【推荐】江苏省2019高考数学二轮复习-专题四-函数与导数-第3讲-函数、导数的综合问题学案

1 第第 3 3 讲讲 函数 导数的综合问题函数 导数的综合问题 考情考向分析 函数和导数的综合问题 主要是利用导数证明不等式问题 函数零点问题 函数的实际应用问题等 一般需要研究函数的单调性和最值问题 注重数学思想的考查 B 级要求 题目难度较大 热点一 利用导数研究不等式问题 例 1 已知函数f x xln x g x x2 ax 3 1 对一切x 0 2f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 2 求证 对一切x 0 ln x 恒成立 1 ex 2 ex 1 解 由题意知 2xln x x2 ax 3 对一切x 0 恒成立 则a 2ln x x 3 x 设h x 2ln x x x 0 3 x 则h x x 3 x 1 x2 当x 0 1 时 h x 0 h x 单调递增 所以h x min h 1 4 因为对一切x 0 2f x g x 恒成立 所以a h x min 4 即实数a的取值范围是 4 2 证明 问题等价于证明xln x x 0 恒成立 x ex 2 e 又f x xln x f x ln x 1 当x 时 f x 0 f x 单调递增 1 e 所以f x min f 1 e 1 e 2 设m x x 0 则m x x ex 2 e 1 x ex 易知m x max m 1 1 e 从而对一切x 0 ln x 恒成立 1 ex 2 ex 思维升华 利用导数研究不等式恒成立问题 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可以分离变量 构造 函数 直接把问题转化为函数的最值问题 跟踪演练 1 已知函数f x ln x ax2 x a R R 1 2 1 若f 1 0 求函数f x 的单调减区间 2 若关于x的不等式f x ax 1 恒成立 求整数a的最小值 解 1 因为f 1 1 0 所以a 2 a 2 此时f x ln x x2 x x 0 f x 2x 1 x 0 1 x 2x2 x 1 x 由f x 0 解得x1 1 2 又因为x 0 所以x 1 所以f x 的单调减区间为 1 2 方法一 由f x ax 1 恒成立 得 ln x ax2 x ax 1 在 0 上恒成立 1 2 问题等价于a 在 0 上恒成立 ln x x 1 1 2x2 x 令g x x 0 只需a g x max即可 ln x x 1 1 2x2 x 又g x x 1 1 2x ln x 1 2x2 x 2 令g x 0 得 x ln x 0 1 2 设h x x ln x x 0 1 2 3 因为h x 0 当x x0 时 g x 0 h 1 0 1 2 1 4 1 2 所以 x0 1 此时 1 0 所以g x 0 所以g x 在 0 上是增函数 又因为g 1 ln 1 a 1 a 1 a 2 0 1 2 3 2 所以关于x的不等式f x ax 1 不能恒成立 当a 0 时 g x ax2 1 a x 1 x ax 1 x 1 x 令g x 0 得x 1 a 所以当x 时 g x 0 0 1 a 当x 时 g x 0 h 2 ln 2 0 1 2 1 4 4 又h a 在 0 上是减函数 所以当a 2 时 h a 0 表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为 3 2 km 试问它的横坐标a不超 过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 解 1 令y 0 得kx 1 k2 x2 0 1 20 由实际意义和题设条件知x 0 k 0 6 故x 10 20k 1 k2 20 k 1 k 20 2 当且仅当k 1 时取等号 所以炮的最大射程为 10 km 答 炮的最大射程为 10 km 2 因为a 0 所以炮弹可击中目标 存在k 0 使 3 2 ka 1 k2 a2成立 关于k的 1 20 方程a2k2 20ak a2 64 0 有正根 20a 2 4a2 a2 64 0 0 a 6 所以当a不超过 6 km 时 可击中目标 答 当横坐标a不超过 6 km 时 炮弹可以击中飞行物 热点三 利用导数研究函数的零点问题 例 3 已知函数f x xln x g x x2 ax 2 e 为自然对数的底数 a R R 1 判断曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与曲线y g x 的公共点个数 2 当x 时 若函数y f x g x 有两个零点 求a的取值范围 1 e e 解 1 f x ln x 1 所以切线斜率k f 1 1 又f 1 0 所以曲线在点 1 0 处的切线方程为y x 1 由Error 得x2 1 a x 1 0 由 1 a 2 4 a2 2a 3 a 1 a 3 可知 当 0 即a 1 或a 3 时 有两个公共点 当 0 即a 1 或a 3 时 有一个公共点 当 0 即 1 a 3 时 没有公共点 2 y f x g x x2 ax 2 xln x x 1 e e 由y 0 得a x ln x 2 x 令h x x ln x x 则h x 2 x 1 e e x 1 x 2 x2 当x 时 由h x 0 得x 1 1 e e 所以h x 在上单调递减 在 1 e 上单调递增 1 e 1 因此h x min h 1 3 7 由h 2e 1 h e e 1 1 e 1 e 2 e 比较可知h h e 所以 结合函数图象 可得当 3 a e 1 时 函数y f x 1 e 2 e g x 有两个零点 思维升华 1 研究函数图象的交点 方程的根 函数的零点 归根到底还是研究函数的图 象 如单调性 值域 与x轴的交点等 2 由函数零点求参数范围 一般要根据函数零点的个数 结合函数图象 构造满足问题的 不等式求解 跟踪演练 3 已知函数f x 2ln x x2 ax a R R 1 当a 2 时 求f x 的图象在x 1 处的切线方程 2 若函数g x f x ax m在上有两个零点 求实数m的取值范围 1 e e 解 1 当a 2 时 f x 2ln x x2 2x x 0 f x 2x 2 切点坐标为 1 1 2 x 切线的斜率k f 1 2 则切线方程为y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 2 g x 2ln x x2 m 则g x 2x 2 x 2 x 1 x 1 x 因为x 所以当g x 0 时 x 1 1 e e 当 x0 当 1 x e 时 g x 0 1 e 故g x 在x 1 处取得极大值g 1 m 1 又g m 2 g e m 2 e2 1 e 1 e2 g e g 4 e2 0 1 e 1 e2 则g e g 1 e 所以g x 在上的最小值是g e 1 e e 所以g x 在上有两个零点的条件是 1 e e Error 8 解得 1 m 2 1 e2 所以实数m的取值范围是 1 2 1 e2 1 2018 江苏 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆O的一段圆弧MPN P为此圆 弧的中点 和线段MN构成 已知圆O的半径为 40 米 点P到MN的距离为 50 米 现规划在 此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形ABCD 大棚 内的地块形状为 CDP 要求A B均在线段MN上 C D均在圆弧上 设OC与MN所成的角为 1 用 分别表示矩形ABCD和 CDP的面积 并确定 sin 的取值范围 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面积年产 值之比为 4 3 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 解 1 如图 设PO的延长线交MN于点H 则PH MN 所以OH 10 过点O作OE BC于点E 则OE MN 所以 COE 故OE 40cos EC 40sin 则矩形ABCD的面积为 2 40cos 40sin 10 800 4sin cos cos CDP的面积为 2 40cos 40 40sin 1 2 1 600 cos sin cos 过点N作GN MN 分别交圆弧和OE的延长线于点G和K 则GK KN 10 9 令 GOK 0 则 sin 0 0 1 4 0 6 当 时 才能作出满足条件的矩形ABCD 0 2 所以 sin 的取值范围是 1 4 1 答 矩形ABCD的面积为 800 4sin cos cos 平方米 CDP的面积为 1 600 cos sin cos 平方米 sin 的取值范围是 1 4 1 2 因为甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 3 设甲的单位面积的年产值为 4k 乙 的单位面积的年产值为 3k k 0 则年总产值为 4k 800 4sin cos cos 3k 1 600 cos sin cos 8 000k sin cos cos 0 2 设f sin cos cos 0 2 则f cos2 sin2 sin 2sin2 sin 1 2sin 1 sin 1 令f 0 得 6 当 时 f 0 所以f 为增函数 0 6 当 时 f 0 所以f 为减函数 6 2 因此 当 时 f 取到最大值 6 答 当 时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 6 2 已知函数f x 在x 0 处的切线方程为y x ax ex 1 求实数a的值 2 若对任意的x 0 2 都有f x 成立 求实数k的取值范围 1 k 2x x2 解 1 由题意得f x a 1 x ex 因为函数在x 0 处的切线方程为y x 所以f 0 1 解得a 1 2 由题意知f x 0 即k x2 2x x ex 1 k 2x x2 对任意x 0 2 都成立 从而k 0 10 不等式整理可得k0 函数g x 在 1 2 上单调递增 同理可得函数g x 在 0 1 上单调递减 所以k0 所以函数f x 2x x3 2 在 0 1 上单调递增 且 f 0 1 0 2 10 所以函数f x 在区间 0 1 内有 1 个零点 4 若存在正数x使 2x x a 1 成立 则a的取值范围是 答案 1 解析 2x x a 1 a x 1 2x 令f x x 1 2x 则f x 1 2 xln 2 0 f x 在 0 上单调递增 f x f 0 0 1 1 a的取值范围是 1 5 关于x的方程x3 3x2 a 0 有三个不同的实数解 则实数a的取值范围是 答案 4 0 解析 由题意知使函数f x x3 3x2 a的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可 又f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 得x1 0 x2 2 当x0 当 0 x 2 时 f x 2 时 f x 0 所以当x 0 时 f x 取得极大值 即f x 极大值 f 0 a 当x 2 时 f x 取得极小值 即f x 极小值 f 2 4 a 所以Error 解得 4 a0 函数f x 单调递增 当x 1 3 时 f x 0 函数f x 单调递增 12 所以函数f x 的极小值为f 3 24 极大值为f 1 8 而f 2 1 f 5 8 函数图象大致如图所示 故要使方程g x f x m在x 2 5 上有 3 个零点 只需函数f x 在 2 5 内的函数 图象与直线y m有 3 个交点 故Error 即m 1 8 7 已知不等式 ex x ax的解集为P 若 0 2 P 则实数a的取值范围是 答案 e 1 解析 由题意知不等式 ex x ax在x 0 2 上恒成立 当x 0 时 显然对任意实数a 该不等式都成立 当x 0 2 时 原不等式即a 1 ex x 令g x 1 x ex x 0 2 则g x ex x 1 x2 当 0 x 1 时 g x 0 g x 单调递减 当 1 x 2 时 g x 0 g x 单调递增 故g x 在 0 2 上的最小值为g 1 e 1 故a的取值范围为 e 1 8 若函数f x x3 x在 t 8 t2 上有最大值 则实数t的取值范围是 1 3 答案 3 6 解析 因为f x x2 1 所以当x 1 和 1 时 f x 单调递增 当x 1 1 时 f x 单调递减 故x 1 是函数f x 的极大值点 又函数f x 在 t 8 t2 上有最大值 所以t 1 8 t2 13 又f 1 f 2 且f x 在 1 上单调递增 2 3 所以f 8 t2 f 2 从而t 1 8 t2 2 得 30 1 x 当 e a 0 即a e 时 f x 0 f x 在 0 上单调递增 且x f x 此时f x 0 不可能恒成立 当 e ae 时 由f x 0 得x 1 a e 当x 时 f x 0 f x 单调递增 0 1 a e 当x 时 f x e 所以 a e b a ln a e 1 a 令a e t 0 则 t 0 b a ln t 1 t e 令g t t 0 则g t ln t 1 t e ln t e t t e 2 由g t 0 得t e 且当t 0 e 时 g t 0 g t 单调递增 所以g t min g e 1 e 即 b a ln t 1 t e 1 e 故 的最小值为 b a 1 e 12 若曲线C1 y ax2 a 0 与曲线C2 y ex在 0 上存在公共点 则a的取值范围 为 答案 e2 4 解析 由题意知方程ax2 ex a 0 在 0 上有解 则a x 0 ex x2 令f x x 0 ex x2 则f x x 0 xex 2ex x3 由f x 0 得x 2 16 当 0 x 2 时 f x 2 时 f x 0 函数f x 在区间 2 上是增函数 ex x2 所以当x 2 时 函数f x 在 0 上有最小值 ex x2 f 2 所以a e2 4 e2 4 13 已知函数f x 关于x的方程f2 x 2af x a 1 0 a R R 有 3 个相异的实 ex x 数根 则a的取值范围是 答案 e2 1 2e 1 解析 f x Error 当x 0 时 f x ex x 1 x2 当 0 x 1 时 f x 1 时 f x 0 函数f x 单调递增 当x 1 时 函数f x 取得极小值f 1 e 当x 0 时 f x 0 函数单调递增 如图 画出函数的图象 ex x 1 x2 设t f x 当t e 时 t f x 有 3 个实根 当t e 时 t f x 有 2 个实根 当 0 t 1 2 当y ln x的切线斜率为 1 时 y 1 得x 1 则y ln x在点 1 0 处的切线与 1 x y x 平行 则点 1 0 到直线y x 的距离 得 1 3 舍去 1 22 15 已知函数f x 2x 5ln x g x x2 mx 4 若存在x1 0 1 对任意 2 x x2 1 2 总有f x1 g x2 成立 求实数m的取值范围 解 题意等价于f x 在 0 1 上的最大值大于或等于g x 在 1 2 上的最大值 f x 2x2 5x 2 x2 由f x 0 得x 或x 2 1 2 当x 时 f x 0 0 1 2 当x 时 f x 0 1 2 1 所以在 0 1 上 f x max f 3 5ln 2 1 2 又g x 在 1 2 上的最大值为 max g 1 g 2 所以有Error 即Error 解得Error 解得m 8 5ln 2 所以实数m的取值范围是 8 5ln 2 16 已知函数f x ln x a 0 a e 2 x 1 当a 2 时 求出函数f x 的单调区间 2 若不等式f x a对于x 0 的一切值恒成立 求实数a的取值范围 解 1 由题意知 函数f x 的定义域为 0 当a 2 时 函数f x ln x e x 所以f x 1 x e x2 x e x2 所以当x 0 e 时 f x 0 函数f x 在 0 e 上单调递减 当x e 时 f x 0 函数f x 在 e 上单调递增 综上 当a 2 时 f x 的单调增区间为 e 单调减区间为 0 e 18 2 由题意知 ln x a x 0 恒成立 a e 2 x 等价于xln x a e 2 ax 0 在 0 上恒成立 令g x xln x a e 2 ax 则g x ln x 1 a 令g x 0 得x ea 1 当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 x 0 ea 1 ea 1 ea 1 g x 0 g x 极小值 所以g x 的最小值为g ea 1 a 1 ea 1 a e 2 aea 1 a e 2 ea 1 令t x x e 2 ex 1 x 0 则t x 1 ex 1 令t x 0 得x 1 当x变化时 t x t x 的变化情况如下表 x 0 1 1 1 t x 0 t x 极大值 所以当a 0 1 时 g x 的最小值为t a t 0 e 2 0 符合题意 1 e e e 2 1 e 当a 1 时 g x 的最小值为t a a e 2 ea 1 0 t 2 所以a 1 2 综上所述 a 0 2 现场走动管理是餐厅日常管理的重中之重 本人一直坚持当班期间严格按照二八原则进行时间分配 百分之八十的时间在管理区域现场 百分之二十的时间在做信息收集和管理总结 并直接参与现场服务 对出现的问题给予及时的纠正和提示 对典型问题进行详细记录 共性问题分析根源 制定相应的培训计划 堵塞问题漏洞 加强工作记录 考核检查表的登记 领班主管根据值班责任划分自己管辖区域 主要针对班前准备 班中督导 班后检评作书面记录 餐前准备充分性与客人个性需求作相应的指点和提醒服务 设备设施的完好状况 员工精神状态的调整 3 提升部分主题宴会服务的质量 从菜单的设计打印到配套餐具与调料的准备 特别是上菜的语言服务设计将是整个服务的点缀和装饰 开盘菜的欢迎词导入 餐中重头菜肴的介绍宣传 主食供应时的再次祝福 将时刻突出主人对主宾的尊敬热情 也通过此举服务让客人在心里更加加强对朋友盛情的美好回忆 真正达到客人宴请的物质精神双重享受 4 建立完善信息收集制度 降低投诉与提高存酒的信赖度 根据上半年收集的案例汇总看基本集中在客人对存酒的凝虑 由于当时信息记录单一不全面导致客人对自己的酒水存放不放心 后经部门开会加强细化存酒服务流程 特别注重值台员 吧台的双向记录要求及自带酒水的饮用与存放的书面记录 以此避免了客人心中的顾虑 查询时可以第一时间告知客人排除凝虑 吧台人员在货架的分类上创新编号排放便于快 速查找 起到了良好的效果 5 班会组织趣味活动 展示餐厅各项技能 为营造快乐班会快乐工作的氛围 餐厅经常以活动的形式来组织趣味游戏 虽然时间短暂但是收获多多 拓展 PK 小游戏配备奖励式处罚 融洽气氛 消除工作中的隔阂 提高相互之间的信赖度有着推波助澜的作用 包括每月的消防突击演练以真正检验全员的真实性效果 提高处变不惊的能力和处理突发事件的反应 当然托盘摆台技能的比拼才是我们真正的专业 从时间与质量考验选手的日常基本功 提高服务效率 6 开展各类员工培训 提升员工综合素质 本年度共开展了班会全员培训相对多一点达到 46 场次 业务式技能培训 11 场 新人入职培训 5 场 领班主管的自主专题培训海底捞进行 4 场 通过培训来达到思想意识的提高 拓展管理思路 开阔行业视野 7 全员齐努力 销售新突破 根据年初部门设定的果汁饮料销售新目标 全员不懈努力 在客源市场不是很景气的条件下发挥你追我赶宁创销售新高不伤相互感情的比拼精神 使我们的果汁数量屡创新高 到目前已销售 11900 多扎数 每月销售之星奖励的喜悦众人分享 从二连冠三连冠到现在的年终四连冠都是自身努力和实力的象征 餐厅也因此涌现出了一批销售之星 但是也有在销售中因没有注意语言技巧的把握而导致客人感觉有强买强的嫌疑 现场走动管理是餐厅日常管理的重中之重 本人一直坚持当班期间严格按照二八原则进行时间分配 百分之八十的时间在管理区域现场 百分之二十的时间在做信息收集和管理总结 并直接参与现场服务 对出现的问题给予及时的纠正和提示 对典型问题进行详细记录 共性问题分析根源 制定相应的培训计划 堵塞问题漏洞 加强工作记录 考核检查表的登记 领班主管根据值班责任划分自己管辖区域 主要针对班前准备 班中督导 班后检评作书面记录 餐前准备充分性与客人个性需求作相应的指点和提醒服务 设备设施的完好状况 员工精神状态的调整 3 提升部分主题宴会服务的质量 从菜单的设计打印到配套餐具与调料的准备 特别是上菜的语言服务设计将是整个服务的点缀和装饰 开盘菜的欢迎词导入 餐中重头菜肴的介绍宣传 主食供应时的再次祝福 将时刻突出主人对主宾的尊敬热情 也通过此举服务让客人在心里更加加强对朋友盛情的美好回忆 真正达到客人宴请的物质精神双重享受 4 建立完善信息收集制度 降低投诉与提高存酒的信赖度 根据上半年收集的案例汇总看基本集中在客人对存酒的凝虑 由于当时信息记录单一不全面导致客人对自己的酒水存放不放心 后经部门开会加强细化存酒服务流程 特别注重值台员 吧台的双向记录要求及自带酒水的饮用与存放的书面记录 以此避免了客人心中的顾虑 查询时可以第一时间告知客人排除凝虑 吧台人员在货架的分类上创新编号排放便于快 速查找 起到了良好的效果 5 班会组织趣味活动 展示餐厅各项技能 为营造快乐班会快乐工作的氛围 餐厅经常以活动的形式来组织趣味游戏 虽然时间短暂但是收获多多 拓展 PK 小游戏配备奖励式处罚 融洽气氛 消除工作中的隔阂 提高相互之间的信赖度有着推波助澜的作用 包括每月的消防突击演练以真正检验全员的真实性效果 提高处变不惊的能力和处理突发事件的反应 当然托盘摆台技能的比拼才是我们真正的专业 从时间与质量考验选手的日常基本功 提高服务效率 6 开展各类员工培训 提升员工综合素质 本年度共开展了班会全员培训相对多一点达到 46 场次 业务式技能培训 11 场 新人入职培训 5 场 领班主管的自主专题培训海底捞进行 4 场 通过培训来达到思想意识的提高 拓展管理思路 开阔行业视野 7 全员齐努力 销售新突破 根据年初部门设定的果汁饮料销售新目标 全员不懈努力 在客源市场不是很景气的条件下发挥你追我赶宁创销售新高不伤相互感情的比拼精神 使我们的果汁数量屡创新高 到目前已销售 11900 多扎数 每月销售之星奖励的喜悦众人分享 从二连冠三连冠到现在的年终四连冠都是自身努力和实力的象征 餐厅也因此涌现出了一批销售之星 但是也有在销售中因没有注意语言技巧的把握而导致客人感觉有强买强的嫌疑 19 针对大一的学生上大学之后存在一段的迷茫期 他们之所以迷茫 是因为他们没有奋斗的目标 是因为没有班主任在每天的早自习对他们进行了教育 以往他们的学习目标性都十分的明确 小学目的就是升入一个比较好的高中 上初中是为了上比较好的高中 上高中为了去一个比较好的大学 可真的到大学了 他们究竟应该怎么办不知道了 他们缺少一定的奋斗目标 在这个特殊的心理时期 我给他们开了主题班团会 给他们专题讲授职业生活规划 帮他们一起确定自己在大学的奋斗目标 让他们觉得原来的那个爱唠叨的班主任还在 还是有人管他们的 我个人觉得 大一时期是大学四年非常重要的一个时期 也是基础