【史上最全】2011中考数学真题解析48-一次函数与反比例函数的综合应用

史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 1 页 2011 全国中考真题解析全国中考真题解析 120 考点汇编考点汇编 一次函数与反比例函数的综合应用一次函数与反比例函数的综合应用 一 选择题一 选择题 1 2011 四川凉山 12 4 分 二次函数的图象如图所示 反比列函数 2 yaxbxc 与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是 a y x ybx 第 12 题 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 考点 二次函数的图象 正比例函数的图象 反比例函数的图象 专题 数形结合 分析 由已知二次函数 y ax2 bx c 的图象开口方向可以知道 a 的取值范围 对称 轴可以确定 b 的取值范围 然后就可以确定反比例函数与正比例函数 y bx x a y 在同一坐标系内的大致图象 解答 解 二次函数 y ax2 bx c 的图象开口方向向下 a 0 对称轴在 y 轴的左边 x 0 b 0 a b 2 反比例函数的图象在第二四象限 x a y 正比例函数 y bx 的图象在第二四象限 故选 B 点评 此题主要考查了从图象上把握有用的条件 准确选择数量关系解得 a 的值 简 单的图象最少能反映出 2 个条件 开口向下 a 0 对称轴的位置即可确定 b 的值 2 2011 青海 一次函数 y 2x 1 和反比例函数 y 的大致图象是 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 2 页 A B C D 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 分析 根据一次函数的性质 判断出直线经过的象限 再根据反比例函数的性质 判断出 反比例函数所在的象限即可 解答 解 根据题意 一次函数 y 2x 1 的图象过一 二 四象限 反比例函数 y 过一 三象限 故选 D 点评 此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象 重点是注意 y k1x b 中 k1 b 及 y 中 k2的取值 3 2011 山东青岛 8 3 分 已知一次函数 y1 kx b 与反比例函数 y2 在同一直角坐标 k x 系中的图象如图所示 则当 y1 y2时 x 的取值范围是 A x 1 或 0 x 3B 1 x 0 或 x 3 C 1 x 0D x 3 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 3 页 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 数形结合 分析 根据图象知 两个函数的图象的交点是 1 3 3 1 由图象可以直接写出当 y1 y2时所对应的 x 的取值范围 解答 解 根据图象知 一次函数 y1 kx b 与反比例函数 y2 的交点是 1 3 k x 3 1 当 y1 y2时 1 x 0 或 x 3 故选 B 点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题 解答此题时 采用了 数形结合 的数学思想 2011 杭州 6 3 分 如图 函数 y1 x 1 和函数 y2 2x 的图象相交于点 M 2 m N 1 n 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A x 1 或 0 x 2 B x 1 或 x 2 C 1 x 0 或 0 x 2 D 1 x 0 或 x 2 考点 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 专题 计算题 分析 分析 根据反比例函数的自变量取值范围 y1与 y2图象的交点横坐标 可确定 y1 y2 时 x 的取值范围 解答 解答 解 函数 y1 x 1 和函数 y2 2x 的图象相交于点 M 2 m N 1 n 当 y1 y2时 1 x 0 或 x 2 故选 D 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 4 页 点评 点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用 关键是根据图象的交点 坐标 两个函数图象的位置确定自变量的取值范围 4 2011 浙江台州 9 4 分 如图 双曲线 y 与直线 y kx b 交于点 M N 并且点 M m x 的坐标为 1 3 点 N 的纵坐标为 1 根据图象信息可得关于 x 的方程 kx b 的解为 m x A 3 1 B 3 3 C 1 1 D 1 3 考点考点 反比例函数与一次函数的交点问题 分析 分析 首先把 M 点代入 y 中 求出反比例函数解析式 再利用反比例函数解析式求出 m x N 点坐标 求关于 x 的方程 kx b 的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就 m x 是 x 的值 解答 解答 解 M 1 3 在反比例函数图象上 m 1 3 3 反比例函数解析式为 y 3 x N 也在反比例函数图象上 点 N 的纵坐标为 1 x 3 N 3 1 关于 x 的方程 kx b 的解为 3 1 故选 A m x 点评 点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题 关键掌握好利用图象求方程的解 时 就是看两函数图象的交点横坐标 5 2011 丹东 6 3 分 反比例函数 y 的图象如图所示 则一次函数 y kx k 的图象 x k 大致是 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 5 页 O y xx y OO y xx y OO y x A B C D 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 专题 数形结合 分析 根据反比例函数 y 的图象所在的象限确定 k 0 然后根据 k 0 确定一次函数 x k y kx k 的图象的单调性及与 y 轴的交点的大体位置 从而确定该一次函数图象所经过的象 限 解答 解 根据图示知 反比例函数 y 的图象位于第一 三象限 x k k 0 一次函数 y kx k 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴 且该一次函数在定义域内是增函 数 一次函数 y kx k 的图象经过第一 二 三象限 故选 D 点评 本题考查了反比例函数 一次函数的图象 反比例函数 y 的图象是双曲线 当 x k k 0 时 它的两个分支分别位于第一 三象限 当 k 0 时 它的两个分支分别位于第二 四象限 6 2011 宜昌 15 3 分 如图 直线 y x 2 与双曲线 y 在第二象限有两个交点 3m x 那么 m 的取值范围在数轴上表示为 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 在数轴上表示不等式的解集 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 6 页 A B C D 分析 因为直线 y x 2 与双曲线 y 在第二象限有两个交点 联立两方程求出 m 的 3m x 取值范围即可 然后在数轴上表示出 m 的取值范围 解答 解 根据题意知 直线 y x 2 与双曲线 y 在第二象限有两个交点 3m x 即 x 2 有两根 3m x 即 x2 2x 3 m 0 有两解 4 4 3 m 0 解得 m 2 双曲线在二 四象限 m 3 0 m 3 m 的取值范围为 2 m 3 故在数轴上表示为 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 7 页 故选 B 点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知 识点 解答本题的关键是联立两方程解得 m 的取值范围 7 2011 贵州毕节 9 3 分 一次函数 0 kkkxy和反比例函数 0 k x k y在 同一直角坐标系中的图象大致是 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 专题 探究型 分析 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可 解答 解 A 由反比例函数的图象在一 三象限可知 k 0 由一次函数的图象过二 四象限可知 k 0 两结论相矛盾 故本选项错误 B 由反比例函数的图象在二 四象限 可知 k 0 由一次函数的图象与 y 轴交点在 y 轴的正半轴可知 k 0 两结论相矛盾 故本 选项错误 C 由反比例函数的图象在二 四象限可知 k 0 由一次函数的图象过二 三 四象限可知 k 0 两结论一致 故本选项正确 D 由反比例函数的图象在一 三象限可 知 k 0 由一次函数的图象与 y 轴交点在 y 轴的负半轴可知 k 0 两结论相矛盾 故本选 项错误 故选 C 点评 本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点 熟知一次函数与反比例函数 的性质是解答此题的关键 8 2011 贵阳 10 分 如图 反比例函数 y1 和正比例函数 y2 k2x 的图象交于 x k1 A 1 3 B 1 3 两点 若 k2x 则 x 的取值范围是 x k1 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 8 页 A 1 x 0B 1 x 1 C x 1 或 0 x 1D 1 x 0 或 x 1 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 数形结合 分析 根据题意知反比例函数和正比例函数相交于 A B 两点 若要 k2x 只须 x k1 y1 y2 在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方 x 的取值范围 解答 解 根据题意知 若 k2x x k1 则只须 y1 y2 又知反比例函数和正比例函数相交于 A B 两点 从图象上可以看出当 x 1 或 0 x 1 时 y1 y2 故选 C 点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数 y 中 k 的几何意义 这里体现了数形结合的思想 做此类题一定要正确理解 k 的几何意 x k 义 9 2011 广东湛江 12 3 分 在同一坐标系中 正比例函数 y x 与反比例函数的图 2 y x 象大致是 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 9 页 A B C D 考点 反比例函数的图象 一次函数的图象 分析 根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可 解答 解 正比例函数 y x 中 k 1 0 此图象过一 三象限 反比例函数中 k 2 0 2 y x 此函数图象在一 三象限 故选 B 点评 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质 要掌握它们的性质 才能灵活解题 10 2011 广西百色 10 4 分 二次函数的图象如图 则反比例函数 y 与一次函数 x a y bx c 的图象在同一坐标系内的图象大致是 A B 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 10 页 C D 考点考点 二次函数的图象 一次函数的图象 反比例函数的图象 分析分析 根据二次函数的图象 推出 a 0 c 0 顶点坐标都为正值 即可推出 b 0 a 0 根据反比例函数和一次函数的图形的性质推出反比例函数在第一 三象限 一次函数经过第一 三 四象限 所以图象大致为 B 项中的图象 解答解答 解 二次函数图象的开口向下 a 0 顶点坐标都为正值 0 a b 2 b 0 a 0 反比例函数在第一 三象限 一次函数经过第一 三 四象限 故选 B 点评点评 本题主要考查反比例函数的图象的性质 二次函数图象的性质 反比例函数图象的 性质 关键在于通过二次函数图象推出 a b 的取值范围 11 2011 恩施州 5 3 分 一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 k1 k2 0 的图象如 x k2 图所示 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A 2 x 0 或 x 1B 2 x 1 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 11 页 C x 2 或 x 1D x 2 或 0 x 1 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 数形结合 分析 根据图象可以知道一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 k1 k2 0 的图象的交 x k2 点的横坐标 若 y1 y2 则根据图象可以确定 x 的取值范围 解答 解 如图 依题意得一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 k1 k2 0 的图象的 x k2 交点的横坐标分别为 x 2 或 x 1 若 y1 y2 则 y1的图象在 y2的上面 x 的取值范围是 2 x 0 或 x 1 故选 A 点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题 解题的关键是利用数形 结合的方法解决问题 12 2011 年山东省东营市 年山东省东营市 10 3 分分 如图 直线 l 和双曲线交于 A B 两 0 k yk x 点 P 是线段 AB 上的点 不与 A B 重合 过点 A B P 分别向 x 轴作垂线 垂足分 别为 C D E 连接 OA OB 0P 设 AOC 的面积为 S1 BOD 的面积为 S2 POE 的面积为 S3 则 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S1 S2 S3 D S1 S2 S3 考点 反比例函数系数 k 的几何意义 反比例函数与一次函数的交点问题 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 12 页 专题 几何图形问题 分析 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段 坐标轴 向坐标轴作垂线所围成的直 角三角形面积 S 的关系即 S k 1 2 解答 解 结合题意可得 AB 都在双曲线 y 上 k x 则有 S1 S2 而 AB 之间 直线在双曲线上方 故 S1 S2 S3 故选 D 点评 本题主要考查了反比例函数 y 中 k 的几何意义 即过双曲线上任意一点引 x 轴 k x y 轴垂线 所得矩形面积为 k 是经常考查的一个知识点 这里体现了数形结合的思想 做此类题一定要正确理解 k 的几何意义 13 2011 陕西 8 3 分 如图 过 y 轴正半轴上的任意一点 P 作 x 轴的平行线 分别 与反比例函数的图象交于点 A 和点 B 若点 C 是 x 轴上任意一点 连接 x y x y 24 和 AC BC 则 ABC 的面积为 A 3 B 4 C 5 D 6 考点 反比例函数综合题 专题 计算题 分析 先设 P 0 b 由直线 APB x 轴 则 A B 两点的纵坐标都为 b 而 A B 分别在 反比例函数的图象上 可得到 A 点坐标为 b B 点坐标为 x y x y 24 和 b 从而求出 AB 的长 然后根据三角形的面积公式计算即可 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 13 页 解答 解 设 P 0 b 直线 APB x 轴 A B 两点的纵坐标都为 b 而点 A 在反比例 函数 y 的图象上 当 y b x 即 A 点坐标为 b 又 点 B 在反比例函数 y 的图象上 当 y b x 即 B 点坐标为 b AB S ABC AB OP b 3 故选 A 点评 本题考查了点在函数图象上 点的横纵坐标满足函数图象的解析式 也考查了与坐 标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式 二 填空题二 填空题 1 2011 江苏南京 15 2 分 设函数 y 与 y x 1 的图象的交点坐标为 a B 则 2 x 的值为 11 ab 1 2 考点考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题专题 计算题 分析 分析 把交点坐标代入 2 个函数后 得到 2 个方程 求得 a B 的解 整理求得 的值即 可 解答 解答 解 函数 y 与 y x 1 的图象的交点坐标为 a B 2 x B B a 1 2 a a 1 2 a a2 a 2 0 a 2 a 1 0 解得 a 2 或 a 1 B 1 或 B 2 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 14 页 则的值为 11 ab 1 2 故答案为 1 2 点评 点评 考查函数的交点问题 得到 2 个方程判断出 a B 的值是解决本题的关键 2 2011 江苏苏州 18 3 分 如图 已知点 A 的坐标为 3 AB 丄 x 轴 垂足 3 为 B 连接 OA 反比例函数 k 0 的图象与线段 OA AB 分别交于点 C D 若 k y x AB 3BD 以点 C 为圆心 CA 的倍的长为半径作圆 则该圆与 x 轴的位置关系是 5 4 填 相离 相切 或 相交 考点 直线与圆的位置关系 反比例函数图象上点的坐标特征 分析 根据 D 点的坐标为 1 得出反比例函数解析式 再根据 A 点坐标得 3 k y x 出 AO 直线解析式 进而得出两图象的交点坐标 进而得出 AC 的长度 再利用直线与圆 的位置关系得出答案 解答 解 已知点 A 的坐标为 3 AB 3BD 3 AB 3 BD 1 D 点的坐标为 1 3 反比例函数解析式为 k y x 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 15 页 y 3 x AO 直线解析式为 y kx 3 k 3 k 3 y x 3 直线 y x 与反比例函数 y 的交点坐标为 3 3 x x 1 C 点的横坐标为 1 纵坐标为 3 CO 2 AC 2 2 3 CA 的 倍 5 4 5 31 2 CE 0 5 31 2 3 35 3 22 该圆与 x 轴的位置关系是相交 故答案为 相交 点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数 交点坐标的求法 综合性较强得出 AC 的长是解决问题的关键 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 16 页 3 2011 湖北荆州 16 3 分 如图 双曲线 y 2x x 0 经过四边形 OABC 的顶点 A C ABC 90 OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角 AB x 轴 将 ABC 沿 AC 翻折后 得 AB C B 点落在 OA 上 则四边形 OABC 的面积是 2 考点 反比例函数综合题 翻折变换 折叠问题 专题 计算题 分析 延长 BC 交 x 轴于点 D 设点 C x y AB a 由角平分线的性质得 CD CB 则 OCD OCB 再由翻折的性质得 BC B C 根据反比例函数的性质 可得 出 S OCD 12xy 则 S OCB 12xy 由 AB x 轴 得点 A x a 2y 由题意得 2y x a 2 从而得出三角形 ABC 的面积等于 12ay 即可得出答案 解答 解 延长 BC 交 x 轴于点 D 设点 C x y AB a OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角 CD CB OCD OCB 再由翻折的性质得 BC B C 双曲线 y 2x x 0 经过四边形 OABC 的顶点 A C S OCD 12xy 1 S OCB 12xy 1 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 17 页 AB x 轴 点 A x a 2y 2y x a 2 ay 1 S ABC 12ay 12 SOABC S OCB S ABC S ABC 1 12 12 2 故答案为 2 点评 本题是一道反比例函数的综合题 考查了翻折的性质 反比例函数的性质以及角平 分线的性质 是中考压轴题 难度偏大 4 2011 广西崇左 8 2 分 若一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点 x y 4 1 m 和 n 2 则这个一次函数的解析式是 考点 考点 待定系数法求一次函数解析式 反比例函数图象上点的坐标特征 分析 分析 一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点 1 m 和 n 2 先 x y 4 代入求出 m n 的值 再用待定系数法可求出函数关系式 解答 解答 解 1 m 和 n 2 在函数图象上 因而满足函数解析式 x y 4 代入就得到 m 4 n 2 因而点的坐标是 1 4 和 2 2 设直线的解析式是 y kx b 根据题意得到 22 4 bk bk 解得 3 14 3 2 b k 因而一次函数的解析式是 3 14 3 2 xy 点评 点评 本题主要考查了函数解析式与图象的关系 函数的图象上的点满足函数解析式 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 18 页 反之 满足解析式的点一定在函数的图象上 5 2011 湖北黄石 15 3 分 若一次函数 y kx 1 的图象与反比例函数的图象没有公 x y 1 共点 则实数 k 的取值范围是 0 4 1 k 考点考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题专题 计算题 数形结合 分析 分析 因为反比例函数的图象在第一 三象限 故一次函数 y kx b 中 k 0 解方 x y 1 程组求出当直线与双曲线只有一个交点时 k 的值 再确定无公共点时 k 的取 x y bkxy 1 值范围 解答 解答 解 由反比例函数的性质可知 的图象在第一 三象限 x y 1 当一次函数 y kx 1 与反比例函数图象无交点时 k 0 解方程组 得 kx2 x 1 0 x y bkxy 1 当两函数图象只有一个交点时 0 即 1 4k 0 解得 4 1 k 两函数图象无公共点时 0 4 1 k 故答案为 0 4 1 k 点评 点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 关键是根据形数结合 判断无交点 时 图象的位置与系数的关系 找出只有一个交点时 k 的值 再确定 k 的取值范围 6 2011 成都 25 4 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知反比例函数 满 x k y 2 0 k 足 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 若该反比例函数的图象与直线都经kxy3 过点 P 且 则实数 7 OP 3 7 k 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 计算题 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 19 页 分析 由反比例函数 y 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 可判断 k 0 设 P x y x k2 则 P 点坐标满足反比例函数与一次函数解析式 即 xy 2k x y k 又3 OP2 x2 y2 将已知条件代入 列方程求解 解答 解 反比例函数 y 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 k 0 x k2 设 P x y 则 xy 2k x y k 3 又 OP2 x2 y2 x2 y2 7 即 x y 2 2xy 7 k 2 4k 7 3 解得 k 或 1 而 k 0 3 7 k 3 7 故答案为 3 7 点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 关键是根据交点坐标满足反比例函 数 一次函数解析式 列方程组求解 7 2011 包头 18 3 分 如图 已知 A 1 m 与 B 2 m 3 是反比例函数 y 3 的图象上的两个点 点 C 是直线 AB 与 x 轴的交点 则点 C 的坐标是 1 0 A B C O x y 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 计算题 分析 根据反比例函数的性质 横纵坐标的乘积为定值 可得出关于 k m 的两个方程 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 20 页 即可得出反比例函数的解析式 从而得出点 C 的坐标 解答 解 A 1 m 与 B 2 m 3 是反比例函数 y 的图象上的两个点 3 解得 k 2 m 2 km km 33 2 33 A 1 2 与 B 2 33 设直线 AB 的解析式为 y ax b 32 32 ba ba 3 3 b a 直线 AB 的解析式为 y x 33 令 y 0 解得 x 1 点 C 的坐标是 1 0 故答案为 1 0 点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题 能够熟练运用待定系数法求得函数 的解析式 求一次函数和 x 轴的交点坐标 8 2011 浙江宁波 18 3 正方形的 A1B1P1P2顶点 P1 P2在反比例函数 y x 0 的图象上 顶点 A1 B1分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 再在其右侧作正方 x 2 形 P2P3A2B2 顶点 P3在反比例函数 y x 0 的图象上 顶点 A2在 x 轴的正半轴上 x 2 则点 P3的坐标为 1 1 33 考点 反比例函数综合题 专题 综合题 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 21 页 分析 作 P1 y 轴于 C P2 x 轴于 D P3 x 轴于 E P3 P2D 于 F 设 P1 a 则 a 2 CP1 a OC 易得 Rt P1B1C Rt B1A1O Rt A1P2D 则 OB1 P1C A1D a 所以 a 2 OA1 B1C P2D a 则 P2的坐标为 a 然后把 P2的坐标代入反比例函数 a 2 a 2 a 2 y 得到 a 的方程 解方程求出 a 得到 P2的坐标 设 P3的坐标为 b 易得 x 2 b 2 Rt P2P3F Rt A2P3E 则 P3E P3F DE 通过 OE OD DE 2 b 这样得到关 b 2 b 2 于 b 的方程 解方程求出 b 得到 P3的坐标 解答 解 作 P1 y 轴于 C P2 x 轴于 D P3 x 轴于 E P3 P2D 于 F 如图 设 P1 a 则 CP1 a OC a 2 a 2 四边形 A1B1P1P2为正方形 Rt P1B1C Rt B1A1O Rt A1P2D OB1 P1C A1D a OA1 B1C P2D a OD a a a 2 a 2 a 2 P2的坐标为 a a 2 a 2 把 P2的坐标代入 y x 0 得到 a 2 解得 a 1 舍 或 a 1 x 2 a 2 a 2 P2 2 1 设 P3的坐标为 b b 2 又 四边形 P2P3A2B2为正方形 Rt P2P3F Rt A2P3E P3E P3F DE OE OD DE 2 b 2 b 2 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 22 页 2 b 解得 b 1 舍 b 1 1 b 2 33 b 2 31 2 3 点 P3的坐标为 1 1 33 故答案为 1 1 33 点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值 也考查了正方 形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法 9 2011 浙江衢州 15 4 分 在直角坐标系中 有如图所示的 Rt ABO AB x 轴于点 B 斜边 AO 10 sin AOB 反比例函数的图象经过 AO 的中点 C 且与 3 5 0 k yk x AB 交于点 D 则点 D 的坐标为 8 3 2 考点 考点 反比例函数综合题 专题 专题 综合题 分析 分析 由斜边 AO 10 sin AOB 根据三角函数的定义可得到 AB 6 再由勾股定理得 3 5 到 OB 8 即得到 A 点坐标为 8 6 从而得到 AO 的中点 C 的坐标 代入反比例函数解 析式确定 k 然后令 x 8 即可得到 D 点的纵坐标 解答 解答 解 斜边 AO 10 sin AOB 3 5 sin AOB 3 105 ABAB OA AB 6 OB 8 22 106 A 点坐标为 8 6 而 C 点为 OA 的中点 C 点坐标为 4 3 又 反比例函数的图象经过点 C 0 k yk x 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 23 页 k 4 3 12 即反比例函数的解析式为 y 12 x D 点在反比例函数的图象上 且它的横坐标为 8 当 x 8 y 12 8 3 2 所以 D 点坐标为 8 3 2 故答案为 8 3 2 点评 点评 本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式 也考查了正弦的定义和勾股定理以 及求线段中点坐标 10 2011 浙江丽水 16 4 分 如图 将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中 B 2 0 AOB 60 点 A 在第一象限 过点 A 的双曲线为 在 x 轴上取一点 k y x P 过点 P 作直线 OA 的垂线 l 以直线 l 为对称轴 线段 OB 经轴对称变换后的像是 O B 1 当点 O 与点 A 重合时 点 P 的坐标是 4 0 2 设 P t 0 当 O B 与双曲线有交点时 t 的取值范围是 4 t 或 t 4 2 52 5 考点 考点 反比例函数综合题 解二元一次方程组 根的判别式 解一元一次不等式 待定系 数法求一次函数解析式 待定系数法求反比例函数解析式 三角形内角和定理 含 30 度角 的直角三角形 勾股定理 专题 专题 计算题 分析 分析 1 当点 O 与点 A 重合时 即点 O 与点 A 重合 进一步解直角三角形 AOB 利用 轴对称的现在解答即可 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 24 页 2 求出 MP O 30 得到 OM t OO t 过 O 作 O N X 轴于 N OO N 30 求出 1 2 O 的坐标 同法可求 B 的坐标 设直线 O B 的解析式是 y kx b 代入得得到方程组 求出方程组的解即可得到解析式 y x t2 31 22 2 32 3 2 ttkb t tkb 3 2 3 2 t 3 4 t 求出反比例函数的解析式 y 代入上式整理得出方程 2t 8 x2 3 3 2 4 3 x 33 t2 6t x 4 0 求出方程的判别式 b2 4ac 0 求出不等式的解集即可 333 解答 解答 解 1 当点 O 与点 A 重合时 AOB 60 过点 P 作直线 OA 的垂线 l 以直线 l 为对称轴 线段 OB 经轴对称变换后的 像是 O B AP OP AOP 是等边三角形 B 2 0 BO BP 2 点 P 的坐标是 4 0 故答案为 4 0 2 解 AOB 60 P MO 90 MP O 30 OM t OO t 1 2 过 O 作 O N X 轴于 N 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 25 页 OO N 30 ON t NO t 1 2 3 2 O t t 1 2 3 2 同法可求 B 的坐标是 t 2 33 设直线 O B 的解析式是 y kx b 代入得 31 22 2 32 3 2 ttkb t tkb 解得 2 3 2 3 2 33 3 42 kt btt y x t2 t ABO 90 AOB 60 OB 2 OA 4 AB 2 3 A 2 2 代入反比例函数的解析式得 k 4 33 y 代入上式整理得 2t 8 x2 t2 6t x 4 0 4 3 x 33333 b2 4ac 4 2t 8 4 0 22 36 3 t 333 解得 t 2t 2 55 当点 O 与点 A 重合时 点 P 的坐标是 4 0 4 t 2或 2 t 4 55 故答案为 4 t 2或 2 t 4 55 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 26 页 点评 点评 本题主要考查对用待定系数法求一次函数 反比例函数的解析式 勾股定理 解二 元一次方程组 解不等式 含 30 度角的直角三角形的性质 三角形的内角和定理 根的判 别式等知识点的理解和掌握 能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键 此题是一个 拔高的题目 有一定的难度 三 解答题三 解答题 1 2011 内蒙古呼和浩特 21 8 在同一直角坐标系中反比例函数的图象与一次 m y x 函数 y kx b 的图象相交 且其中一个交点 A 的坐标为 2 3 若一次函数的图象又与 x 轴相交于点 B 且 AOB 的面积为 6 点 O 为坐标原点 求一次函数与反比例函数的解 析式 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 综合题 分析 将点 A 2 3 代入中得 得到 m 2 3 6 即得到反比例函数的解析式 m y x 由 AOB 的面积为 6 求出 OB 得到 B 点坐标为 4 0 或 4 0 然后分类讨论 一次函数 y kx b 过 2 3 和 4 0 或一次函数 y kx b 过 2 3 和 4 0 利 用待定系数法求出一次函数的解析式 解答 解 将点 A 2 3 代入中得 m 2 3 6 m 6 y m y x 6 x 又 AOB 的面积为 6 OB 3 6 OB 4 B 点坐标为 4 0 或 4 0 1 2 当 B 4 0 时 点 A 2 3 是两函数的交点 40 23 kb kb 解得 k b 2 y x 2 1 2 1 2 当 B 4 0 时 点 A 2 3 是两函数的交点 解得 k b 6 y x 6 40 23 kb kb 3 2 3 2 所以一次函数的解析式为 y x 2 或 y x 6 反比例函数的解析式为 y 1 2 3 2 6 x 点评 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式 也考查了分类讨论思想的运用以 及三角形的面积公式 2 2011 四川广安 24 8 分 如图 6 所示 直线 l1的方程为 y x l 直线 l2的方程 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 27 页 为 y x 5 且两直线相交于点 P 过点 P 的双曲线 k y x 与直线 l1的另一交点为 Q 3 M 1 求双曲线的解析式 2 根据图象直接写出不等式 k x x l 的解集 考点 反比例函数的解析式 函数图象的交点 一次函数与反比例函数的综合 利用 图象解不等式 专题 一次函数与反比例函数的综合 分析 1 要确定双曲线 k y x 的解析式 关键是确定图象上点 P 的坐标 而点 P 是直线1yx 与5yx 的交点 建立方程组即可求得交点坐标 2 要求不等式 k x x l 的解集 表现在图象上就是确定当x在何范围内取值时 双曲线 k y x 的图象在直线1yx 的上方 解答 1 依题意 1 5 yx yx 解得 2 3 x y P 2 3 把 P 2 3 代入 k y x 得3 6 2 k k 双曲线的解析式为 y 6 x 2 2 x 0 或 x 3 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 28 页 点评 1 确定反比例函数 k y x 的解析式 只需确定其图象上一点 00 xy 则 00 kx y 2 利用图象比较反比例函数的值与一次函数的值的大小时 要充分利用数形结合思想 进行分析判断 要注意把反比例函数图象与一次函数图象的交点作为界点进行分析 还应 注意反比例函数中自变量0 x 的性质 3 2011 南通 如图 直线 l 经过点 A 1 0 且与双曲线 y m x x 0 交于点 B 2 1 过点 P p p 1 p 1 作 x 轴的平行线分别交曲线 y m x x 0 和 y m x x 0 于 M N 两点 1 求 m 的值及直线 l 的解析式 2 若点 P 在直线 y 2 上 求证 PMB PNA 3 是否存在实数 p 使得 S AMN 4S APM 若存在 请求出所有满足条件的 p 的值 若不存在 请说明理由 考点 反比例函数综合题 待定系数法求一次函数解析式 相似三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 1 将点 B 的坐标代入即可得出 m 的值 设直线 l 的解析式为 y kx b 再把 点 A B 的坐标代入 解方程组求得 k 和 b 即可得出直线 l 的解析式 2 根据点 P 在直线 y 2 上 求出点 P 的坐标 再证明 PMB PNA 即可 3 先假设存在 利用 S AMN 4S AMP 求得 p 的值 看是否符合要求 解 1 点 B 2 1 在双曲线 y m x 上 1 2 m 得 m 2 设直线 l 的解析式为 y kx b 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 29 页 直线 l 过 A 1 0 和 B 2 1 0 21 kb kb 解得 1 1 k b 直线 l 的解析式为 y x 1 2 证明 当 x p 时 y p 1 点 P p p 1 p 1 在直线 l 上 如右图 P p p 1 p 1 在直线 y 2 上 p 1 2 解得 p 3 P 3 2 PN x 轴 P M N 的纵坐标都等于 2 把 y 2 分别代入双曲线 y 2 x 和 y 2 x 解答 得 M 1 2 N 1 2 3 1 1 1 1 PM MN 即 M 是 PN 的中点 同理 B 是 PA 的中点 BM AN PMB PNA 3 由于 PN x 轴 P p p 1 p 1 M N P 的纵坐标都是 p 1 p 1 把 y p 1 分别代入双曲线 y 2 x x 0 和 y 2 x x 0 得 M 的横坐标 x 2 1p 和 N 的横坐标 x 2 1p 其中 p 1 S AMN 4S APM且 P M N 在同一直线上 4 AMN APM SMN SPM 得 MN 4PM 即 4 1p 4 2 1 p p 见 3 两幅图 整理得 p2 p 3 0 或 p2 p 1 0 解得 p 113 2 或 p 15 2 由于 p 1 负值舍去 p 113 2 或 15 2 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 30 页 经检验 p 113 2 和 15 2 是原题的解 存在实数 p 使得 S AMN 4S APM p 的值为 113 2 或 15 2 点评 本题考查的知识点是反比例函数的综合题 以及用待定系数法求反比例函数和一次 函数的解析式 相似三角形的判定和性质 4 2011 宁夏 24 8 分 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 BC 2 若将此直角三角 形的一条直角边 BC 或 AC 与 x 轴重合 使点 A 或点 B 刚好在反比例函数 x 0 x y 6 的图象上时 设 ABC 在第一象限部分的面积分别记做 S1 S2 如图 1 图 2 所示 D 是 斜边与 y 轴的交点 通过计算比较 S1 S2的大小 考点 反比例函数综合题 专题 计算题 分析 根据反比例函数的性质 可以得到点 A 和点 B 的坐标 分别计算出 S1 S2的值 然后比较它们的大小 解答 解 如图 1 C 90 A 30 BC 2 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 31 页 AC 2 3 点 A 在上 x y 6 A 2 33 即 OC 3 OB 2 3 OD 2 3 3 S1 OD AC OC 2 1 2 3 2 2 1 333 6 2 33 如图 2 BC 2 AC 2 3 B 3 2 AO 2 3 3 OD 2 3 S2 OD BC OC 2 1 2 2 3 2 1 3 6 2 33 所以 S1 S2 点评 本题考查的是反比例函数的综合题 根据反比例函数的性质 结合图形计算面积 5 2011 山西 20 7 分 如图 在平面直角坐标系中 一次函数 y k x b 的图象分别 交 x 轴 y 轴于 A B 两点 与反比例函数 x m y 的图象交于 C D 两点 DE x 轴于 点 E 已知 C 点的坐标是 6 1 DE 3 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 32 页 1 求反比例函数与一次函数的解析式 2 根据图象直接回答 当 x 为何值时 一次函数的值大于反比例函数的值 考点 一次函数 反比例函数 专题 一次函数 反比例函数 分析 1 点 C 6 1 在反比例函数 m y x 的图象上 代入 计算得 m 6 反比例函数的解析式为 6 y x 点 D 也在反比例函数 x y 6 的图象上 且 DE 3 代入得 x 6 3 计算得 x 2 点 D 的坐标为 2 3 然后用待定系 数法可得一次函数的解析式为 1 2 2 yx 用图像法得 当 x 2 或 0 x 6 时 一次函数的值大于反比例函数的值 解答 1 点 C 6 1 在反比例函数 x m y 的图象上 所以1 6 m m 6 反比例函数的解析式为 x y 6 点 D 在反比例函数 x y 6 的图象上 且 DE 3 x 6 3 x 2 点 D 的坐标为 2 3 C D 两点在直线 y k x b 上 所以 32 16 bk bk 解得 2 2 1 b k 所以一次函数的解析式为2 2 1 xy 2 当 x 2 或 0 x 6 时 一次函数的值大于反比例函数的值 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 33 页 点评 用待定系数法求反比例函数的解析式的条件是有一个已知点在此函数图像上 用待 定系数法求一次函数的解析式的条件中有两个已知点在此函数图像上 用数形结合思想 直接观察图象 就可以得到一次函数的值大于反比例函数的值的自变量 x 的取值范围 这 是用图像法解决问题的常规考题之一 6 2011 天津 20 分 已知一次函数 y1 x b b 为常数 的图象与反比例函数 k 为常数 且 k 0 的图象相交于点 P 3 1 2 k y x I 求这两个函数的解析式 II 当 x 3 时 试判断 y1与 y2的大小 并说明理由 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 代数综合题 待定系数法 分析 I 利用待定系数法 将 P 3 1 代入一次函数解析式与反比例函数解析式 即 可得到答案 II 当 x 3 时 y1 y2 1 再利用函数的性质一次函数 y1随 x 的增大而增大 反比例函数 y2随 x 的增大而减小 可以判断出大小关系 解答 解 1 点 P 3 1 在一次函数 y1 x b b 为常数 的图象上 1 3 b 解得 b 2 一次函数解析式为 y1 x 2 点 P 3 1 在反比例函数 k 为常数 且 k 0 的图象上 2 k y x k 3 1 3 反比例函数解析式为 2 3 y x II y1 y2 理由如下 当 x 3 时 y1 y2 1 又当 x 3 时 y1随 x 的增大而增大 反比例函数 y2随 x 的增大而减小 当 x 3 时 y1 y2 点评 此题主要考查了待定系数法求函数解析式和函数的性质 凡是图象上的点 都能使 史上最全 2011 中考数学真题解析 48 一次函数与反比例函数的综合应用 含答案 第 34 页 函数解析式左右相等 7 2011 重庆綦江 23 10 分 如图 已知 A 4 a B 2 4 是一次函数 y kx b 的图象和反比例函数 y 的图象的交点 x m 1 求反比例函数和一次函数的解祈式 2 求 A0B 的面积 考点 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 几何图形问题 数形结合 分析 1 A 4 a B 2 4 两点在反比例函数 y 的图象上 则由 x m m xy 得 4a 2 4 m 可求 a m 的值 再将 A B 两点坐标代入 y kx b 中求 k b 的值即可 2 设直线 AB 交 y 轴于 C 点 由直线 AB 的解析式求 C 点坐标 根据 S AOB S AOC S BOC求面积 解答 解 1 将 A 4 a B 2 4 两点坐标代入 y 中 x m 得 4a 2 4 m 解得 a 2 m 8 将 A 4 a B 2 4 代入 y kx b 中 得 解得 42 24 bk bk 2 1 b k 反比例函数解析式为 y 一次