人教版七年级数学(下册)第九章-不等式和不等式组教案[1]

www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 第九章第九章 不等式与不等式组不等式与不等式组 教材内容教材内容 本章的主要内容包括 一元一次不等式 组 及其相关概念 不等式的性质 一元一次 不等式 组 的解法及解集的几何表示 利用一元一次不等式分析 解决实际问题 教材以实际问题为例引出不等式及其解集的概念 然后类比一元一次方程 引出一元一 次不等式的概念 为进一步讨论不等式的解法 接着讨论了不等式的性质 并运用它们解 简单的不等式 在此基础上 教材从一个选择购物商店问题入手 对列 解一元一次不等 式作了进一步的讨论 并归纳一元一次不等式与一元一次方程的异同及应注意的问题 最 后 结合三角形三条边的大小关系 引进了一元一次不等式组及其解集 并讨论了一元一 次不等式组的解法 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能 1 了解一元一次不等式 组 及其相关概念 2 理解不等式的性质 3 掌握一元一次不等式 组 的解法并会在数轴上表示解集 4 学会应用一元一次不等 式 组 解决有关的实际问题 过程与方法过程与方法 1 通过观察 对比和归纳 探索不等式的性质 在利用它解一元一次 不等式 组 的过程中 体会其中蕴涵的化归思想 2 经历 把实际问题抽象为一元一次 不等式 的过程 体会一元一次不等式 组 是刻画现实世界中不等关糸的一种有效的数 学模型 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 1 通过类比一元一次方程的解法从而更好地去掌握一元一次 不等式的解法 树立辩证唯物主义的思想方法 2 在利用一元一次不等式 组 解决问题 的过程中 感受数学的应用价值 提高分析问题 解决问题的能力 重点难点重点难点 一元一次不等式 组 的解法及应用是重点 一元一次不等式 组 的解集和应用一 元一次不等式 组 解决实际问题是难点 课时分配课时分配 9 1 不等式 4 课时 9 2 实际问题与一元一次不等式 3 课时 9 3 一元一次不等式组 2 课时 9 4 课题学习 利用不等式分析比赛 1 课时 本章小结 2 课时 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 9 1 19 1 1 不等式及其解集不等式及其解集 教学目标教学目标 1 了解不等式和一元一次不等式的概念 2 理解不等式的解和解集 能 正确表示不等式的解集 重点难点重点难点 不等式 一元一次不等式 不等式的解 解集的概念是重点 不等式解集 的理解与表示是难点 教学过程教学过程 一 情景导入一 情景导入 投影 1 一辆匀速行驶的汽车在 11 20 时距离 A 地 50 千米 要在 12 00 以前驶过 A 地 车速 应该具备什么条件 题目中有等量关系吗 没有 那是什么关系呢 从时间上看 汽车要在 12 00 之前驶过 A 地 则以这个速度行驶 50 千米所用的时间 不到 2 3 小时 即汽车驶过 A 地的时间小于 2 3 小时 从路程上看 汽车要在 12 00 之前驶过 A 地 则以这个速度行驶 2 3 小时的路程要超 过 50 千米 即汽车 2 3 小时走的路程大于 50 千米 这些是不等关系 二 不等式的概念二 不等式的概念 若设车速为每小时 x 千米 你能用一个式子表示上面的关系吗 50 x 2 3 或 2 3x 5 像 这样用 或 6 5 2m 50 成立 76 73 79 80 74 9 75 1 90 60 76 79 80 75 1 90 能使不等式 2 3x 50 成立 我们把能使不等式成立的未知数的值 叫不等式的解不等式的解 我们看到不等式的解不是一个 你还能找出这个不等式的其他解吗 它的解到底有多 少个 如 77 81 101 等等 所有大于 75 的数都是这个不等式的解 它的解有无数个 一般地 一个含有未知数的不等式的所有的解 组成这个不等式的解集不等式的解集 如所有大于 75 的数组成不等式 2 3x 50 的解集 写作 x 7 5 这个解集可以用数轴来表示 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 求不等式的解集的过程叫做解不等式解不等式 四 例题四 例题 例 投影 4 在数轴上表示下列不等式的解集 1 x 1 2 x 1 3 x 3 5 2 3 2 5 2 3 2 2 12 6 5 2 5 6 5 2 5 4 2 b 则 2a 2b 2 若 2y 10 则 y 5 3 若 a0 则 ac 1 bc 1 4 若 a b c 或 2 4 四 四 课堂练习课堂练习 1 判断正误 投影 3 1 a b a b b b 2 a b a 3 b 3 3 a b 2a 0 a 0 2 根据下列已知条件 说出 a 与 b 的不等关系 并说明依据不等式哪一条性质 投 影 4 1 a 3 b 3 2 a 3 b 3 3 4a 4b 4 1 1 2a 1 1 2b 3 填空 投影 5 1 2a 3a a 是 数 2 a 3 a 2 a 是 数 3 ax 1 a 是 数 作作业业 课本 128 面 4 5 7 9 1 29 1 2 不等式的性质 二 不等式的性质 二 教学目标教学目标 掌握一元一次不等式的解法 重点难点重点难点 一元一次不等式的解法是重点 不等式性质 3 在解不等式中的运用是难点 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 教学过程教学过程 一 复习导入一 复习导入 投影 1 不等式的性质有哪些 不等式的性质与等式的性质有什么不同 和利用等式的性质可以解方程一样 利用不等式的性质可以解不等式 二 不等式的解法二 不等式的解法 例 1 解下列不等式 并在数轴上表示解集 投影 2 1 x 7 26 2 3x 2x 1 3 2 3x 50 4 4x 3 分析 解不等式最终要变成什么形式呢 就是要使不等式逐步化为 x a 或 x a 的形式 解 1 x 7 26 根据等式的性质 1 得 x 7 7 26 7 x 33 33 O 2 3x 2x 1 根据等式的性质 1 得 3x 2x 2x 1 2x x 1 1 O 3 2 3x 50 根据等式的性质 2 得 x 50 3 2 x 7 5 O 75 4 4x 3 根据等式的性质 3 得 x 3 4 O 3 4 注意 运用不等式的性质 1 实际上是方程中的 移项 例 2 解不等式 1 2x 1 2 3 2x 1 投影 1 分析 我们知道 解不等式的依据是不等式的性质 而不等式的性质与等式的性质类 似 因此 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同 解 去分母 得 3x 6 4 2x 1 去括号 得 3x 6 8x 4 移项 得 3x 8x 4 6 合并 得 5x 10 系数化为 1 得 x 2 归纳 解一元一次不等式的步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 4 合 并同类项 5 糸数化为 1 四 课堂练习四 课堂练习 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 课本 127 面练习 1 题 134 面练习 1 题 作作业业 课本 134 面 1 题 9 1 29 1 2 不等式的性质 三 不等式的性质 三 教学目标教学目标 运用不等式解决有关的问题 初步认识一元一次不等式的应用价值 重点难点重点难点 不等式的运用是重点 寻找不等关系是难点 教学过程教学过程 一 复习新课一 复习新课 上节课我们学习了不等式的解法 请问 解不等式的依据是什么 解不等式的步骤是 什么 有很多问题与不等式相联系 需要运用不等式来解决 二 不等式的初步应用二 不等式的初步应用 例 1 投影 1 三角形任意两边之差与第三边有着怎样的大小关系 分析 三角形任意两边之和与第三边有着怎样的大小关系 a b c 解 设 a b c 为任意一个三角形的三条边的长 则 a b c b c a c a b 移项 得 a c b b a c c b a 上面的式子说明了什么 三角形中任意两边之差小于第三边 三角形中任意两边之差小于第三边 归纳 三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 例 2 投影 2 已知 x 3 2a 是不等式 1 5 x 3 x 3 5 的解 求 a 的取值范围 分析 由不等式解的意义 你能知道什么 解 依题意 得 1 5 3 2a 3 3 2a 3 5 1 5 2a 12 5 2a 2a 12 10a 8a 12 a 3 2 例 3 投影 3 某长方体形状的容器长 5 cm 宽 3 cm 高 10 cm 容器内原有水的高度为 3 cm 现准备继续向它注水 用 V 单位 cm3 表示新注入水的体积 写出 V 的取值范 围 分析 新注入水的体积应满足什么条件 新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的体积 解 依题意 得 V 3 5 3 3 5 10 V 105 思考 这是问题的答案吗 为什么 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 不是 因为新注入水的体积不能是负数 所以 V 0 0 V 105 在数轴上表示为 O105 注意 解答实际问题时 一定要考虑问题的实际意义 三 课堂练习三 课堂练习 1 课本 127 面练习 2 2 补充题 投影 4 小华准备用 21 元钱买笔和笔记本 已知每支笔 3 元 每本笔记本 2 2 元 她买了 2 本笔记本 请问她最多还能买几支笔 作业作业 课本 134 面 2 3 128 面 9 129 面 10 第九章不等式复习一 第九章不等式复习一 9 19 1 一 双基回顾一 双基回顾 1 不等式 用等号 连接起来的式子 叫做不等式不等式 1 用不等式表示 x 与 1 的差是负数 a 的 1 2 与 b 的 3 倍大于 2 x y 的平方和是非负数 2 不等式的解和解集 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解不等式的解 一个含有未知数的不等式的所有解 组成这个不等式的解集不等式的解集 注意 解集包括解 所有的解组成解集 解是一个数 解集是一个范围 2 判断下列说法是否正确 4 是不等式 x 3 6 的解 不等式 x 2 1 的解是 x 1 3 是不等式 x 2 5 的一个解 不等式 x 1 4 的解集是 x 2 3 一元一次不等式 含有一个未知数并且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不一元一次不 等式等式 3 下列不等式是一元一次不等式的是 3x 5 1 2y 1 5 2 x 1 3 5 2 8 3 x2 x 4 不等式的性质 1 不等式两边加 或减 同一个数 或式子 不等号的方向不 变 即 如果 a b 那么 a c b c 2 不等式两边乘 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 即 如果 a b c 0 那么 ac bc 或 a c b c 3 不等式两边乘 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 即 如果 a b c 0 那么 ac bc 或 a c b c 注意 不等式的性质与等式的性质有相通之处 又有不同之点 不等式的性质是 解不等式的依据 4 已知 a b 填空 a 3 b 3 2a 2b a 3 b 3 a b 0 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 5 解一元一次不等式 5 解一元一次不等式 2x 5x 6 并在数轴上表示解集 二例题导引二例题导引 例 1 判断正误 若 a b 则 ac2 bc2 若 ac2 bc2 则 a b 若 2 a 1 2b 1 则 a b 若 a b 则 1 2 a 1 2b 例 2 解下列不等式 并把它们的解集在数轴上表示出来 1 3 1 x 2 x 9 2 112 1 32 xx 例 3 a 取什么自然数时 关于 x 的方程 2 3x a 解是非负数 例 4 小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来 这个月小明顾虑了 168 元 小丽顾 虑了 85 元 从下个月开始小明每月顾虑 16 元 而小丽每月存 25 元 问几个月后小丽的存 款数能超过小明 三 练习提高三 练习提高 夯实基础夯实基础 1 已知 x 的 1 2 与 5 的差不小于 3 用不等式表示为 2 若不等式组的解集为1 x 则图中表示正确的是 A B C D 3 设 A B C 表示三种不同的物体 现用天平称了两次 情况如图所示 那么 A B C 这三种物体按质量从大到小的顺序排应为 A A B C B C A B C B A C D B C A 4 如果 x y 下列各式中不正确的是 A 1 2 x 1 2 y B 1 2 x 1 2 y C 1 2 x 1 2 y D 1 2 x 1 2 y 5 当 x 时 2 3x 为非正数 6 已知点 M 5 m 3 在第三象限 则 m 的取值范围是 7 当 x 时 式子 3x5 的值大于 5x 3 的值 8 阳阳从家到学校的路程为 2400 米 他早晨 8 点离开家 要在 8 点 30 分到 8 点 40 分之间到学校 如果用 x 表示他的速度 单位 米 分 则 x 的取值范围为 9 已知 x 3 2a 是不等式 1 5 x 3 x 3 5 的解 那么 a 的取值范围是 10 解下列不等式 并在数轴上表示解集 1 4x 1 2x 3 2 3 x 1 2 3 1 2 x 2 3 x 2 4 1 2x 7 1 6 9x 1 11 已知关于的方程的解是非正数 求的取值范围 xxax34122 a 能力提高能力提高 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 12 已知 a 是一个数 且 x y 则下列不等式中 正确的是 ax ay B ax ay a2x a2y D a2x a2y 13 不等式 3 x 2 x 1 的自然数解是 14 不等式 ax a 的解集为 x 1 则的取值范围是 a A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 15 如果三个连续自然数的和不大于 那么这样自然数共有组 16 解下列不等式 并分别把它们的解集在数轴上表示出来 1 3 2 x 1 5x 2 3 4 8x 3 11 2x 3 4 5 2x 3 2 0 4 214 1 26 xx 16 k 取什么值时 式子 1 2 1 5k 1 3k2 2 3 k2 4 k 的值 1 小于 0 2 不小 于 0 17 某学校把学生的笔试 实践能力两项成绩分别按 60 40 的比例计入学期总成绩 小明实践能力这一项成绩是 81 分 若想学期总成绩不低于 90 分 则笔试的成绩至少是多 少分 探索创新探索创新 18 已知方程组 为何值时 321 21 xym xym mxy 9 29 2 实际问题与一元一次不等式 一 实际问题与一元一次不等式 一 教学目标教学目标 学学会从实际问题中抽象出不等式模型 会用一元一次不等式解决实际问 题 重点难点重点难点 用一元一次不等式解决实际问题是重点 找不等关系是难点 教学过程教学过程 一 导入新课一 导入新课 我们知道 在生产和生活中存在大量的等量关系 与此同时 我们也看到在生产和生 活中存在着大量的不等关系 解决这些问题 用不等式比较方便 二 例题二 例题 例 1 投影 1 某次知识竞赛共有 20 道题 每一题答对得 10 分 答错或不答都扣 5 分 小 明得分要超过 90 分 他至少要答对多少道题 分析 超过 90 分 是什么意思 本题的不等关系是什么 超过 90 分 就是大于 90 分 不等关系是 答对的得分 答错或不答的扣分 90 解 设小明答对 x 道题 则他答错或不答的题数为 20 x 根据他的得分要超过 90 得 10 x 5 20 x 90 10 x 100 5x 90 15x 90 x 38 3 思考 这是本题的答案吗 为什么 这不是本题的答案 因为 x 是正整数且不能大于 20 所以 小明至少要答对 13 题 例 2 投影 2 2002 年北京空气质量良好 二级以上 的天数与全年天数之比达到 55 如果到 2008 年这样的比值要超过 70 那么 2008 年空气质量良好的天数要比 2002 年至少增加多少 分析 2002 年北京空气质量良好的天数是多少 用 x 表示 2008 年增加的空气质量良 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 好的天数 则 2008 年北京空气质量良好的天数是多少 本题的不等关系是什么 2002 年北京空气质量良好的天数是 365 55 2008 年北京空气质量良好的天数是 x 365 55 不等关系是 2008 年北京空气质量良好的天数 366 70 解 设 2008 年北京空气质量良好的天数比 2002 年增加 x 天 依题意 得 x 365 55 366 70 去分母 得 x 200 5 256 2 移项 合并同类项 得 x 55 45 思考 这是本题的答案吗 为什么 本题的答案是什么 不是 因为 x 为正整数 x 56 答 2008 年北京空气质量良好的天数至少比 2002 年增加 56 天 注意 用不等式解应用问题时 要考虑问题的实际意义 例 1 与例 2 中的未知数都应 是正整数 三 课堂练习三 课堂练习课本 134 练习 2 3 四 课堂小结四 课堂小结 用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样 要将实际问题 通过列一元一次不等式转化为数学问题 然后通过解决数学问题来解决实际问题 作业作业 课本 134 面 3 1 3 129 面 12 135 面 5 7 题 9 29 2 实际问题与一元一次不等式 二 实际问题与一元一次不等式 二 教学目标教学目标 会从实际问题中抽象出不等式模型 进一步学会用一元一次不等式解决 实际问题 重点难点重点难点 用一元一次不等式解决实际问题是重点 找不等关系是难点 教学过程教学过程 一 导入新课一 导入新课 上节课我们讨论了用不等式解决实际问题 这节课我们继续讨论这个问题 二 例题二 例题 例 投影 1 甲 乙两个商场以同样的价格出售同样的商品 同时又各自推出不同的优 惠措施 甲商场的优惠措施是 累计购买 100 元商品后 再买的商品按原价的 90 收费 乙商场则是 累计购买 50 元商品后 再买的商品按原价的 95 收费 顾客选择哪个商店 购物能获得更多的优惠 分析 由于甲商场优惠措施的起点为购物 100 元 乙商场优惠措施的起点为购物 50 元 起点数额不同 因此必须分别考虑 你认为应分哪几种情况考虑 分三种情况考虑 累计购物不超过 50 元 累计购物超过 50 元但不超过 100 元 累计购物超过 100 元 1 如果累计购物不超过 50 元 则在两店购物花费有区别吗 为什么 没有区别 因为两家商店都没有优惠 2 如果累计购物超过 50 元但不超过 100 元 则在哪家商店购物花费小 为什么 在乙商店购物花费小 因为乙商店有优惠 而甲商店没有优惠 3 如果累计购物超过 100 元 那么在哪家商店购物花费小 因为两家商店都有优惠 所以要分三种情况考虑 设累计购物 x 元 x 100 则在甲商店购物花费多少元 在乙商店购物花费多少元 在甲商店购物花费 100 0 9 x 100 元 在乙商店购物花费 50 0 95 x 50 若在甲商场购物花费小 则 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 50 0 95 x 50 100 0 9 x 100 解之 得 x 150 若在乙商场购物花费小 则 50 0 95 x 50 100 0 9 x 100 解之 得 x 150 若在两家商场购物花费相同 50 0 95 x 50 100 0 9 x 100 解之 得 x 150 答 如果累计购物不超过 50 元 则在两店购物花费一样多 如果累计购物超过 50 元 但不超过 100 元 则在乙商店购物花费小 若累计购物多于 150 元 在甲商场购物花费小 若累计购物等于 150 元 在两商场购物花费一样多 若累计购物多于 100 元少于 150 元 在乙商场购物花费小 注意 问题比较复杂时 要考虑分类解答 分类要做到不重不漏 三 课堂练习三 课堂练习 投影 2 某校两名教师拟带若干名学生去旅游 联系了两家标价相同的旅游公司 经洽 谈 甲公司的优惠条件是一名教师全额收费 其余师生按 7 5 折收费 乙公司的优惠条件 是全体师生都按 8 折收费 若设标价为 a 元 那么哪个公司更优惠 四 课堂小结四 课堂小结 1 列不等式解应用题与列方程解应用题的步骤相同 所不同的是前者是不等关系 列 出的是不等式 后者相等关系 列出的是方程 2 列不等式解应用题的关键是找出不等关系 找不等关系要抓住像 大于 不小于 超过 不足 至少 等等表示不等关系的词语 作作业业 课本 134 面 3 2 4 135 面 6 8 9 题 9 9 3 3 一元一次不等式组 一 一元一次不等式组 一 教学目标教学目标 1 了解一元一次不等式组的概念 理解一元一次不等式组解集的意义 2 掌握一元一次不等式组的解法 重点难点重点难点 一元一次不等式组的解法是重点 一元一次不等式组的解集的表示是难点 教学过程教学过程 一 情景导入一 情景导入 看下面的问题 投影 1 现有两根木条 a 和 b a 长 10 cm b 长 3 cm 如果再找一根木条 c 用这三根木条钉成 一个三角形木框 那么对木条 c 的长度有什么要求 根据 三角形两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 可知 c 10 3 且 c 10 3 这就是说 第三边 c 要满足两个不等关系 那么 c 的长度究竟在什么范围呢 今天我 们就来解决这个问题 二 一元一次不等式组的概念和解集二 一元一次不等式组的概念和解集 把几个一元一次不等式合起来 组成一个一元一次不等式组一元一次不等式组 记作 3 10 310 x x www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 类比方程组的解 我们把几个不等式组的解集的公共部分 叫做不等式组的解集 不等式组的解集 解不等式就是求它的解集 我们可以利用数轴确定不等式组的解集 1 2 4 x x24x 4 2 2 4 x x242 x 4 3 2 4 x x24无 解 4 2 4 x x24x 4 上面的表示可以用口诀来概括 大大取大 小小取小 大小小大中间找 大大小小不大大取大 小小取小 大小小大中间找 大大小小不 用找 用找 前面不等式组的解集是 7 x 13 注意 如果不等号中带有等号 空心圆就要变成实心圆 三 解不等式组三 解不等式组 例 解下列不等式组 投影 2 1 2 2 148 1 112 xx xx 2 21 3 52 1 1132 x x xx 分析 你认为解不等式组应该分哪些步骤 求出各个不等式的解集 找出各个不 等式的解集的公共部分 利用数轴 即解集 解 1 由 1 得 x 2 由 2 得 x 3 x 3 2 由 1 得 x 8 由 2 得 2x 5 3 6 3x x 4 5 原不等式无解 四 课堂练习四 课堂练习 课本 140 练习 1 五 课堂小结五 课堂小结 1 一元一次不等式组的概念和解集 2 不等式解集的表示 3 解不等式组 作作业业 课本 141 面 1 2 9 39 3 一元一次不等式组 二 一元一次不等式组 二 教学目标教学目标 进一步熟练一元一次不等式组的解法 会用一元一次不等式组解决有关 www 1230 org 中文域名 初中数学 cn 初中数学资源网 的实际问题 重点难点重点难点 用一元一次不等式组解决有关的实际问题是重点 正确分析实际问题中 的不等关系是难点 教学过程教学过程 一 导入新课一 导入新课 前面我们用一元一次不等式解决了一些满足一个不等关系的实际问题 事实上 有很 多问题满足两个不等关系 这就要用到一元一次不等式组 下面我们就利用一元一次不等 式组解决有关的实际问题 二 例题二 例题 例 1 投影 1 3 个小组计划在 10 天内生产 500 件产品 每天产量相同 按原先的生 产速度 不能完成任务 如果每个小组每天比原先多生产 1 件产品 就能提前完成任务 每个小组原先每天生产多少件产品 分析 不能完成任务 的数量含义是什么 提前完成任务 的数量含义是什么 解 设每个小组原先每天生产件 x 产品 依题意 得 3 10500 1 3 10 1 500 2 x x 由 1 得 x 2 3 16 由 2 得 x 2 3 15 不等式的解集为 22 33 1516 x 思考 到此你能知道每个小组原先每天生产多少件产品吗 为什么 每个小组原先每天生产 16 件