初三数学相似三角形典型例题

初三数学相似三角形初三数学相似三角形 一 相似三角形是初中几何的一个重点 同时也是一个难点 本节复习的目标是 1 理解线段的比 成比例线段的概念 会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或 两线段的比 了解黄金分割 2 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算 证明 会分线段成已知比 3 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题 4 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用 相似三角形是平面几何的主要内容之一 在中考试题中时常与四边形 圆的知识相结 合构成高分值的综合题 题型常以填空 选择 简答或综合出现 分值一般在 10 左右 有时也单独成题 形成创新与探索型试题 有利于培养学生的综合素质 二 重要知识点介绍 1 比例线段的有关概念 在比例式 中 叫外项 叫内项 叫前项 a b c d abcdadbcac b d 叫后项 d 叫第四比例项 如果 b c 那么 b 叫做 a d 的比例中项 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 使 AC2 AB BC 叫做把线段 AB 黄金分割 C 叫做 线段 AB 的黄金分割点 2 比例性质 基本性质 a b c d adbc 合比性质 a b c d ab b cd d 等比性质 a b c d m n bdn acm bdn a b 0 3 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 如图 l1 l2 l3 则 AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成 比例 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 4 相似三角形的判定 两角对应相等 两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与 原三角形相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 典型例题典型例题 例 1 1 在比例尺是 1 的 中国行政区 地图上 量得 A B 两城市的距离是 7 5 厘 米 那么 A B 两城市的实际距离是 千米 2 小芳的身高是 1 6m 在某一时刻 她的影子长 2m 此刻测得某建筑物的影长是 18 米 则此建筑物的高是 米 解 解 这是两道与比例有关的题目 都比较简单 1 应填 600 2 应填 14 4 例 2 如图 已知 DE BC EF AB 则下列比例式错误的是 A AD AB AE AC B CE CF EA FB C DE BC AD BD D EF AB CF CB 分析 分析 由 可知 都正确 而不能得到 DEBCEFABABD DE BC AD BD 故应选 C 利用平行线分线段成比例定理及推论求解时 一定要分清谁是截线 谁是被截 线 中很显然是两平行线段的比 因此应是利用三角相似后对应边成比C DE BC 例这一性质来写结论 即 DE BC AD AB AE AC 例 3 如图 在等边 ABC 中 P 为 BC 上一点 D 为 AC 上一点 且 APD 60 BPCDABC 1 2 3 求 的边长 解 解 ABC 是等边三角形 C B 60 又 PDC 1 APD 1 60 APB 1 C 1 60 PDC APB PDC APB PC AB CD PB 设 PC x 则 AB BC 1 x x x x 1 2 3 1 2 AB 1 x 3 ABC 的边长为 3 例 4 如图 四边形 ABEG GEFH HFCD 都是边长为 a 的正方形 1 求证 AEF CEA 2 求证 AFB ACB 45 分析 分析 因为 AEF CEA 有公共角 AEF 故要证明 AEF CEA 只需证明两个三角形中 夹 AEF CEA 的两边对应成比例即可 证明 证明 1 四边形 ABEG GEFH HFCD 是正方形 AB BE EF FC a ABE 90 AEaECa 22 AE EF a a EC AE a a 2 2 2 2 2 AE EF EC AE 又 CEA AEF CEA AEF 2 AEF CEA AFE EAC 四边形 ABEG 是正方形 AD BC AG GE AG GE ACB CAD EAG 45 AFB ACB EAC CAD EAG AFB ACB 45 例 5 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AC BD 交于点 O EF 经过点 O 且和两底平行 交 AB 于 E 交 CD 于 F 求证 OE OF 证明 证明 AD EF BC OE BC AE AB OE AD EB AB OE BC OE AD AE AB EB AB AB AB 1 111 BCADOE 同理 111 BCADOF OE OF 11 OEOF 从本例的证明过程中 我们还可以得到以下重要的结论 ADEFBC ADBCOE 111 ADEFBCOEOFEF 1 2 ADEFBC ADBCOE 111 1 1 2 2 EF OF 即 112 ADBCEF 这是梯形中的一个性质 由此可知 在这是梯形中的一个性质 由此可知 在 ADAD BCBC EFEF 中 已知任何两条线段的长度 都中 已知任何两条线段的长度 都 可以求出第三条线段的长度 可以求出第三条线段的长度 例 6 已知 如图 ABC 中 AD BC 于 D DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 AE AF AC AB 分析 分析 观察 AE AF AC AB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决 因 此可根据图中直角三角形多 因而相似三角形多的特点 可设法寻求中间量进行代 换 通过 可得 于是得到 同理ABDADE AB AD AD AE ADAEAB 2 可得到 故可得 即ADAFACAEABAFAC AE AF AC AB 2 证明 证明 在 ABD 和 ADE 中 ADB AED 90 BAD DAE ABD ADE AB AD AD AE AD2 AE AB 同理 ACD ADF 可得 AD2 AF AC AE AB AF AC AE AF AC AB 例 7 如图 D 为 ABC 中 BC 边上的一点 CAD B 若 AD 6 AB 8 BD 7 求 DC 的 长 分析 分析 本题的图形是证明比例中项时经常使用的 公边共角 的基本图形 我们可以 由基本图形中得到的相似三角形 从而得到对应边成比例 从而构造出关于所求线段的方 程 使问题得以解决 解 解 在 ADC 和 BAC 中 CAD B C C ADC BAC AD AB DC AC AC BC 又 AD 6 AD 8 BD 7 DC AC AC DC 7 3 4 解得 DC 9即 DC AC AC DC 3 4 7 3 4 例 8 如图 在矩形 ABCD 中 E 是 CD 的中点 BE AC 于 F 过 F 作 FG AB 交 AE 于 G 求证 AG2 AF FC 证明 证明 在矩形 ABCD 中 AD BC ADC BCE 90 又 E 是 CD 的中点 DE CE Rt ADE Rt BCE AE BE FG AB AE BE AG BF AG BF 在 Rt ABC 中 BF AC 于 F Rt BFC Rt AFB AF BF FB FC BF2 AF FC AG2 AF FC 例 9 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC 若 BCD 的平分线 CH AB 于点 H BH 3AH 且四 边形 AHCD 的面积为 21 求 HBC 的面积 分析 分析 因为问题涉及四边形 AHCD 所以可构造相似三角形 把问题转化为相似三角形 的面积比而加以解决 解 解 延长 BA CD 交于点 P CH AB CD 平分 BCD CB CP 且 BH PH BH 3AH PA AB 1 2 PA PB 1 3 AD BC PAD PBC SS PADPBC 19 SS PCHPBC 1 2 四边形 SS PADAHCD 27 四边形 S AHCD 21 S PAD 6 S PBC 54 SS HBCPBC 1 2 27 一 填空题 1 已知 则 ab ab 2 2 9 5 ab 2 若三角形三边之比为 3 5 7 与它相似的三角形的最长边是 21cm 则其余两边之和 是 cm 3 如图 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 BC 6 则 DE ADE 与 ABC 的面积之比为 4 已知线段 a 4cm b 9cm 则线段 a b 的比例中项 c 为 cm 5 在 ABC 中 点 D E 分别在边 AB AC 上 DE BC 如果 AD 8 DB 6 EC 9 那么 AE 6 已知三个数 1 2 请你添上一个数 使它能构成一个比例式 则这个数是3 7 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC EF BC 若 AD 12cm BC 18cm AE EB 2 3 则 EF 8 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC A 90 BD CD AD 6 BC 10 则梯形的面积为 二 选择题 1 如果两个相似三角形对应边的比是 3 4 那么它们的对应高的比是 A 9 16B 2 C 3 4D 3 73 2 在比例尺为 1 m 的某市地图上 规划出长 a 厘米 宽 b 厘米的矩形工业园区 该园 区的实际面积是 米 2 A B C D 104m ab 104 2 m ab abm 104 abm2 4 10 3 已知 如图 DE BC EF AB 则下列结论 AE EC BE FC AD BF AB BC EF AB DE BC CE CF EA BF 其中正确的比例式的个数是 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 4 如图 在 ABC 中 AB 24 AC 18 D 是 AC 上一点 AD 12 在 AB 上取一点 E 使 A D E 三点为顶点组成的三角形与 ABC 相似 则 AE 的长是 A 16B 14C 16 或 14D 16 或 9 5 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 D 是 BC 的中点 AE AD 交 CB 的延长线于点 E 则下列结论正确的是 A AED ACBB AEB ACD C BAE ACED AEC DAC 三 解答题 1 如图 AD EG BC AD 6 BC 9 AE AB 2 3 求 GF 的长 2 如图 ABC 中 D 是 AB 上一点 且 AB 3AD B 75 CDB 60 求证 ABC CBD 3 如图 BE 为 ABC 的外接圆 O 的直径 CD 为 ABC 的高 求证 AC BC BE CD 4 如图 Rt ABC 中 ACB 90 AD 平分 CAB 交 BC 于点 D 过点 C 作 CE AD 于 E CE 的延长线交 AB 于点 F 过点 E 作 EG BC 交 AB 于点 G AE AD 16 AB 4 5 1 求证 CE EF 2 求 EG 的长 参考答案参考答案 一 填空题 1 19 132 243 3 1 4 4 65 12 6 只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可 如 等 2 2 2 2 7 14 48 16 6 二 选择题 1 C 2 D 3 C 4 D 5 C 三 解答题 1 解 解 AD EG BC 在 ABC 中 有 EG BC AE AB 在 ABD 中 有 EF AD BE AB AE AB 2 3 BE AB 1 3 EGBCEFAD 2 3 1 3 BC 9 AD 6 EG 6 EF 2 GF EG EF 4 2 解 解 过点 B 作 BE CD 于点 E CDB 60 CBD 75 DBE 30 CBE CBD DBE 75 30 45 CBE 是等腰直角三角形 AB 3AD 设 AD k 则 AB 3k BD 2k DE k BE 3k BCk 6 BD BC k k 2 6 2 3 BC AB k k 6 3 2 3 BD BC BC AB ABC CBD 3 连结 EC BCB