兰彻斯特方程

在 1916 年 英国人兰切斯特研究空战最佳编队 发现了兰切斯特方程 远距离交战的时候 任一方实力与本身 数量成正比 即兰切斯特线性律 在近距离交战的时候 任一方实力与本身数量的平方成正比 即兰切斯特平 方律 兰彻斯特的战斗力方程是 战斗力 参战单位总数 单位战斗效率 它表明 在数量达到最大饱和的条件 下 提高质量才可以增强部队的战斗力 而且是倍增战斗力的最有效方法 在高新科学技术的影响下 军队的 数量 质量与战斗力之间的关系已经发生了根本性变化 质量居于主导地位 数量退居次要地位 质量的优劣 举足轻重 质量占绝对优势的军队将取得战争的主动权 一般说来 高技术应用在战场上形成的信息差 空间 差 时间差和精度差 是无法以增加普通兵器和军队数量来弥补的 相反 作战部队数量的相对不足 却可以 高技术武器装备为基础的质量优势来弥补 即通过提高单位战斗效率来提升战斗力 战争实践表明 提高质量 是部队建设的基本要求 在部队数量相差不大的情况下 质量高者获胜 质量差者失败 倘若不能形成同一质 量层次的对抗 处于劣势的一方纵有再多的飞机 坦克 大炮 也可能失去还手之力 假定 A 的单位战斗力是 B 的一半 但是数量是 B 的三倍 假定 B 有 1000 人 A 有 3000 人 如果是面对面的 战斗 A 方损失 264 人即可消灭掉 B 方的 1000 人 现在 A 需要先接近 B 在进行面对面的战斗 按兰切斯特线 性律 A 付出 1000 人的代价歼灭 B 方 500 人以后接近 在 2000 对 500 的近战中 付出 187 人的代价歼灭 B 方 500 人 总损失 1187 人对 1000 人 兰切斯特方程没有考虑战场上的许多要素 并不完全 对局部的战役有参考价值 对整个战争的结局无能为力 兰切斯特方程在战争摸拟的时候会被经常使用 恩格尔曾经使用兰切斯特方程摸拟硫磺岛战役 计算结果与 事实非常接近 兰彻斯特平方率兰彻斯特平方率 描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程 组 因系 F W 兰彻斯特所创 故有其名 简史 1914 年 英国工程师 兰彻斯特在英国 工 程 杂志上发表的一系列论文中 首次从古代使 用冷兵器进行战斗和近代运用枪炮进行 战斗的不同特点出发 在一些 简化假设的前提下 建立了相应的微分方程组 深刻地揭示了交战过程 中双方战 斗单位数 亦称兵力 变化的数量关系 第二次世界大战后 各国军事运筹学工作者根据实际作战的情况 从不 同角度对兰彻斯特 方程进行了研究与扩展 使兰彻斯特型方程成为军事运筹学的重要基 本理论之一 有些学 者也将兰彻斯特型方程称为兰彻斯特战斗理论或 战斗动态理论 兰彻斯特型方程与计算机作战模拟结合以后所 构成的 各种形式 各种规模的作战模型 在军事决策的各有关领域中得到了 广泛的应用 主要形式 兰彻斯 特方程的主要形式有 平 方律 设在近代战斗条件下 红 蓝两军交战 双方各自装备同类武 器 相互通视 并在武器射程范围内进行直接瞄准射击 双方每一 斗单位射击对方每一战斗单位的机会大致相同 将双方在战 斗中尚存 的战斗单位数作为连续的状态变量 以 m t n t 表示在战斗开始后 t 时刻蓝方 红方在战斗中尚存 的作战单位数 可用下列微分方程组 来描述战斗过程中双方兵力随时间的损耗关系 式中 分别为蓝方 红方在单位时间内每一战斗单位毁伤对方战斗单位的数目 简称为蓝方 红方的毁 伤率系数 在双方使用步兵武器进行直瞄射击的情况下 毁伤率系数等于武器的射速乘以单发射弹命中目标的 概率与命中目标的条件下毁伤目标概率的乘积 假设交战开始时刻蓝方 红方的初始战斗单位数为 m 0 M n 0 N 从上述微分方程组可知 在交战过程中双方战斗单位数符合下列状态方程 M m t N n t 当 交战双方的初始战 斗单位数与毁伤率系数之间 满足 M N 时 m t 与 n t 同时趋于零 战斗不分胜负 当 M N 时 蓝方将首先被消灭 兰彻斯特将上述关系概括为 在直 接瞄准射击条件下 交战一方的有效战斗 力 正比于其战斗单位数的平方与每一战 斗单位平均战斗力 平均毁伤率系数 的乘积 并称之为 平方律 按照 这一定 如果蓝方武器系统的单个战斗单位的平均效能为红方的 4 倍 则红方在数量上集中 2 倍于蓝方的兵力 就可抵消蓝方武器在质量上的优势 兰彻斯特采用下述例子说明平 方律符合集中优势兵力的作战原则 如果 蓝方 1000 人与红方 1000 人交战 双方单个 战斗单位的平均战斗力相同 红方被蓝方分割成各 500 人的两半 假定蓝方以 1000 人 先攻击红方的 500 人 则蓝方将以损失 134 人的代价全歼红方的一半 接着蓝方以剩下 的 866 人再全歼红方的另一半 蓝方在这两次战斗中总共损失 293 人 直 接求解上述微分方程组可以得到蓝 红双方兵 力随时间变化的关系 式中 ch sh 为双曲余弦函数与双曲正弦函数 线性律 假定红 蓝两军各自使用武器 如火炮 对对方实 施远距离间接瞄准射击 火力集中在已知对方战斗单位的集结地区 该区域的大小与对方部队的数量 无关 此 时一方的损伤率与对方向其开火的战斗单位数量成正比 同时也与己方部队在该防区内的数量成正比 这时 可用下列微分方程组来描述双方战斗单位数量随时间的变化 t n t 的含义同平方律 经简单推导可知交战过 程中双方兵力符合下列状态方程 M m t N n t 式中 M N 的意义同平方律 交战双方不分胜负的条件为 M N 如果 M0 时 p x 0 1 y 0 时 p 0 y 0 特别地 若令 x y b x y b 以 pt x y 表示双方损失之和 为t t 0 时 甲方损失x 乙方损失y t x的损失状态概率 则在用pt x y 代替p x y 后 对于x x0 y y0 上 面的递推式依然成立 其中x0 y0分别为双方的初始实力 以上概率型方程经过均值关系的变换 可以推出确 定型方程 优化型兰彻斯特方程 它是为选择最优战术决策提出的方程 比较典型的有火力分配问题 在最简单的情 况下 假设甲方拥有两种实力 分别为y1 y2个单位 对乙方的消灭率各为b1 b2 乙方拥有实力单位x个 需 要组成两群按照 1 的比例分别对甲方的两种y1 y2单位进行攻击 消灭率各为 1 2 问题是如何选 择分配率 它是时间序列 在双方实力消灭过程满足 0 1 y1 y2 0 等诸条件下 使得在过程终止时T 乙方的现存实力相对价值函数达到最大 式中r1 r2分别表示甲 乙方的实 力补充率 r p q为价值系数 T为过程终止时间 这是研究兰彻斯特方程的新近理论模型 反映了与控制理 论结合的趋向 兰彻斯特方程理论虽有相当的进展 但由于作战现象的复杂性 只在大量重复 独立运用同类火力和简单 条件下的作战问题上取得了一些宏观分析的成果 为了解决实用的需要 从 20 世纪 60 年代以来 计算机作战 模拟技术发展很快 可用于取得近似结果和验证兰彻斯特方程 它与兰彻斯特方程的结合是今后的重要发展方 向 参考书目 P M Morse and G E Kimball Methods of Operations Research John W