五年级上册奥数讲义

优才家教 Page 1 优才家教优才家教 优等生同步奥数提高优等生同步奥数提高 五年级 下 五年级 下 第一讲第一讲 整数问题整数问题 第第 1 1 课课 数的整除数的整除 一 知识要点 1 整除 因数 倍数 2 相关基础知识点回顾 1 1 0 0 是任何整数的倍数 是任何整数的倍数 2 2 1 1 是任何整数的因数 是任何整数的因数 3 数整除的性质 性质性质 1 如果 如果 a b 都能被都能被 m 整除 那么它们的和与差也能被整除 那么它们的和与差也能被 m 整除 整除 即 如果即 如果 m a m b 那么 那么 m a b 例如 如果 2 10 2 6 那么 2 10 6 并且 2 10 6 性质性质 2 如果 如果 a 能同时被能同时被 m n 整除 那么整除 那么 a 也一定能被也一定能被 m 和和 n 的最小公倍数整除 的最小公倍数整除 即 如果即 如果 m a n a 那么 那么 m n a 例如 如果 6 36 9 36 那么 6 9 36 性质性质 3 如果 如果 m n 都能整除都能整除 a 且 且 m 和和 n 互质 那么互质 那么 m 与与 n 的积能整除的积能整除 a 即 如果即 如果 m a n a 且 且 m n 1 那么 那么 m n n a 例如 如果 2 72 9 72 且 2 7 1 那么 18 72 必要条件 必要条件 1 1 a a b b c c 三个数是整数三个数是整数 2 2 b 0b 0 3 3 a b ca b c 结论 整数结论 整数 a a 能被整数能被整数 b b 整除 或整除 或 b b 能整除能整除 a a 则 则 a a 叫做叫做 b b 的倍数 的倍数 b b 叫做叫做 a a 的因数 的因数 记作 记作 b b a a 整数整数 a 除以整数除以整数 b b 0 0 等于 等于 c c 是整数且没有余数 是整数且没有余数 那么说 那么说 a 能被能被 b 整除 或整除 或 b 能整能整 除除 a a 叫做叫做 b 的倍数 的倍数 b 叫做叫做 a 的因数 的因数 优才家教 Page 2 性质性质 4 如果 如果 a 能整除能整除 b b 能整除能整除 m 那么 那么 a 能整除能整除 m 即 如果即 如果 a b b m 那么 那么 a m 例 如果 7 14 14 28 那么 7 28 4 数的整除特征 1 1 能被 能被 2 2 整除的数的特征 如果一个整数的个位数是偶数 即个位数是整除的数的特征 如果一个整数的个位数是偶数 即个位数是 2 2 4 4 6 6 8 8 0 0 那么 那么 它必能被它必能被 2 2 整除 整除 2 2 能被 能被 5 5 整除的数的特征 如果一个整数的个位数字是整除的数的特征 如果一个整数的个位数字是 0 0 或或 5 5 那么它必能被 那么它必能被 5 5 整除 整除 3 3 能被 能被 3 3 或 或 9 9 整除的数的特征 如果一个整数的各位数字之和能被 整除的数的特征 如果一个整数的各位数字之和能被 3 3 或 或 9 9 整除 那么它必 整除 那么它必 能被能被 3 3 或 或 9 9 整除 整除 4 4 能被 能被 4 4 或 或 2525 整除的数的特征 如果一个整数的末两位数能被 整除的数的特征 如果一个整数的末两位数能被 4 4 或 或 2525 整除 那么它必能 整除 那么它必能 被被 4 4 或 或 2525 整除 整除 例 1864 能否被 4 整除 解 1864 1800 64 因为 4 64 4 是 1864 的因数 1864 是 4 的倍数 所以 4 1864 5 5 能被 能被 8 8 或 或 125125 整除的数的特征 如果一个整数的末三位数能被 整除的数的特征 如果一个整数的末三位数能被 8 8 或 或 125125 整除 那么它必 整除 那么它必 能被能被 8 8 或 或 125125 整除 整除 例 29375 能否被 125 整除 解 29375 29000 375 因为 125 375 125 是 375 的因数 375 是 125 的倍数 所以 125 29375 6 6 能被 能被 1111 整除的数的特征 如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差 大减小 能整除的数的特征 如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差 大减小 能 被被 1111 整除 那么它必能被整除 那么它必能被 1111 整除 整除 奇数位指 这个数的个位 百位 万位奇数位指 这个数的个位 百位 万位 偶数位指 这个数 偶数位指 这个数 的十位 千位 十万位的十位 千位 十万位 例 判断 13574 是否是 11 的倍数 解 这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是 4 5 1 7 3 0 因为 0 是任何 整数的倍数 所以 11 0 因此 13574 是 11 的倍数 例 判断这九位数能否被 11 整除 解 这个数奇数位上的数字之和是 9 7 5 3 1 25 偶数位上的数字之和是 8 6 4 2 20 因为 25 20 5 又因为 11 5 所以 11 7 7 能被 能被 7 7 1111 或或 1313 整除的数的特征 一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差 整除的数的特征 一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差 以大减小 能被 以大减小 能被 7 7 1111 或或 1313 整除 整除 例 判断是否是 7 的倍数 解 把分为 1059 和 282 两个数 因为 1059 282 777 又因为 7 777 所以 7 因此是 7 的倍数 例 判断能否被 13 整除 解 把分为 3546 和 725 两个数 因为 3546 725 2821 再把 2821 分为 2 和 821 两个数 因为 821 2 819 又 13 819 所以 13 2821 进而 13 二 典型例题详解 优才家教 Page 3 猜猜会是什么数 猜猜会是什么数 例 1 一个一个 856856 五位数 能被五位数 能被 3 3 4 4 5 5 整除 这样的五位数中 最小的一个是多少 整除 这样的五位数中 最小的一个是多少 解 先将 856 看做 856ab 3 856ab 则 3 8 5 6 a b 3 19 a b a b 2 或 a b 5 或 a b 8 4 856ab 则 4 ab ab 偶数 5 856ab 则 b 0 或 b 5 又 ab 为偶数 b 0 a b 2 或 a b 5 或 a b 8 且 b 0 a 2 或 a 5 或 a 8 当 a 2 b 0 时 这个数为 85620 当 a 5 b 0 时 这个数为 85650 当 a 8 b 0 时 这个数为 85680 答 五位数中最小的一个是 85620 例 2 一本老账本上记着 一本老账本上记着 72 只桶 共只桶 共 67 9 元 其中元 其中 处是被虫蛀掉的数字 请把这笔账补上 处是被虫蛀掉的数字 请把这笔账补上 解 先将 67 9 看做整数 a679b 72 8 9 且 8 9 1 8 a679b 且 9 a679b 若 8 a679b 则 8 79b 所以 b 2 若 9 a679b b 2 则 9 a6792 9 a 6 7 9 2 9 a 24 所以 a 应是 3 所以这个数应是 答 这笔账应是 元 例 3 173 173 是一个四位数 在其中的方框中先后填入三个数字 所得到的三个四位数 依次可以被是一个四位数 在其中的方框中先后填入三个数字 所得到的三个四位数 依次可以被 9 9 1111 6 6 整除 先后填入的三个数字的和是多少 整除 先后填入的三个数字的和是多少 方法一 试商法 解 方法二 倍数特征 解 优才家教 Page 4 三 课后作业 1 在 中填入适当的数字 使所组成的数能够被 4 整除 78 4 7653 863 3 一个六位数 2356 是 22 的倍数 那么这样 的六位数中 最大的一个是多少 2 71450 至少加上多少后就能被 4 整除 4 如果两个数的和是 64 这两个数的积可以整 除 4875 那么这两个数的差是多少 5 一位采购员买了同样的 72 只热水杯 可是发 票不慎弄湿 单价无法辨认 总价数字也不全 只能看出 173 元 你能算出热水杯的 单价吗 优才家教 Page 5 第一讲第一讲 整数问题整数问题 第第 2 2 课课 倍数与因数 一 倍数与因数 一 一 知识要点 1 质数与合数 质数 一个数除了质数 一个数除了 1 1 和它本身 不再有别的因数 这个数叫做质数 和它本身 不再有别的因数 这个数叫做质数 素数 素数 合数 一个数除了合数 一个数除了 1 1 和它本身 还有别的因数 这个数叫做合数 和它本身 还有别的因数 这个数叫做合数 1 不是质数 也不是合数 不是质数 也不是合数 2 质因数与分解质因数 质因数 如果一个质数是某个数的因数 那么就说这个质数是这个数的质因数 质因数 如果一个质数是某个数的因数 那么就说这个质数是这个数的质因数 分解质因数 分解质因数 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 例 30 分解质因数 解 30 2 3 5 答 2 3 5 是 30 的质因数 分解质因数的方法 可以用短除式来求质因数分解质因数的方法 可以用短除式来求质因数 100 以内的质数 要会背的 以内的质数 要会背的 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 3 公因数与公倍数 优才家教 Page 6 公因数 几个自然数公有的因数 叫做这几个自然数的公因数 公因数 几个自然数公有的因数 叫做这几个自然数的公因数 公倍数 公倍数 几个自然数公有的倍数 叫做这几个自然数的公倍数 几个自然数公有的倍数 叫做这几个自然数的公倍数 一个数的因数的个数是 一个数的因数的个数是 的 倍数的个数是 的 倍数的个数是 的 的 几个数的公因数的个数是 几个数的公因数的个数是 的 公倍数的个数是 的 公倍数的个数是 的 的 4 最大公因数与最小公倍数 最大公因数 在几个自然数的公因数中 最大的一个称为这几个数的最大公因数 最大公因数 在几个自然数的公因数中 最大的一个称为这几个数的最大公因数 a a b b 的最大公因数的最大公因数 a a b b 最小公倍数 最小公倍数 在几个自然数的公倍数中 除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数 在几个自然数的公倍数中 除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数 a a b b 的最小公倍数的最小公倍数 a a b b 1 1 8 8 3 3 0 0 2 2 9 9 3 3 3 35 5 用公有的质因数用公有的质因数2 2除除 用公有的质因数用公有的质因数3 3除除 除到两个商是互质数为止除到两个商是互质数为止 1515 18 30 2 3 6 18 30 2 3 3 5 90 二 典型例题详解 例 1 五年级三个班分别有 30 24 42 人参加课外科技活动 现在要把参加的人分成人数相等的小级 并且各班同学不能打乱 那么每组最多多少人 一共可以分成多少个小组 解 30 2 3 5 24 2 3 2 2 42 2 3 7 30 24 42 2 3 6 人 30 6 5 个 24 6 4 个 42 6 7 个 5 4 7 16 个 答 每组最多可以分 6 人 一共可以分 16 个组 例 2 有一种长 16 厘米 宽 12 厘米的塑料扣板 如果用这种扣板拼成一个正方形 最少需要多少块 用短除法计算 优才家教 Page 7 解 16 2 2 2 2 12 2 2 3 16 12 2 2 2 2 3 48 厘米 48 16 3 块 48 12 4 块 3 4 12 块 答 最少需要 12 块扣板 例 3 甲对乙说 我现在的年龄是你的 7 倍 过几年是你的 6 倍 再过若干年就分别是你的 5 倍 4 倍 3 倍 2 倍 求出甲 乙现在的年龄 解 甲现在的年龄是乙的 7 倍 则甲的年龄比乙大 6 倍 当甲的年龄是乙的 6 倍时 则甲的年龄比乙大 5 倍 当甲的年龄是乙的 5 倍时 则甲的年龄比乙大 4 倍 当甲的年龄是乙的 4 倍时 则甲的年龄比乙大 3 倍 当甲的年龄是乙的 3 倍时 则甲的年龄比乙大 2 倍 当甲的年龄是乙的 2 倍时 则甲的年龄比乙大 1 倍 甲 乙的年龄差是 6 5 4 3 2 的公倍数 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 60 岁 60 7 1 10 岁 10 60 70 岁 答 甲的年龄是 70 岁 乙的年龄是 10 岁 例 4 写出三个小于 20 的自然数 它们的最大公因数为 1 但两两均不互质 共有几组 解 假设这三个数分别是 a b c a b c 两两不互质 且 a 20 b 20 c 20 则两两间的质因数互不相同且乘积小于 20 a b 2 或 a b 3 或 a b 5 a c 2 或 a c 3 或 a c 5 b c 2 或 b c 3 或 b c 5 a b c 三数有可能是 2 3 6 2 5 10 3 5 15 2 6 12 3 6 18 又 a b c 1 6 10 15 1 10 15 12 11 10 15 18 答 共有三组 分别是 6 10 15 10 12 15 10 15 18 三 课后习题 用短除法计算 优才家教 Page 8 1 求 56 36 284 的最小公倍数 3 三个人绕环行跑道练习骑自行车 他们骑一圈的 时间分别为半分钟 45 秒钟 1 分 15 秒 三人同时 从起点出发 最少需要多长时间才能再次在起点相会 5 把一张长 120cm 宽 80cm 的长方形纸裁成同样大 小的正方形 纸不能有剩余 至少能裁成多少张这样 的正方形纸 每张裁成的纸是多大 2 有 336 个苹果 252 个梨子 210 个桔子 用这三 种水果最多可以分成多少份相同的礼物 每份礼物中 三种水果各占多少 4 有一个表 每走 9 分钟亮一次灯 每到整点时响 一次铃 中午 12 点时既亮灯又响铃 下次既亮灯又 响铃在几点 6 用一个数去除 31 61 76 都余 1 这个数最大是 多少 优才家教 Page 9 第第 3 3 课课 倍数与因数 二 倍数与因数 二 一 知识要点 1 最小公倍数与最大公因数之间的关系 定理一 两个自然数分别除以它们的最大公因数 所得的商互质 定理一 两个自然数分别除以它们的最大公因数 所得的商互质 即 如果 即 如果 a b d 那么 那么 a d b d 1 定理二 两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积 定理二 两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积 即 即 a b a b a b 定理三 两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数定理三 两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数 二 典型例题详解 例 1 甲数是 36 甲 乙两数的最大公因数是 4 最小公倍数是 288 求乙数 解 设乙数是 a 36 a 4 288 a 4 288 36 a 32 答 乙数是 32 练一练 甲数和乙数的最大公因数是 6 最小公 倍数是 90 且小数不能整除大数 求这两个数 例 2 已知两数的最大公因数是 21 最小公倍数是 126 求这两个数的和是多少 解 设这两个数分别为 a b 126 21 6 6 3 2 或 6 1 6 a 3 21 63 a 1 21 21 b 2 21 42 b 6 21 126 63 21 84 21 126 147 答 这两个数的和是 84 或 147 练一练 两个自然数的和是 56 它们的最大公 因数是 7 求这两个数 优才家教 Page 10 例 3 两个自然数的和是 50 它们的最大公因数是 5 求这两个数的差 解 设这两个自然数分别是 5a 5b 5a 5b 50 a b 10 a b 1 且 a b 10 或 9 1 b a 7 3 b a 当 时 5a 5 5b 45 5b 5a 40 9 1 b a 当 时 5a 15 5b 35 5b 5a 20 7 3 b a 答 这两个数的差是 40 或 20 练一练 已知两个自然数的积是 5766 它们的 最大公因数是 31 求这两个数 例 4 两个自然数的和是 54 它们的最小公倍数与 最大公因数的差是 114 求这两个自然数 解 设这两个数是 A B 且 A am B bm A B 54 则 am bm 54 m a b 54 A B m a b 为 A B 两数的非有公因数 a b 1 A B m a b A B A B 114 则 m a b m 114 m ab 1 114 m a b 54 且 m ab 1 114 则 m 是 54 和 114 的公因数 又 54 114 6 6 1 6 2 3 m 1 或 m 6 或 m 2 或 m 3 如果 m 1 则 1 a b 54 a b 54 1 ab 1 114 ab 115 115 1 115 或 115 5 23 115 1 54 且 5 23 54 m 1 如果 m 6 则 6 a b 54 a b 9 6 ab 1 114 ab 20 a b 1 则 20 1 20 或 20 4 5 1 20 9 4 5 9 则 m 6 a 4 b 5 A 4 6 24 B 5 6 30 如果 m 2 则 2 a b 54 a b 27 2 ab 1 114 ab 58 a b 1 则 58 1 58 或 58 2 29 1 58 27 且 2 29 27 m 2 接 例 4 如果 m 3 则 3 a b 54 a b 18 3 ab 1 114 ab 39 a b 1 则是 39 1 39 或 58 3 13 1 39 18 且 3 13 16 m 3 答 这两个自然数是 24 和 30 练一练 两个数的差是 4 最大公因数与最小公 倍数的积是 252 求这两个数 优才家教 Page 11 三 课后作业 1 某数与 24 的最大公因数是 4 最小公倍数是 168 这个数是多少 2 已知两个自然数的最大公因数为 4 最小公倍 数为 120 求这两个数 3 两个数的和是 70 它们的最大公因数是 7 求 这两个数的差是多少 4 已知两个自然数的差为 48 它们的最小公倍 数为 60 求这两个数 5 两个数的最大公因数是 18 最小公倍数是 180 两个数的差是 54 求两个数的和 6 已知两个自然数的差为 30 它们的最小公倍 数与最大公约数的差为 450 求这两个自然数 7 两个数的最大公因数是 12 最小公倍数是 72 这两个数的和是多少 优才家教 Page 12 8 两个自然数的差是 3 它们的最大公因数与最 小公倍数的积是 180 求这两个数 复习练习复习练习 第第 2 2 课课 1 有一种地砖 长 20 厘米 宽 15 厘米 至少 需要多少块这样的地砖才能拼成一个实心的正方形 2 一箱鸡蛋 四个四个数多 3 个 五个五个数 多 4 个 七个七个数多 6 个 这箱鸡蛋至少有多少 个 10 已知 a 与 b a 与 c 的最大公因数分别是 12 和 15 a b c 的最小公倍数是 120 求 a b c 3 有一个班的同学包车旅游 如果增加一辆车 正好每辆车坐 10 人 如果减少一辆车 正好每辆 车坐 15 人 这个班共有多少人 4 一条路长 96 米 从一端起 每隔 4 米栽一棵树 路两旁都栽 现要再每隔 6 米栽一棵 已栽上的地 方不用重栽 这条路上共需新栽多少棵树 优才家教 Page 13 第二讲第二讲 图形的面积图形的面积 第第 1 1 课课 巧求图形面积巧求图形面积 一 知识要点 1 基本平面图形特征及面积公式 特征面积公式 正方形 四条边都相等 四个角都是直角 有四条对称轴 S a2 长方形 对边相等 四个角都是直角 有二条对称轴 S ab 平行四边形 两组对边平行且相等 对角相等 相邻的两个角之和为 180 平行四边形容易变形 S ah 三角形 两边之和大于第三条边 两边之差小于第三条边 三个角的内角和是 180 有三条边和三个角 具有稳定性 S ah 2 形 只有一组对边平行 中位线等于上下底和的一半 S a b h 2 2 基本解题方法 由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形 要计算这样的组合图形面积 先根据图形由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形 要计算这样的组合图形面积 先根据图形 的基本关系 再运用分解 组合 平移 割补 添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算 的基本关系 再运用分解 组合 平移 割补 添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算 二 典型例题详解 例 1 已知平行四边表的面积是 28 平方厘米 求阴 影部分的面积 练一练 如果用铁丝围成如下图一样的平行四 边形 需要用多少厘米铁丝 单位 厘米 优才家教 Page 14 例 2 下图中甲和乙都是正方形 求阴影部分的面 积 单位 厘米 练一练 求图中阴影部分的面积 单位 厘米 例 3 如图所示 甲三角形的面积比乙三角形的面 积大 6 平方厘米 求 CE 的长度 练一练 直角三角形 BCE 的直 角边 EC 长 8 厘米 已 知阴影部分的面积比 三角形 EFG 的面积大 10 平方厘米 求 CF 的长 平行四边形 ABCD 的边长 BC 10 厘米 优才家教 Page 15 例 4 两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形 已知两个三角形的面积 如图所示 求另两个三角 形的面积各是多少 单位 厘米 练一练 下面的梯形 ABCD 中 下底是上底的 2 倍 E 是 AB 的中点 求梯形 ABCD 的面积是三角 形 EDB 面积的多少倍 练一练 练一练 计算下面图形的面积 一个长方形的草坪 中间有两个人行道 高是 14 求草坪的面积 单位 厘米 32 28 B 优才家教 Page 16 三 课后作业 1 3 求图中阴影 部分的面积 单位 厘米 2 5 4 梯形 ABCD 的面积是 45 平方厘米 高 6 厘米 三角形 AED 的面积是 5 平方厘米 BC 10 厘米 求阴影部分 的面积 6 求图形中梯形 ABCD 的面积 单位 厘米 下面的梯形中 阴 影部分面积是 150 平方厘米 求梯形 的面积 正方形 ABCD 的 边长是 12 厘米 已知 DE 是 EC 长 度的 2 倍 求 1 三角形 DEF 的面积 2 CF 的长 正方形 ABCD 的面积是 100 平方厘米 AE 8 厘米 CF 6 厘米 求阴影部分的面 积 优才家教 Page 17 第第 2 2 课课 等积变形求面积等积变形求面积 一 知识要点 三角形三角形 平行四边形平行四边形等底等高等底等高的的面积相等面积相等 如果两个三角形底相等 大三角形面积是小三角形面积的 2 倍 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等 大三角形面积是小三角形面积的 3 倍 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等 大三角形面积是小三角形面积的 4 倍 大三角形高是小三角形高的 如果两个三角形底相等 大三角形面积是小三角形面积的 n 倍 大三角形高是小三角形高的 如果两个平行四边形形底相等 大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 2 倍 大平行四边形高是 小平行四边形高的 如果两个平行四边形形底相等 大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 3 倍 大平行四边形高是 小平行四边形高的 如果两个平行四边形形底相等 大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 4 倍 大平行四边形高是 小平行四边形高的 优才家教 Page 18 如果两个平行四边形形底相等 大平行四边形面积是小平行四边形形面积的 n 倍 大平行四边形高是 小平行四边形高的 二 典型例题分析 例 1 四边形 ABCD 中 M 为 AB 的中点 N 为 CD 的中点 如果四边形 ABCD 的面积是 80 平方厘米 求阴影部分 BNDM 的面积是多少 练一练 如图 六 边形 ABCDEF 的面积 是 16 平方厘米 M N P Q 分别是 AB CD DE AF 的中点 求图中阴影部分的面积 例 2 如图 平行四边 形 ABCD 中 AE EF FB AG 2CG 三 角形 GEF 的面积 是 6 平方厘米 平行四边形的面积是多少平方厘米 练一练 如图 在一个等边三角 形中任意取一点 P 连接 PA PB PC 过 P 点作三角形的垂线 E F G 分别为垂足 三角形 ABC 被分成 6 个三角形 已 知三角形 ABC 的面积为 40 平方厘米 求图中阴影 部分的面积 优才家教 Page 19 例 3 下图中正方形 ABCD 的边长是 4 厘米 长方 形 DEFG 的长 DG 5 厘米 问长方形的宽 DE 为多少厘 米 练一练 两个相同的直角三角形叠放在一起 求阴影部分的面积 单位 分米 例 4 两个正方形拼成一 个图形 其中小正方形的 边长是 4 厘米 求阴影部 分的面积 练一练 如图 AE ED AF FC 已知 ABC 的面积为 100 平方 厘米 求阴影部分 的面积 优才家教 Page 20 三 课后作业 1 平行四边形的面积为 50 平方厘米 P 是其中任意 一点 求阴影部分的面积 2 长方形 ABCD 三角 形 ABG 的面积为 20 平方 厘米 三角形 CDQ 的面 积为 35 平方厘米 求阴 影部分的面积 3 ABCD 是直角梯形 其中 AD 12 厘米 AB 8 厘米 BC 15 厘米 且三角形 ADE 四边形 DEBF 及三角 形 CDF 的面积相等 三角 形 EBF 阴影部分 的面积是多少 4 如图 AD 2AB CF 3AC BE 4BC 已知 ABC 的面积为 5 平方厘米 求 DEF 的面积 5 如图 AB 4 厘米 BC 6 厘米 AC 2CD BE BD 求 三角形 ADE 的面积 6 图中 BD 2DC AE BE 已知三角形 ABC 的面积 是 18 平方厘米 求四边 形 AEDC 的面积是多少 优才家教 Page 21 第三讲第三讲 分数的基本性质分数的基本性质 第第 1 1 课课 分数的认识分数的认识 一 知识要点 1 分数的意义和性质 分数的意义 把单位 1 平均分成若干份 表示这样的一份或几份的数 叫做分数 分母表示把一个物体平均分成几份 分子是表示这样几份的数 把 1 平均分成分母份 表示这样的分子份 分数单位 把单位 1 平均分成若干份 表示其中一份的数 叫做分数单位 分数的性质 分子与分母同时乘或除以一个相同的数 0 除外 分数的大小不变 2 分数的分类 真分数 分子比分母小的分数 叫做真分数 真分数大于 1 假分数 分子大于或者等于分母的分数叫假分数 假分数大于 1 或等于 1 带分数 带分数就是将一个分数写成整数部分 一个真分数 带分数与假分数的互换 带分数与假分数的互换 带分数 假分数 分母不变 分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和 例 7 5 3 7 573 7 26 假分数 带分数 分母不变 整数部分为原分子除以分母的商 分子则为原分子除以分母的余数 例 3 14 3 314 3 2 4 带分数 真分数 3 计算方法 分数加减法分数加减法 1 1 同分母分数相加减 分母不变 即分数单位不变 分子相加减 最后要化成最简分数 同分母分数相加减 分母不变 即分数单位不变 分子相加减 最后要化成最简分数 例 7 3 7 1 7 5 7 315 7 3 优才家教 Page 22 2 2 异分母分数相加减 先异分母分数相加减 先通分通分 即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数 改变 即运用分数的基本性质将异分母分数转化为同分母分数 改变 其分数单位而大小不变 再按同分母分数相加减法去计算 最后要化成最简分数 其分数单位而大小不变 再按同分母分数相加减法去计算 最后要化成最简分数 例 2 1 5 4 6 5 30 15 30 24 30 25 30 152425 30 34 分数乘除法分数乘除法 1 1 分数乘整数 分母不变 分子乘整数 最后要化成最简分数 分数乘整数 分母不变 分子乘整数 最后要化成最简分数 例 6 9 5 9 65 3 10 2 2 分数乘分数 用分子乘分子 用分母乘分母 最后要化成最简分数 分数乘分数 用分子乘分子 用分母乘分母 最后要化成最简分数 例 7 6 9 2 79 62 21 4 3 3 分数除以整数 分母不变 如果分子是整数的倍数 则用分子除以整数 最后要化成最简分分数除以整数 分母不变 如果分子是整数的倍数 则用分子除以整数 最后要化成最简分 数 数 例 4 9 8 9 48 9 2 4 4 分数除以整数 分母不变 如果分子不是整数的倍数 则用这个分数乘这个整数的倒数 最分数除以整数 分母不变 如果分子不是整数的倍数 则用这个分数乘这个整数的倒数 最 后要化成最简分数 后要化成最简分数 例 6 9 2 6 1 9 2 27 1 5 5 分数除以分数 等于被除数乘除数的倒数 最后不是最简分数要化成最简分数 分数除以分数 等于被除数乘除数的倒数 最后不是最简分数要化成最简分数 例 3 2 9 2 2 3 9 2 3 1 二 典型例题分析 例 1 分母是 91 的真分数有多少个 最简真分数 有多少个 练一练 1 分子 分母的乘积是 420 的最简真分数 共有多少个 例 2 把一个最简分数的分子加上 1 这个分数就 等于 1 1 如果把这个分数的分母加上 1 这个分数就等 于 原分数是多少 9 8 2 如果把这个分数的分母加上 2 这个分数就等 于 原分数是多少 9 8 练一练 2 一个分数约分成最简分数是 原分子 7 3 分母的和是 90 原分数是多少 优才家教 Page 23 例 3 分数的分子和分母都减去同一个整数 136 73 所得的分数约分后是 求那个整数是多少 9 2 练一练 3 一个真分数的分子 分母是两个连续的 自然数 如果分母加上 4 这个分数约分后是 原 3 2 来这个分数是多少 例 4 分数的分子减去某数 而分母同时加上 64 55 这个数后 所得的新分数化简后为 求某数 13 4 练一练 4 一个分数 分子加上 1 可约分为 分 3 1 子减去 1 可约分为 求这个分数 5 1 练一练 5 分数的分子 分母同时加一个自然 12 1 数 新分数化简得一个分数 求这个自然数 2 1 练一练 6 是最简真分数 可取的整数共 48 7 a a 有多少个 三 课后作业 1 分母是 51 的真分数有多少个 最简真分数有多 少个 2 一个最简分数的分子缩小 5 倍 分母扩大 9 倍 优才家教 Page 24 后是 原分数是多少 27 2 3 的分子 分母同时加上多少后可以约分为 13 3 3 1 4 一个分数 如果分子加上 16 分母减去 166 那么约分后是 如果分子加上 124 分母加上 4 3 340 那么约分后是 求原分数是多少 2 1 5 填空题 列式 计算 填空 1 一个最简真分数的分子 分母之积是 30 这个最 简真分数是 2 分母是 85 的真分数共有 个 分母是 85 的最简真分数共有 个 3 一个最简真分数 把它的分母扩大 5 倍 而分子 缩小 4 倍 化简后是 求这个最简真分数是 52 1 4 一个最简真分数 分子 分母之和是 15 这个 最简真分数是 6 一个真分数的分子 分母是两个相邻的奇数 如果分母加上 3 后 这个分数约分为 求原分数是 4 3 多少 7 分数的分子 分母同时加同一个自然数 新 12 1 分数化简后得 求这个自然数 2 1 优才家教 Page 25 第第 2 2 课课 比较分数大小比较分数大小 一 知识要点 1 分数的基本性质 分数的性质 分子与分母同时乘或除以一个相同的数 0 除外 分数的大小不变 2 比较分数大小的基本方法 分母相同 分母相同的分数 比较分子 分子大的分数大 分母相同 分母相同的分数 比较分子 分子大的分数大 分子相同 分子相同的分数 比较分母 分母小的分数大 分子相同 分子相同的分数 比较分母 分母小的分数大 假分数与真分数 假分数大于真分数 假分数与真分数 假分数大于真分数 3 分子 分母都不同的两个分数 先通分 使它们的分母相同 化为第一种情况 再比较大小 先通分 使它们的分母相同 化为第一种情况 再比较大小 4 比较分数大小的巧算 通分子通分子 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大 而分子的最小公倍数比较小时 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大 而分子的最小公倍数比较小时 可以把它们化成同分子的分数 再比较大小 这种方法比通分的方法简便 可以把它们化成同分子的分数 再比较大小 这种方法比通分的方法简便 化为小数 化为小数 这种方法对任意的分数都适用 因此也叫万能方法 但在比较大小时是否简便 这种方法对任意的分数都适用 因此也叫万能方法 但在比较大小时是否简便 就要看具体情况了 就要看具体情况了 先约分 后比较 先约分 后比较 有时已知分数不是最简分数 可以先约分 有时已知分数不是最简分数 可以先约分 优才家教 Page 26 倒数比较大小 倒数比较大小 分数分数 m 和和 n 如果 如果 那么 那么 m n m 1 n 1 大分数比较大小大分数比较大小 若两个真分数的分母与分子的差相等 则分母与分子相加得到的和较大的分数若两个真分数的分母与分子的差相等 则分母与分子相加得到的和较大的分数 比较大 比较大 若两个假分数的分子与分母的差相等 则分母与分子相加得到的和较小的分数若两个假分数的分子与分母的差相等 则分母与分子相加得到的和较小的分数 比较大 比较大 借助第三个数比较大小借助第三个数比较大小 对于分数对于分数 m 和和 n 若 若 m k n k 则 则 m n 对于分数对于分数 m 和和 n 若 若 m k k n 则 则 m n 对于分数对于分数 m 和和 n 若 若 k m k n 则 则 m n 5 典型 8 例题 例例 1 把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列 把下面每组中的分数按从大到小的顺序排列 1 8 5 12 7 20 11 60 37 8 12 20 60 120 8 5 158 155 120 75 12 7 1012 107 120 70 20 11 620 611 120 66 60 37 260 237 120 74 120 75 120 74 120 70 120 66 8 5 60 37 12 7 20 11 2 27 30 13 15 17 20 11 12 30 15 20 12 60 27 30 227 230 54 60 13 15 413 415 52 60 17 20 317 320 51 60 11 12 511 512 55 60 练一练练一练 1 把下面的分数按从小到大的顺序排列 把下面的分数按从小到大的顺序排列 33 15 23 10 17 6 13 5 分数分数 中 哪一个最大 中 哪一个最大 17 5 19 6 33 10 97 30 46 15 优才家教 Page 27 51 60 52 60 54 60 55 60 17 20 13 15 27 30 11 12 例例 2 比较比较和和的大小的大小 77775 77771 88887 88883 1 1 77775 77771 77775 4 88887 88883 88887 4 77775 4 88887 4 77775 77771 88887 88883 例例 3 已知已知 a b m n 都是非零自然都是非零自然 m n 1 1 m n 数 且数 且 m n a b 的大小关系是 的大小关系是 A 可能可能 a b B a 一定大于一定大于 b C 有时有时 a b D a 一定小于一定小于 b 如果 a b b a 2 1 12 11 3 2 3 2 2 1 如果 a b b a 8 7 18 17 9 8 9 8 8 7 练一练练一练 2 比较比较和和的大小的大小 44445 44443 55559 55557 练一练练一练 3 下列分数中最大的是 下列分数中最大的是 A B C D 999 998 99 98 9999 9998 9 8 例例 4 比比大 比大 比小 分子是小 分子是 17 的分数共有多的分数共有多 7 2 3 1 少个 少个 2 1 17 34 7 2 177 172 119 34 3 1 343 341 102 34 17 2 34 119 2 59 1 102 2 51 答 分母可以是 51 52 53 54 55 56 57 58 59 共 8 个 练一练练一练 4 在下面的在下面的 中填入适当的整数 使不等中填入适当的整数 使不等 式成立 式成立 5 717 7 10 练一练 5 在 这四个分 14 11 1653 1650 987 984 87 84 数中 最大的是哪个 最小的是哪个 练一练 6 写出三个大于而小于的最简真分数 7 3 7 4 优才家教 Page 28 练一练 7 分子是 3 比小 但与最接近的 65 7 65 7 分数是哪一个 练一练 8 已知 为连续自然数 19 5 4 19 求 和 二 课后作业 1 将 从小到大排 41 36 67 60 29 24 83 72 13 12 59 48 列 排在第三个位置上的数是多少 2 把五个分数 按从小 5 7 12 17 29 41 70 99 160 239 到大的顺序排列 3 设 a b 试 123456789 987654321 2008123456789 2008987654321 比较 a 与 b 的大小 4 在下面的 中填入适当的整数 使不等式成 立 里应填的整数有哪些 0 25 0 26 17 5 比较和的大小 490 487 74 73 6 比大 比小 分母是 40 的最简分数有多 4 1 10 7 少个 优才家教 Page 29 7 比较与的大小 222222221 111111110 888888887 444444443 8 有七个数 是 24 0 7 3 26 11 442 0 61 26 其中的五个 已知从小到大排的第三个是 求从 26 11 大到小排的第三个数 第四讲第四讲 行程问题行程问题 第第 1 1 课课 行程中的追及问题行程中的追及问题 一 知识要点 1 行程中的基本数量关系 路路程程 速速度度 时时间间 2 追及问题中的基本数量关系 路路程程差差 追追及及路路程程 速速度度差差 追追及及时时间间 路路程程差差 追追及及路路程程 速速度度差差 追追及及时时间间 路路程程差差 追追及及路路程程 追追及及时时间间 速速度度差差 3 追及问题中的应注意的规律 追追赶赶者者所所用用的的时时间间 被被追追赶赶都都所所用用的的时时间间 追追及及时时间间 二 典型例题 例 1 一辆面包车的速度是每小时 60 千米 在面 包车开出 30 分钟后 一辆小轿车以每小时 84 千米的 速度从同一地点出发沿着同一路线行驶去追赶面包车 多长时间能追上 追及时间 追 及 路 程 练一练 1 一个人骑自行车 一个人骑摩托车 两 人同时从甲地出发去乙地 自行车每小时行 18 千米 摩托车每小时行 45 千米 自行车先出发 1 5 小时 摩托车沿着同一条路线追赶自行车 追上自行车时 摩托车行了多少千米 面包车 小轿车 追及时间 先行 30 分钟 优才家教 Page 30 60 30 60 30 千米 30 84 60 1 25 小时 1 25 小时 1 小时 15 分钟 答 小轿车需要 1 小时 15 分钟追上面包车 解题过程中用到的公式解题过程中用到的公式 路程差 追