初二数学解题技巧

全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种 常见辅助线的作法有以下几种 1 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用 的思维模式是全等变换中的 旋转 2 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某 条线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种 作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 3 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等 变换中的 对折 4 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的思维模式是三 角形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 5 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段 连接起来 利用三角形面积的知识解答 一 一 倍长中线 线段 造全等倍长中线 线段 造全等 例例 1 已知 如图 3 所示 AD 为 ABC 的中线 求证 AB AC 2AD 分析 要证 AB AC 2AD 由图形想到 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 但它的左边比要证结论多 BD CD 故不能直接证出此题 而由 2AD 想到要构造 2AD 即 加倍中线 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 BE CE EDC B A 3 图 例 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE A BC D E 3 图 因为 BD DC AC 所以 AC 1 2BC 因为 E 是 DC 中点 所以 EC 1 2DC 1 2AC ACE BCA 所以 BCA ACE 所以 ABC CAE 因为 DC AC 所以 ADC DAC ADC ABC BAD 所以 ABC BAD DAE CAE 所以 BAD DAE 即 AD 平分 BAE 应用 应用 二 截长补短二 截长补短 例例 1 已知 如图 1 所示 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 分析 要证 BE CF EF 可利用三角形三 边关系定理证明 须把 BE CF EF 移到同一个三角形中 而由已知 1 2 3 4 可在角的两边截取相等的线段 利 用全等三角形的对应边相等 把 EN FN EF 移到同个三角形中 证明 在 DN 上截取 DN DB 连接 NE NF 延长 FD 到 G 使 DG FD 再连结 EG BG 1 如图 中 AB 2AC AD 平分 且 AD BD 求证 CD ACABC BAC 证明 取 AB 中点 E 连接 DE AD BD DE AB 即 AED 90 等腰三角形三线合一 AB 2AC AE AC 又 EAD CAD AD 平分 BAC AD AD A B C D EF N 1 图 1 23 4 E D C B A P Q C B A AED ACD SAS C AED 90 CD AC 2 如图 AC BD EA EB 分别平分 CAB DBA CD 过点 E 求证 AB AC BD 在 AB 上取点 N 使得 AN AC CAE EAN AE 为公共边 所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以 ANE ACE 又 AC 平行 BD 所以 ACE BDE 180 而 ANE ENB 180 所以 ENB BDE NBE EBN BE 为公共边 所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD BN 所以 AB AN BN AC BD 3 如图 已知在内 P Q 分别在 BC CA 上 并且ABCA 0 60BAC 0 40C AP BQ 分别是 的角平分线 求证 BQ AQ AB BPBAC ABC 证明 做辅助线 PM BQ 与 QC 相交与 M 首先算清各角的度数 APB 180 BAP ABP 180 30 80 70 且 APM 180 APB MPC 180 70 QBC 同位角相等 180 70 40 70 APB APM 又 AP 是 BAC 的角平分线 BAP MAP AP 是公共边 C D B A D C B A ABP AMP 角边角 AB AM BP MP 在 MPC 中 MCP MPC 40 MP MC AB BP AM MP AM MC AC 在 QBC 中 QBC QCB 40 BQ QC BQ AQ AQ QC AC BQ AQ AB BP 4 角平分线 角平分线如图 在四边形 ABCD 中 BC BA AD CD BD 平分 ABC 求证 0 180 CA 延长 BA 作 DF BA 的延长线 作 DE BC 1 2 DE DF 角分线上的点到角的两边距离相等 在 Rt DFA 与 Rt DEC 中 AD DC DF DE Rt DFA Rt DEC HL 3 C 因为 4 3 180 4 C 180 即 A C 180 P 2 1 D C B A 5 如图在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任意一点 求证 AB AC PB PC 延长 AC 至 E 使 AE AB 连结 PE 然后证明一下 ABP AEP 得到 PB PE 备用 角边角证很容易 吧 PCE 中 EC PE PC EC AE AC AE AB EC AB AC 又 PB PE PE PC PB PC AB AC PB PC 应用 应用 三 平移变换三 平移变换 O E D CB A 例1 AD 为 ABC 的角平分线 直线 MN AD 于 A E 为 MN 上一点 ABC 周长记为 A P EBC 周长记为 求证 B P B P A P 例 2 如图 在 ABC 的边上取两点 D E 且 BD CE 求证 AB AC AD AE ED CB A 四 借助角平分线造全等四 借助角平分线造全等 1 如图 已知在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 相交于点 O 求证 OE OD 在 AC 上取点 F 使 AF AE AD 是角 A 的平分线 角 EAO 角 FAE AO AO 三角形 AEO 与 AFO 全等 两边夹角相等 EO FO 角 AOE 角 AOF CE 是角 C 的平分线 角 DCO 角 FCO 角 B 60 角 A 角 C 180 60 120 角 COD 角 CAO 角 OCA 角 A 2 角 C 2 60 度 角 OCF 180 角 AOF 角 COD 180 60 60 60 角 OCF 角 COD OC OC 三角形 OCD 与 CFO 全等 两边夹角相等 CF CD AC AF CF AE CD 即 AE CD AC 2 如图 ABC 中 AD 平分 BAC DG BC 且平分 BC DE AB 于 E DF AC 于 F 1 说明 BE CF 的理由 2 如果 AB AC 求 AE BE 的长 ab 证明 连接 BD CD DG BC 于 G 且平分 BC 所以 GD 为 BC 垂直平分线 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD CD 角平分线上的点到角两边距离相等 AD 平分 BAC DE AB 于 E DF AC 的延长线于 F 所以 DE DF 在 RT BED RT CFD 中 DE DF N M E F A C B A F E D CB A BD CD RT BED RT CFD HL BE CF 应用 应用 五 旋转五 旋转 例1 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 BE DF EF 求 EAF 的度数 将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度 至三角形ABG 则 GE GB BE DF BE EF 又 AE AE AF AG 所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以 EAF GAE BAE GAB BAE DAF 又 EAF BAE DAF 90 所以 EAF 45 度 例 2 D 为等腰斜边 AB 的中点 DM DN DM DN 分别交 BC CA 于点 E F Rt ABC 1 当绕点 D 转动时 求证 DE DF MDN 2 若 AB 2 求四边形 DECF 的面积 做 DP BC 垂足为 P 做 DQ AC 垂足为 Q D 为中点 且 ABC 为等腰 RT ABC DP DQ BC AC 又 FDQ PDE 旋转 DQF DPE 90 DQF DPE S DQF S DPE 又 S 四边形 DECF S 四边形 DFCP S DPE S 四边形 DECF S 四边形 DFCP S DQF BC AC AC AC BC 定 值 四边形 DECF 面积不会改变