2019年考研数学一真题与解析

1 2019 年考研数学一真题解析 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 1 当时 若与是同阶无穷小 则 0 x tanxx k xk A B C D 1234 答案答案 C 详解详解 当时 所以 所以 0 x 33 1 tan 3 xxxo x 33 1 tan 3 xxxo x 3k 2 设函数 则是的 0 ln 0 x xx f x xx x 0 x f x A 可导点 极值点 B 不可导的点 极值点 C 可导点 非极值点 D 不可导点 非极值点 答案答案 B 详解详解 1 所以函数在 000 1 ln 00 limlnlim0 00 lim0 0 0 1xxx x fxxfx xf x 处连续 2 所以函数在处不可导 3 当时 0 x 0 ln 0 lim x xx f x 0 x 0 x 函数单调递增 当时 函数单调减少 2 20f xxfxx 1 0 x e 1ln0fxx 所以函数在取得极大值 0 x 3 设是单调增加的有界数列 则下列级数中收敛的是 n u A B C D 1 n n u n 1 1 1 n n n u 1 1 1 n n n u u 22 1 1 nn n uu 答案答案 D 详解详解 设是单调增加的有界数列 由单调有界定理知存在 记为 又设 满 n ulim n n u lim n n uu n 足 则 且 则对于正项对于级 n uM 22 1111 2 nnnnnnnn uuuuuuM uu 22 1 0 nn uu 数 前项和 22 1 1 nn n uu n 22 11111 11 2 2 22 nn nkkkknn kk SuuMuuM uuMuMu 也就是收敛 22 1 1 nn n uu 2 4 设函数 如果对于上半平面内任意有向光滑封闭曲线都有 2 x Q x y y 0 y C 0 C P x y dxQ x y dy A 那么函数可取为 P x y A B C D 2 2 x y y 2 2 1x yy 11 xy 1 x y 答案答案 D 详解详解 显然 由积分与路径无关条件知 也就是 其中是 2 1PQ yxy 1 P x yC x y C x 在上处处可导的函数 只有 D 满足 5 设是三阶实对称矩阵 是三阶单位矩阵 若 且 则二次型的规范形AE 2 2AAE 4A T x Ax 是 A B C D 222 123 yyy 222 123 yyy 222 123 yyy 222 123 yyy 答案答案 C 详解 假设是矩阵的特征值 由条件可得 也就是矩阵特征值只可 A 2 2AAE 2 20 A 能是 和 而 所以三个特征值只能是 根据惯性定理 二次型12 123 4A 123 1 2 的规范型为 222 123 yyy 6 如图所示 有三张平面两两相交 交线相互平行 它们的方程 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 123 1 2 3 iiii a xa ya zd i 则 A A A B 2 3r Ar A 2 2r Ar A C D 1 2r Ar A 1 1r Ar A 答案答案 A 详解详解 1 显然三个平面没有共同交点 也就是非齐次方程组无解 从而 r Ar A 2 从图上可看任何两个平面都不平行 所以 2r A 7 设为随机事件 则的充分必要条件是 A B P AP B A B P ABP AP B P ABP A P B 3 C D P ABP BA P ABP AB 答案答案 C 详解详解 选项 A 是互不相容 选项 B 是独立 都不能得到 A B A B P AP B 对于选项 C 显然 由 P ABP AP AB P BAP BP AB P ABP BAP AP ABP BP ABP AP B 8 设随机变量与相互独立 且均服从正态分布 则 XY 2 N 1 P XY A 与无关 而与有关 B 与有关 而与无关 2 2 C 与 都有关 D 与 都无关 2 2 答案答案 A 详解详解 由于随机变量与相互独立 且均服从正态分布 则 从而XY 2 N 2 0 2 XYN 111 1 11 21 2222 XY P XYPXYP 只与有关 2 二 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 9 设函数可导 则 f u sinsin zfyxxy 11 coscos zz xxyy 答案答案 coscos yx xy 解 cos sinsin cos sinsin zz x fyxyy fyxx xy 11 coscoscoscos zzyx xxyyxy 10 微分方程满足条件的特解为 2 220yyy 0 1y y 答案答案 32 x ye 详解详解 把方程变形得 即 2 220yyy 22 20yy 2 2 2 2 22 2 xx d y dxyCeyCe y 4 由初始条件确定 所以 0 1y 3C 32 x ye 11 幂级数在内的和函数 1 1 2 n n n x n 0 S x 看不清楚题目是还是 我以给出解答 1 1 2 n n n x n 0 1 2 n n n x n 1 1 2 n n n x n 答案答案 cos1x 详解详解 注意 从而有 2 0 1 cos 2 n n n xxx n 110 1 1 1 1cos1 0 2 2 2 nnn nnn nnn xxxxx nnn 12 设为曲面的上侧 则 222 44 0 xyzz 22 44dxdyxz 答案答案 32 3 详解详解 显然曲面在平面的投影区域为 xOy 22 4 xy Dx yxy 22 2 222 00 4 32 44dxdydxdydxdy2sin 3 xy xzyydrdr 13 设为三阶矩阵 若线性无关 且 则线性方程组的通 123 A 12 312 2 0Ax 解为 答案答案 其中为任意常数 1 2 1 xk k 详解详解 显然矩阵的秩 从而齐次线性方程组的基础解系中只含有一个解向量 由A 2r A 0Ax 可知也就是为方程组基础解系 通解为 其中 312 2 123 20 1 2 1 x 1 2 1 xk 为任意常数 k 14 设随机变量的概率密度为 为其分布函数 其数学期望 则X 02 2 0 x x f x 他他 F x E X 5 1 P F XE X 答案答案 2 3 详解详解 2 0 0 1 02 4 1 2 x F xP Xxxx x 2 2 0 4 23 x E Xdx 2 3 0 122 1 1 3233 x P F XE XP F XP Xdx 三 解答题 15 本题满分 10 分 设函数是微分方程满足条件的特解 y x 2 2 x yxye 0 0y 1 求 2 求曲线的凸凹区间及拐点 y x yy x 详解详解 1 这是一个一阶线性非齐次微分方程 先求解对应的线性齐次方程的通解 其中为任意常数 0yxy 2 2 x yCe C 再用常数变易法求通解 设为其解 代入方程 得 2 2 x yxye 2 2 x yC x e 22 22 1 xx C x eeC x 也就是通解为 1 1C xdxxC 2 2 1 x yxC e 把初始条件代入 得 从而得到 0 0y 1 0C 2 2 x y xxe 2 2222 23 2222 1 3 3 3 xxxx y xxey xexy xxx ex xxe 令得 0y x 123 3 0 3xxx 当或时 是曲线的凸区间 3x 03x 0y 当或时 是曲线的凹区间 30 x 3x 0y 曲线的拐点有三个 分别为 33 22 3 3 0 0 3 3 ee 16 本题满分 10 分 设为实数 函数在点处的方向导数中 沿方向 a b 22 2zaxby 3 4 的方向导数最大 最大值为 34lij 10 1 求常数之值 2 求曲面的面积 a b 22 2 0 zaxbyz 6 详解详解 1 则 22 2zaxby 2 2 zz axby xy 所以函数在点处的梯度为 3 4 3 4 3 4 6 8 zz gradfab xy 22 3664gradfab 由条件可知梯度与方向相同 且 34lij 22 366410gradfab 也就得到解出或 舍 即 22 68 34 366410 ab ab 1 1 a b 1 1 a b 1 1 a b 2 22 22 222 00 2 13 14414 3 S xy SdSxy dxdydr rdr 17 本题满分 10 分 求曲线与轴之间形成图形的面积 sin 0 x yexx x 详解详解 先求曲线与轴的交点 令得xsin0 x ex 0 1 2 xkk 当时 当时 2 21 kxk sin0 x yex 2 22 kxk sin0 x yex 由不定积分可得 1 sin sincos 2 xx exdxexxC 2 2 2 1 sin 1 2 k xk k exdxee 22 2 2 1 sin 1 2 k xk k exdxee 所求面积为 222 022 00 22 00 222 2 0 sinsinsin 11 1 1 22 11111 1 1 22121 kk xxx kk kk kk kk k k Sexdxexdxexdx eeee e eee ee 18 本题满分 10 分 设 1 2 0 1 0 1 2 n n axx dxn 1 证明 数列单调减少 且 2 求极限 n a 2 1 2 3 2 nn n aan n 1 lim n n n a a 详解详解 1 证明 1 2 0 1 n n axx dx 1 12 1 0 1 0 1 2 n n axx dxn 当时 显然有 所以数列单调减少 0 1 x 1nn xx 1 12 1 0 10 nn nn aaxxx dx n a 先设 22 00 sincos 0 1 2 nn n Ixdxdx n 则当时 2n 122 222 000 2 sinsincos 1 sincos 1 nnn n nn Ixdxxdxnxxdx nII 7 也就是得到 2 2 0 1 1 nn n IIn n 令 则sin 0 2 xt t 1 222 222 2 0000 1 1sincossinsin 2 nnnn nnnn axx dxttdtdttdtIII n 同理 22 1 1 nnnn aIII n 综合上述 可知对任意的正整数 均有 即 n 2 1 2 n n an an 2 1 2 3 2 nn n aan n 2 由 1 的结论数列单调减少 且 n a 2 1 2 3 2 nn n aan n 21 1 111 1 222 n nnn n annn aaa nnan 令 由夹逼准则 可知 n 1 lim1 n n n a a 19 本题满分 10 分 设是由锥面与平面围成的锥体 求 222 2 1 01 xyzz 0z 的形心坐标 详解详解 先计算四个三重积分 222 111 2 000 2 1 1 1 3 z D xyz dvdzdxdydzdxdyzdz 222 111 2 000 2 1 1 12 z D xyz zdvzdzdxdyzdzdxdyzzdz 222 11 00 2 1 0 z D xyz xdvdzxdxdydzxdxdy 222 111 2 000 2 1 2 2 1 3 z D xyz ydvdzydxdydzydxdyzdz 从而设形心坐标为 0 xdv x dv 2 ydv y dv 1 4 zdv z dv 1 0 2 4 x y z 注 其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体 则由体积公式显然 且由对称性 明显1 3 dv 0 x 2y 8 20 本题满分 11 分 设向量组为空间的一组基 在这组基下 123 111 2 3 123 a 3 R 1 1 1 的坐标为 1 b c 1 求之值 a b c 2 证明 也为空间的一组基 并求到的过渡矩阵 23 3 R 23 123 详解详解 1 由可得 解方程组 得 123 bc 11 231 231 bc bca bc 3 2 2 a b c 且当时 即线性无关 确实是空间的一3a 123 111111 23301110 123012 123 3 R 组基 2 显然线性无关 当然也为空间的一组 23 111111 33 100220 23 1011 23 3 R 基 设 则从到的过渡矩阵为 23123 aP 23 123 1 1 23123 111111011111110 33 12330 50 512330 501 23 11231 50 501230 500 P 21 本题满分 11 分 已知矩阵与相似 221 22 002 Ax 210 010 00 B y 1 求之值 2 求可逆矩阵 使得 x yP 1 P APB 详解详解 1 由矩阵相似的必要条件可知 即 解得 AB trAtrB 2 24 2 41 xy xy 3 2 x y 2 解方程组得矩阵的三个特征值 221 232 2 2 1 0 002 EA A 9 123 2 1 2 分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关 0 1 2 3 iE A xi 123 2 1 2 的特征向量为 123 111 2 1 2 004 令 则可逆 且 1123 111 212 004 P 1 P 1 1 2 1 2 P AP 同样的方法 可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为 B 123 2 1 2 123 110 0 3 0 0014 令 则可逆 且 2123 110 030 001 P 2 P 1 2 2 1 2 P BP 由前面 可知令 就满足 11 1122 P APP BP 1 12 111 212 004 PPP 1 P APB 22 本题满分 11 分 设随机变量相互独立 服从参数为 1 的指数分布 的概率分布为 X YXY 令 1 P Yp 1 1P Yp 01 p ZXY 1 求的概率密度 2 为何值时 不相关 3 此时 是否相互独立 Zp X Z X Z 详解详解 1 显然的概率密度函数为 X 0 0 0 x X ex fx x 先求的分布函数 ZXY 1 1 1 1 1 Z XX FzP ZzP XYzP Xz YP Xz Y p P XzpP Xz FzpFz 他他 再求的概率密度 ZXY 0 1 0 0 1 0 z ZZXX z pez fzFzpfzp fzz p ez 10 2 显然 1 1 12E XD XE Yp 由于随