虽然两个集合的代表元素不同 但实质上它们均表示大于1的所有实数 故是同一集合 2 下面三个集合 x y x2 1 y y x2 1 x y y x2 1 它们各自的含义是什么 它们是不是相同的集合 答 集合 x y x2 1 的代表元素是x 满足条件y x2 1中的x R 自主探究 实质上 x y x2 1 R 集合 y y x2 1 的代表元素是y 满足条件y x2 1中的y的取值范围是y 1 实质上 y y x2 1 y y 1 集合 x y y x2 1 的代表元素是 x y 可以认为是满足条件y x2 1中的数对 x y 的集合 也可以认为是坐标平面内的点 x y 构成的集合 且这些点的坐标满足y x2 1 x y y x2 1 P P是抛物线y x2 1上的点 由以上可知它们不是相同的集合 1 集合 x 1 x 6 x N 中元素的个数为 A 5B 6C 7D 8解析 x 1 x 6 x N 1 2 3 4 5 6 答案 B2 集合A 1 3 5 7 用描述法可表示为 A x x n n N B x x 2n 1 n N C x x 2n 1 n N D x x n 2 n N 解析 集合A表示所有的正奇数 故C正确 答案 C 预习测评 3 用列举法表示大于2小于15的偶数全体为 答案 4 6 8 10 12 14 4 已知集合A 1 0 1 集合B y y x x A 则B 解析 1 1 0 0 1 1 故B 0 1 答案 0 1 课堂讲练互动 1 在用列举法表示集合时应注意 元素间用分隔号 元素不重复 元素无顺序 列举法可表示有限集 也可以表示无限集 若元素个数比较少用列举法比较简单 若集合中的元素较多或无限 但出现一定的规律性 在不发生误解的情况下 也可以用列举法表示 2 在用描述法表示集合时应注意 1 弄清元素所具有的形式 即代表元素是什么 是数 还是有序实数对 点 还是集合 还是其他形式 要点阐释 2 元素具有怎样的属性 当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时 要去伪存真 而不能被表面的字母形式所迷惑 用描述法表示集合时 若需要多层次描述属性时 可选用逻辑连接词 且 与 或 等连接 若描述部分出现元素记号以外的字母时 要对新字母说明其含义或指出其取值范围 题型一用列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合 2 不大于10的非负偶数集 3 A x y x y 3 x N y N 典例剖析 2 不大于10即为小于或等于10 非负是大于或等于0 故不大于10的非负偶数集为 0 2 4 6 8 10 3 因为x N y N x y 3 所以A 0 3 1 2 2 1 3 0 点评 当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示 用列举法表示集合时 必须注意以下几点 元素之间必须用 隔开 集合的元素必须是明确的 不必考虑元素出现的先后顺序 集合中的元素不能重复 集合中的元素可以是任何事物 1 用列举法表示下列集合 我国现有直辖市的全体 方程 x2 1 x2 2x 8 0的解集 绝对值小于3的整数集合 解 北京 上海 天津 重庆 由x2 1 0得x 1 由x2 2x 8 0得x 2或x 4 故方程的解集为 4 1 1 2 2 1 0 1 2 题型二用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合 1 被5除余1的正整数集合 2 大于4的全体奇数构成的集合 4 在平面直角坐标系中 两坐标轴上点的集合 解 1 x x 5k 1 k N 2 x x 2k 1 k 2 k N 3 x x 2 且x 0 x R 4 x y xy 0 点评 1 用描述法表示集合 首先应弄清楚集合的类型 是数集 点集还是其他的类型 描述法多用于元素个数无限的集合 2 使用描述法表示集合时 要注意以下几点 写明该集合的代表元素及所属范围 表达清楚该集合中元素的共同属性 多层描述时 应当准确使用 且 或 所有描述的内容都要写在花括号内 用于描述的语句力求简明 准确 2 用描述法表示下列集合 1 所有正偶数组成的集合 2 方程x2 2 0的解的集合 3 不等式4x 6 5的解集 4 函数y 2x 3的图象上的点集 解 1 文字描述法 x x是正偶数 符号描述法 x x 2n n N 2 x x2 2 0 x R 3 x 4x 6 5 x R 4 x y y 2x 3 x R y R 题型三列举法和描述法的灵活运用 例3 用适当的方法表示下列集合 1 比5大3的数 2 方程x2 y2 4x 6y 13 0的解集 3 二次函数y x2 10图象上的所有点组成的集合 解 1 比5大3的数显然是8 故可表示为 8 2 方程x2 y2 4x 6y 13 0可化为 方程的解集为 2 3 3 二次函数y x2 10的图象上的点 用描述法表示为 x y y x2 10 点评 用列举法与描述法表示集合时 一要明确集合中的元素 二要明确元素满足的条件 三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合 3 用适当的方法表示下列集合 1 由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合 2 由所有周长等于10cm的三角形组成的集合 3 从1 2 3这三个数字中抽出一部分或全部数字 没有重复 所组成的自然数的集合 解 1 列举法 3 5 7 2 描述法 周长为10cm的三角形 3 列举法 1 2 3 12 13 21 31 23 32 123 132 213 231 312 321 4 列举法 0 0 1 1 例4 下列说法 集合 x N x3 x 用列举法表示为 1 0 1 实数集可以表示为 x x为所有实数 或 R 其中正确的有 A 3个B 2个C 1个D 0个D 1 在用列举法表示集合时应注意以下四点 1 元素间用 分隔 2 元素不重复 3 不考虑元素顺序 4 对于含有较多元素的集合 如果构成该集合的元素有明显规律 可