人教版九年级锐角三角函数全章教案

1 第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数 2828 1 1 锐角三角函数 锐角三角函数 1 1 教学目标 教学目标 1 知识与技能 通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时 它的对 边与斜边的比值都固定 即正弦值不变 这一事实 能根据正弦概念正确进行 计算 2 过程与方法 通过锐角三角函数的学习 进一步认识函数 体会函数的 变化与对应的思想 逐步培养学生会观察 比较 分析 概括等逻辑思维能力 3 情感态度与价值观 引导学生探索 发现 以培养学生独立思考 勇于 创新的精神和良好的学习习惯 教学重点教学重点 理解认识正弦 sinA 概念 通过探究使学生知道当锐角固定时 它的对边 与斜边的比值是固定值这一事实 教学难点 教学难点 引导学生比较 分析并得出 对任意锐角 它的对边与斜边的比值是固定值 的事实 教学过程 教学过程 一 复习旧知 引入新课一 复习旧知 引入新课 引入引入 操场里有一个旗杆 老师让小明去测 量旗杆高度 小明站在离旗杆底部 10 米远处 目 测旗杆的顶部 视线与水平线的夹角为 34 度 并 已知目高为 1 米 然后他很快就算出旗杆的高度了 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种 锐角的正弦 34 1米 10 米 2 二 探索新知二 探索新知 活动一活动一 问题的引入问题的引入 问题一问题一 为了绿化荒山 某地打算从位于 山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上 修建一座扬水站 对坡面的绿地进行灌溉 现 测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 为使出 水口的高度为 35m 那么需要准备多长的水管 分析 问题转化为 在 Rt ABC 中 C 90o A 30o BC 35m 求 AB 根据 在直角三角形中 30o角所对的边等于斜边的一半 即 可得 AB 2BC 70m 即需要准备 70m 长的水管 结论 结论 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 30o 那么不管三角形的大 小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于 2 1 问题二问题二 如图 任意画一个 Rt ABC 使 C 90o A 45o 计算 A 的对 边与斜边的比 能得到什么结论 学生思考 AB BC 结论 结论 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 45o 那么 不管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于 2 2 问题三问题三 一般地 当 A 取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比 是否也是一个固定值 如图 如图 Rt ABC 与与 Rt A1B1C1中 中 C C1 90o A A1 那么 那么 与有什么关与有什么关 系系 3 分析 由于 C C1 90o A A1 所以 Rt ABC Rt A1B1C1 即 结论结论 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对边与斜边的比也是一个固定值 活动二活动二 认识正弦认识正弦 如图 在 Rt ABC 中 A B C 所对的边 分别记为 a b c 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对 边与斜边的比叫做 A 的正弦正弦 记作 sinA 板书 sinA 举例说明 若 a 1 c 3 则 sinA Aa Ac 的对边 的斜边3 1 注意注意 1 sinA 不是 sin 与 A 的乘积 而是一个整体 2 正弦的三种表示方式 sinA sin56 sin DEF 3 sinA 是线段之间的一个比值 sinA 没有单位 提问 提问 B 的正弦怎么表示 要求一个锐角的正弦值 我们需要知道直角三 角形中的哪些边 三 例题讲解三 例题讲解 例例 教材 P63 例 1 如课本图 28 1 5 在 Rt ABC 中 C 90 求 sinA 和 sinB 的值 教师对题目进行分析 求 sinA 就是要确定 A 的对边与斜边的比 求 sinB 就是要确定 B 的对边与斜边的比 我们已经知道了 A 对边的值 所以解题时 应先求斜边的高 如图 如图 2 2 在 在 Rt Rt ABCABC中 中 1 3 4C B A 5 4 sin 5 3 sin 5 34BCACAB ABCR1 2222 AB AC B AB BC A t 因此 中 在解 如图 13 5 sin AB BC A 4 四 课堂练习四 课堂练习 教材 P64 练习第 1 2 题 五 课时小结五 课时小结 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的 对边与斜边的比都是一个固定值 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 六 布置作业六 布置作业 教材 P68 习题 28 1 第 1 题 12513 2222 BCABAC 13 12 sin AB AC B因此 5 A B C D 2828 1 1 锐角三角函数 锐角三角函数 2 2 教学目标 教学目标 1 知识与技能 知识与技能 了解锐角三角函数的概念 能够正确应用 sinA cosA tanA 表示直角三角形中两边的比 逐步培养学生观察 比较 分析 概括的思维能力 2 过程与方法 过程与方法 通过锐角三角函数的学习 进一步认识函数 体会函数的 变化与对应的思想 逐步培养学生会观察 比较 分析 概括等逻辑思维能力 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 引导学生探索 发现 以培养学生独立思考 勇于 创新的精神和良好的学习习惯 教学重点 教学重点 理解余弦 正切的概念 教学难点 教学难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 教学过程 教学过程 一 复习旧知 引入新课一 复习旧知 引入新课 复习复习 1 口述正弦的定义 2 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D 已知 AC BC 2 那么 sin ACD 5 A B C D 5 3 2 3 2 5 5 5 2 二 探索新知二 探索新知 余弦 正切的定义余弦 正切的定义 6 一般地 当 A 取其他一定度数的锐角时 它的邻边与斜边的比是否也是一 个固定值 如图 Rt ABC 与 Rt A1B1C1 C C1 90o B B1 那么与有什么关系 那么与有什么关系 分析 由于 C C1 90o B B1 所以 Rt ABC Rt A1B1C1 即 结论 结论 在直角三角形中 当锐角 B 的度数一定时 不管三角形的大小如何 B 的邻边与斜边的比也是 一个固定值 如图 在 Rt ABC 中 C 90o 把锐角B 的邻边与 斜边的比叫做 B 的余弦 记作cosB 即 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切 记作 tanA 即 锐角 A 的正弦 余弦 正切都叫做 A 的锐角三角函数 三 三 例题讲解例题讲解 例 教材 P65 例 2 如课本图 28 1 7 在 Rt ABC 中 C 90 AB 10 BC 6 sinA 求 sinA cosA tanA 的值 3 5 教师对解题方法进行分析 我们已经知道了直角三角形中一 条边的值 要求余弦 正切值 就要求斜边与另一个直角边的 值 我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求 教师分析完后要求学生自己解题 学生解后教师总结并板书 解 略解 略 四 课堂练习四 课堂练习 教材 P64 练习第 1 2 题 五 课时小结五 课时小结 在直角三角形中 当锐角 A 的大小确定时 A 的邻边与斜边的比叫做 A 6 C B A 7 的余弦 记作 cosA 把 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正切 记作 tanA 六 布置作业六 布置作业 教材 P68 习题 28 1 第 1 题 2828 1 1 锐角三角函数 锐角三角函数 3 3 教学目标 教学目标 1 知识与技能 知识与技能 能推导并熟记 30 45 60 角的三角函数值 并能根 据这些值说出对应的锐角度数 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数 的运算式 2 过程与方法 过程与方法 让学生经历观察 操作等过程 知道 30 45 60 角 的三角函数值 并且进行运算 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过锐角三角函数基本性质的探索活动 进一步发 展空间观察 增强审美意识 教学重点 教学重点 熟记 30 45 60 角的三角函数值 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算式 教学难点 教学难点 30 45 60 角的三角函数值的推导过程 教学过程 教学过程 一 复习旧知 引入新课一 复习旧知 引入新课 引入引入 还记得我们推导正弦关系的时候所得结论吗 即 0 1 sin30 2 0 2 sin45 2 你还能推导出的值及 30 30 45 45 60 60 角的角的其它三角函数值吗 0 sin60 8 二 探索新知二 探索新知 活动活动 30 30 45 45 60 60 角的三角函数值的推导角的三角函数值的推导 探索探索 1 让学生画 30 45 60 的直角三角形 分别求出它们的三角 函数值 归纳结果 30 45 60 siaA cosA tanA 三 例题讲解三 例题讲解 例例 1 教材 P66 例 3 求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 tan45 cos45 sin45 教师以提问方式一步一步解上面两题 学生回答 教师板书 例例 2 教材 P66 例 2 1 如图 28 1 9 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB BC 63 求 A 的度数 2 如图 28 1 9 2 已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 倍 求 a 3 图 28 1 9 1 图 28 1 9 2 教师分析解题方法 要求一个直角三角形中一个锐角的度数 可以先求它的 某一个三角函数的值 如果这个值是一个特殊解 那么我们就可以求出这个角的 9 度数 四 课堂练习四 课堂练习 教材 P67 练习第 1 2 题 五 课时小结五 课时小结 本节课应掌握 30 45 60 角的三角函数值 并且进行计算 六 布置作业六 布置作业 教材 P68 习题 28 1 第 3 题 10 2828 1 1 锐角三角函数 锐角三角函数 4 4 教学目标 教学目标 1 知识与技能 知识与技能 让学生熟识计算器一些功能键的使用 会熟练运用计算器 求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角 2 过程与方法 过程与方法 自己熟悉计算器 在老师的知道下求一般锐角三角函数 值 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 让学生通过独立思考 自主探究和合作交流进一步 体会函数的数学内涵 获得知识 体验成功 享受学习乐趣 教学重点 教学重点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 教学难点 教学难点 正 余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想 又用含几个字母 的符号组来表示 在教学中应作为难点处理 教学过程 教学过程 一 复习旧知 引入新课一 复习旧知 引入新课 引入引入 通过上节课的学习我们知道 当锐角 A 是特殊角时 可以求得这些角的正弦 余弦 正切值 如果锐角 A 不是这些特殊角 怎样得到它的三角函数值呢 我们可以用计算器来求锐角的三角函数值 二 探索新知二 探索新知 11 活动一活动一 用计算器求锐角的正弦 余弦 正切值用计算器求锐角的正弦 余弦 正切值 利用计算器求下列三角函数值 这个教师可完全放手学生去完成 教师只需 巡回指导 sin37 24 sin37 23 cos21 28 cos38 12 tan52 tan36 20 tan75 17 活动二活动二 熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角 例如 sinA 0 9816 A cosA 0 8607 A tanA 0 1890 A tanA 56 78 A 三 例题讲解三 例题讲解 例 1 求下列各式的值 1 sin42 31 2 cos33 18 24 3 tan55 10 例 2 根据所给条件求锐角 1 已知 sin 0 4771 求 精确到 1 2 已知 cos 0 8451 求 精确到 1 3 已知 tan 1 4106 求 精确到 1 例 3 等腰三角形 ABC 中 顶角 ACB 108 腰 AC 10m 求底边 AB 的 长及等腰三角形的面积 边长精确到 1cm 四 课堂练习四 课堂练习 教材 P68 练习第 1 2 题 五 课时小结 五 课时小结 本节课应掌握 已知角度求正弦值用 sin 键 已知正弦值求小于 90 的锐角 用 2ndf sin 键 对于余弦与正切也有相类似的求法 12 六 布置作业六 布置作业 教材 P68 习题 28 1 第 5 题 2828 2 2 1 1 解直角三角形解直角三角形 教学目标 教学目标 1 知识与技能 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系 会运用勾股定 理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 通过综合运用勾 股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 逐步培养学 生分析问题 解决问题的能力 2 过程与方法 过程与方法 通过综合运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐 角三角函数解直角三角形 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想 培养学生良好的学习习 惯 教学重点 教学重点 直角三角形的解法 教学难点 教学难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 教学过程 教学过程 一 复习旧知 引入新课一 复习旧知 引入新课 引入引入 我们一起来解决关于比萨斜塔问题 见课本在 Rt ABC 中 C 90 BC 5 2m AB 54 5m 13 A的邻边b A的对边a 斜边c C B A a b A b a A c b A c a A cot tan cos sin sinA 0 0954 5 2 54 5 BC AB 所以 A 5 08 二 探索新知二 探索新知 活动一活动一 理解直角三角形的元素理解直角三角形的元素 提问提问 在三角形中共有几个元素 什么叫解直角三 角形 总结总结 一般地 直角三角形中 除直角外 共有 5 个元素 既 3 条边和 2 个 锐角 由直角三角形中除直角外的已知元素 求出其余未知元素的过程 叫做解 直角三角形 活动二活动二 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 直角三角形 ABC 中 C 90 a b c A B 这五个元素间有哪些等 量关系呢 1 边角之间关系 如果用 表示直角三角形的一个锐角 那上述式子就可以写成 2 三边之间关系 a2 b2 c2 勾股定理 3 锐角之间关系 A B 90 以上三点正是解直角三角形的依据 通过复习 使学生便于应用 三 例题讲解三 例题讲解 例例 1 教材 P73 例 1 在 ABC 中 C 90 AC BC 解这26 个三角形 解 略 的对边 的邻边 的邻边 的对边 斜边 的邻边 斜边 的对边 cottancossin 14 解直角三角形的方法很多 灵活多样 学生完全可以自己解决 但例题具有 示范作用 因此 此题在处理时 首先 应让学生独立完成 培养其分析问题 解决问题能力 同时渗透数形结合的思想 其次 教师组织学生比较各种方法中 哪些较好 选一种板演 例例 2 教材 P73 例 2 在 Rt ABC 中 C 90 B 35 b 20 解这 个三角形 结果保留小数点后一位 引导学生思考分析完成后 让学生独立完成 在学生独立完成之后 选出最好方法 教师板书 总结 总结 完成之后引导学生小结 已知一边一角 如何解直角三角形 四 课堂练习四 课堂练习 教材 P74 练习 五 课时小结五 课时小结 本节课应掌握 1 理解直角三角形的边角之间的关系 边之间的关系 角的关系 2 解决有关问题 六 布置作业六 布置作业 教材 P77 习题 28 2 第 1 2 题 15 2828 2 22 2 应用举例 应用举例 1 1 教学目标 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题 从而会把 实际问题转化为数学问题来解决 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 2 2 过程与方法 过程与方法 通过综合运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐 角三角函数解直角三角形 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 注意加强 知识间的纵向联系 3 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想 培养学生良好的学习习 惯 教学重点 教学重点 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系 归结为直角三角形元素之间的 关系 从而利用所学知识把实际问题解决 教学难点 教学难点 实际问题转化成数学模型 教学过程 教学过程 一 复习旧知 引入新课一 复习旧知 引入新课 复习引入复习引入 1 直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系 请学生口答 16 2 在 Rt ABC 中已知 a 12 c 13 求角 B 应该用哪个关系 请计算出来 二 探索新知二 探索新知 活动活动 例 例 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯子与地面 所成的角一般要满足 如图 现有一个长 6m 的梯子 问 1 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 精确到 0 1 m 2 当梯子底端距离墙面 2 4 m 时 梯子与地面所成的角等于多少 精确到 1o 这时人是否能够安全使用这个梯子 引导学生先把实际问题转化成数学模型 然后分析提出的问题是数学模型中的什么量 在这个数学模型中可用学到的什么知识来求 未知量 几分钟后 让一个完成较好的同学示范 三 例题讲解三 例题讲解 例例 1 1 教材 P74 例 3 2012 年 6 月 18 日 神舟 九号载人航天飞船与 天宫 一号目标飞行器成功实现交汇对接 神州 九号与 天宫 一号的组 合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行 如图 当组合体运行到地球表面上 P 点的正上方时 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置 最远点与 P 点的距离是多少 地球半径约为 6 400 km 取 3 142 结果取整数 分析分析 从组合体上能最远直接看到的地球上的点 是视线与地球相切时的切 点 如图 O 表示地球 点 F 是飞船的位置 FQ 是 O 的切线 切点 Q 是从飞船 观测地球时的最远点 弧 PQ 的长就是地面上 P Q 两点间的距离 为计算弧 PQ 的 长需先求出 解 略 17 例例 2 2 教材 P75 例 4 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为 30o 看这栋离楼底部的俯角为 60 热气球与高楼 的水平距离为 120 m 这栋高楼有多高 结果结果取整数 分析 分析 1 可以先把上面实际问题转化成数学模型 画出直 角三角形 2 在中 所以可以利用解 直角三角形的知识求出 BD 类似地可以求出 CD 进而求出 BC 四 课堂练习四 课堂练习 教材 P76 练习第 1 2 题 五 课时小结五 课时小结 本节课应掌握 1 把实际问题转化为解直角三角形问题 从而会把实际问题转化为数学问 题来