《多元积分摘要》PPT课件.ppt

多元函数积分学 考研辅导 多元函数积分可看作定积分推广为多元函数在不同几何形体上的积分 定积分 一元函数在区间上的积分 可推广为 曲线积分 多元函数在曲线上的积分 曲面积分 多元函数在曲面上的积分 n重积分 n元函数在n维空间中的区域上的积分 几种几何形体上的积分 如果存在 则称这个极限为函数在几何形体G上的积分 记为即 为了便于今后讨论 当G为不同的几何形体时 对应的积分都给出了固定的名称和符号当G为平面有界闭区域 常记为D 时 称为二重积分 记为当G为空间有界闭区域 常记为 时 称为三重积分 记为 当G为平面有限曲线段 常记为L 或空间有限曲线段 常记为 时 称为第一型曲线积分 也称为对弧长的曲线积分 记为当G为空间有限曲面片 常记为 时 称为第一型曲面积分 也称为对面积的曲面积分 记为 与定积分类似 当在G上连续时 积分必定存在 具有与定积分类似的性质 以二重积分为例 线性性 可加性 比较性 估值性 积分中值定理 几何形体上积分的物理意义若一个非均匀物体 其形状如上述几何形体G 其密度为G上的函数 则在G的元素dg上 其质量应是dg 于是该物体的总质量为例如平面上非均匀薄片的质量为 二重积分一 几何意义 以曲面为曲顶的曲顶柱体的体积 二 计算 求体积 化为累次积分 一 直角坐标系下的计算 设D X型 则 设D Y型 则 若D不是X型 或Y型 则将D分为几个区域 使它们为X型 或Y型 几个区域上的积分之和就是所给二重积分的值 问题 选择积分次序交换积分次序 例1求解X型若Y型则积分较繁 例2所围成 分析若先后积分 无法积分 解先后积分 Y型 例3交换二次积分的顺序分析要将按X型域确定积分限改为按Y型域确定积分限 为此 应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D 然后再按Y型域重新确立积分限 得到二次积分 解将所给积分限还原成D的图形 由其中知D是由y x y 2 x y 0三条直线所围成 于是按y型域定限得 例4设在上连续 证明证由等式左边 得改变积分顺序 得所以 左边右边 二 极坐标计算二重积分极坐标是由极点和极轴组成 坐标 其中r为点p到极点o的距离 为or到op的夹角 r 常数 从o出发的同心圆 常数 射线 直角坐标与极坐标的关系为 在极坐标下 面积元素为由直角坐标和极坐标的对应关系 于是得到二重积分在极坐标下的形式其中 注 记住一些常见曲线的极坐标表示 例如 圆 椭圆 射线等 若积分区域D 于是得到极坐标下二重积分化为二次积分的公式 或写作 例5将化为极坐标下的二次积分 解利用把积分区域的边界曲线化为极坐标形式 例6计算 其中D是以原点为圆心 半径为的圆域 解D可以表示成 问题本题为何不用直角坐标计算 如何计算广义积分简单无穷限的二重积分怎样计算 三 关于多元积分的对称性 二重积分为例 设在上连续 存在 1 如果关于轴对称 而关于变量是奇 偶 函数 则其中 2 如果关于轴对称 而关于变量是奇 偶 函数 则其中 3 如果关于原点对称 而关于是奇 偶 函数 则 4 若关于对称 则 轮换对称性 以上前三种情况类似于奇偶函数在对称区间上的定积分性质 第 4 种情况则是多元积分的特殊性质 2 利用对称性简化计算十分有效 但对称性在使用时 必须要兼顾被积函数和积分区域两个方面 即对称性要相匹配才能利用 3 三重积分 曲线积分 曲面积分同样可以利用与二重积分类似的对称性简化计算 例7计算 为由双纽线所围成 解 区域对称于原点 而被积函数故由对称性的第 3 种情况 积分值为在第一象限部分域上积分值的二倍 化为极坐标系下的二次积分来计算 故 例8证明不等式其中 证 积分区域关于直线对称 由轮换对称性 有从而 有即利用对称性 将被积函数由原来非同角三角函数之和化为同角三角函数之和 由于而 故 从而但是单位正方形 面积为1 所以 1 曲面的面积若曲面 则 的面积 其中 为 在 面上的投影区域 若 或 则类似的有或 四 多元积分的应用 2 重心 以平面薄片为例 设有一平面薄片 占有面上的闭区域 连续函数为处的面密度 则重心坐标为平面图形的形心坐标为 3 转动惯量 以平面薄片为例 对于轴 对于轴 对于原点 4 对质点的引力 以平面薄片为例 平面薄片 占区域 对位于轴上点处的单位质量的质点的引力为其中 注 其它几何形体 空间立体 曲线段和曲面等 的重心 转动惯量和引力的求法与平面薄片的类似 公式中的二重积分换成相应的三重积分 曲线积分和曲面积分 三重积分的计算法 三重积分可以用直角坐标 柱面坐标和球面坐标来计算 其方法都是将三重积分化为三次积分 设则 先一后二 再根据D是X型域或Y型域对二重积分的区域D确定积分限 就得到三次积分 例如D为X型域 则有这是先对z 次对y 最后对x的三次积分 计算三次积分可以先算定积分再算二重积分 先一后二法 也可以先算一个二重积分 再算一个定积分即先二后一法 设区域的z值的最大值和最小值为和 过内任一点z 作水平平面与交出截面 就是二重积分的区域 先在D上对x y积分然后在上对z积分 这样得到再把上的二重积分化为二次积分即可 二 用柱面坐标计算三重积分设为空间一点 如果将改用另外三个数来表示 则称为点M的柱面坐标 它与直角坐标的关系是 体积元素为三重积分在柱面坐标系下的形式 三用球面坐标计算三重积分 设为空间一点 如果将改用另外三个数来表示 则称为点M的球面坐标 球面坐标与直角坐标的关系是 第一型曲线积分的计算法第一型曲线积分或也称为对弧长的曲线积分 它可以化为定积分来计算 因为中的点 x y 在L上的变化 因此可将L及的表达式代入 这里积分变量是t 变化区间是 因此化为一个定积分 即 如果L由给出 则可将y看作参数 同理可得 对于空间的第一型曲线积分 情况类似 设空间有限光滑曲线段的参数式为 第二型曲线积分的计算法设 其中为有向曲线弧 也称为对坐标的曲线积分 它可以化为定积分来计算 有性质 若由参数方程表示 且的起点对应 而的终点对应参数 则设的起点和终点分别对应和 则 第一型曲面积分的计算法 第一型曲面积分也称为对面积的曲面积分 它可以化为二重积分来计算 若曲面面积元素则其中为在面上的投影区域 如果曲面的方程由x x y z 或y y x z 给出 也可类似地把第一型曲面积分化为yoz面或xoz面上的二重积分 若为封闭曲面 则要分块 利用可加性计算 第二型曲面积分计算 为有向曲面 的物理意义是指在单位时间内流体流过速度场中一片有向曲面指定侧的流量 也称为对坐标的曲面积分 它可以化为二重积分来计算 有性质 当积分曲面改变为相反侧时 对坐标的曲面积分要改变符号 如果 则其中为在面上的投影区域 若的指定侧为上侧 则取 号 若的指定侧为下侧 则取 号 由所给曲面方程的不同形式 决定向不同的坐标面上投影 若 则其中为在面上的投影区域 若的指定侧为前侧 则取 号 若的指定侧为后侧 则取 号 若 则其中为在面上的投影区域 若的指定侧为右侧 则取 号 若的指定侧为左侧 则取 号 各类积分之间的关系一 对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分的关系其中是有向曲线弧上点处与方向一致的切线向量的方向余弦 类似地 其中为上点处的切线向量的方向角 二 对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分的关系其中为上点处的法线向量的方向余弦 由于 有下列转换公式 若 则此时 计算第二型曲面积分也可以将三个积分合起来只投影到一个坐标面 计算一个二重积分 三 平面上对坐标的曲线积分与二重积分的关系 格林公式设闭区域由分段光滑的曲线围成 函数在上有一阶连续偏导数 则取正向 四 曲面积分与三重积分的关系 高斯公式设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数在上有一阶连续偏导数 则 五 空间第一型曲线积分与第二型的曲面积分的关系 斯托克斯公式设为分段光滑的空间有向闭曲线 为以为边界的分片光滑的有向曲面 的正向与的侧符合右 手系 函数在包含曲面在内的一个空间区域内有一阶连续偏导 则当时 得出格林公式 曲线积分与路径无关的条件1 平面单连域内四个等价命题 设在单连域上有一阶连续偏导数 则下列四个命题是等价的 1 2 3 与路径无关 只与的起点和终点有关 4 在内存在 使得 是全微分的原函数 2 原函数的求法 二种方法 1 选择平行于坐标轴的折线作曲线积分 或 2 不定积分法 因故由有 其中为