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2020 4 1 近世代数 第三章环与域 3循环环 剩余类环 2020 4 1 一 循环环 定义1若环 关于加法是循环群 称 为循环环 则 时 2 当 时 例1整数环是循环环 定理1若 1 当 2020 4 1 定理2 1 循环环是交换环 2 循环环的子环是循环环 3 无限阶循环环的特征是无限 n阶循环环的特征是n 2020 4 1 二 模m的剩余类环 1 剩余类环的构造 规定 则 关于剩余类的加法与乘法构成 为大于1的正整数 则有 设 一个有单位元的交换环 2020 4 1 2 剩余类环的性质 定理1设 则 为 的零因子 1 2 为 的可逆元 证 1 若 为 的零因子 则存在 使得 故 若 则 所以 矛盾 于是 反之 如果 设 则 所以 但 于是 是零因子 2020 4 1 2 若 为 的可逆元 则 即 于是 使得 也就是 所以 反之 如果 则 因此 故 可逆 剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子 2020 4 1 例2 解 1 2 直接计算可知 相应的逆元为 全部零因子 全部可逆元 3 全部子环 4 各子环特征 2020 4 1 定理2 为无零因子环 为素数 为素数 若 则 或者 即 若 不是素数 则 证 设 为无零因子环 为有零因子环 2020 4 1 定理3 为域 为素数 有限无零因子环是除环 2020 4 1 练习
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