几何综合之全等三角形手拉手模型(二)

全等三角形之手拉手模型专题 基本图形1 图 1 中 C 点为线段AB 上一点 ACM CBN 是等边三角形 AN 与BM 相等吗 说明理由 如图 2 C 点为线段AB 上一点 等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在 AB 的异侧 此时AN 与BM 相等吗 说明理由 如图 3 C 点为线段AB 外一点 ACM CBN 是等边三角形 AN 与BM 相等吗 说明理由 分析 题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明 由 已知条件 利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等 证明全等 即可得到线段相等 解 1 相等 证明如下 ACM CBN 是等边三角形 AC CM CN BC 又 ACN MCN 60 MCB MCN 60 ACN MCB ACN MCB AN BM 2 相等 证明如下 ACM CBN 是等边三角形 AC CM CN BC 又 ACN MCB ACN MCB AN BM 3 相等 证明如下 ACM CBN 是等边三角形 AC CM CN BC 又 ACN MCN 60 MCB MCN 60 ACN MCB ACN MCB AN BM 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质 可围 绕结论寻找全等三角形 运用全等三角形的性质判定线段相等 证得三 角形全等是正确解答本题的关键 变形2 1 如图1 点C 是线段AB 上一点 分别以AC BC 为边在AB 的同侧 作等边 ACM 和 CBN 连接AN BM 分别取BM AN 的中点E F 连接 CE CF EF 观察并猜想 CEF 的形状 并说明理由 2 若将 1 中的 以AC BC 为边作等边 ACM 和 CBN 改为 以 AC BC 为腰在AB 的同侧作等腰 ACM 和 CBN 如图2 其他条件不变 那么 1 中的结论还成立吗 若成立 加以证明 若不成立 请说明理 由 点评 1 先求证 ACN MCB 得出AN BM ANC MBA 再证 NFC BEC 得出CE CF BCE NCF 利用等边三角形的角度60 得出 ECF 60 证得结论成立 2 证明过程如上 1 中的结论只有CE CF 而 ECF 只等于等腰三角 形的顶角 60 得出结论不成立 解 1 如图1 CEF 是等边三角形 理由 等边 ACM 和 CBN AC MC BC NC ACN MCB 在 ACN 和 MCB 中 NC BC ACN MCB AC MC ACN MCB SAS AN MB ANC MBA 在 NFC 和 BEC 中 NC BC FNC EBC NF BE NFC BEC SAS EC CF BCE ECN 60 BCE NCF ECF 60 CEF 是等边三角形 2 如图2 不成立 首先 ACN MCB ACN 与 MCB 不全等 如果有两个等腰三角形的顶角相等 那么结论也不成立 证明方法与上面类似 只能得到CE CF 而 ECF 只等于等腰三角形的顶角 60 点评 此题综合考查等边三角形的性质与判定 三角形全等的判定与性 质 等腰三角形的性质等知识点 变形3 如图 在 ABC 中 已知 DBC 60 AC BC 又 ABC BCA CAB 都是 ABC 形外的等边三角形 而点D 在AC 上 且BC DC 1 证明 C BD B DC 2 证明 AC D DB A 证明 1 C BD 与 ABC 中 BC DC AB BC C BD 60 ABD ABC C BD ABC C D AC 又在 BCA 与 DCB 中 BC DC AC B C ACB B C