初三圆中常见的辅助线的

第 1 页 共 4 页 O C B A O C B A O C B A 圆中常见的辅助线的作法 1 遇到弦时 解决有关弦的问题时 常常添加弦心距 或者作垂直于弦的半径 或直径 或再连结过弦的端点的半径 作用 利用垂径定理 利用圆心角及其所对的弧 弦和弦心距之间的关系 利用弦的一半 弦心距和半径组成直角三角形 根据勾股定理求有关量 例例 1 如图 已知 ABC 内接于 O A 45 BC 2 求 O 的面积 例例 2 如图 O 的直径为 10 弦 AB 8 P 是弦 AB 上一个动点 那么 OP 的长的取值范围是 2 遇到有直径时 常常添加 画 直径所对的圆周角 作用 利用圆周角的性质 得到直角或直角三角形 例例 3 如图 AB 是 O 的直径 AB 4 弦 BC 2 B 3 遇到 90 的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用 利用圆周角的性质 可得到直径 例例 4 如图 AB AC 是 O 的的两条弦 BAC 90 AB 6 AC 8 O 的半径是 第 2 页 共 4 页 4 遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点 构成等腰三角形 还可连结圆周上一点和弦的两个端点 作用 可得等腰三角形 据圆周角的性质可得相等的圆周角 例例 5 如图 弦 AB 的长等于 O 的半径 点 C 在弧 AMB 上 则 C 的度数是 5 遇到有切线时 1 常常添加过切点的半径 连结圆心和切点 作用 利用切线的性质定理可得 OA AB 得到直角或直角三角形 例例 6 如图 AB 是 O 的直径 弦 AC 与 AB 成 30 角 CD 与 O 切于 C 交 AB 的延长线于 D 求证 AC CD 2 常常添加连结圆上一点和切点 作用 可构成弦切角 从而利用弦切角定理 6 遇到证明某一直线是圆的切线时 1 若直线和圆的公共点还未确定 则常过圆心作直线的垂线段 再证垂足到圆心的距离等于半径 例例 7 7 如图所示 已知 AB 是 O 的直径 AC L 于 C BD L 于 D 且 AC BD AB 求证 直线 L 与 O 相切 2 若直线过圆上的某一点 则连结这点和圆心 即作半径 再证其与直线垂直 例例 8 8 如图 ABO 中 OA OB 以 O 为圆心的圆经过 AB 中点 C 且分别交 OA OB 于点 E F 求证 AB 是 O 切线 第 3 页 共 4 页 7 遇到两相交切线时 切线长 常常连结切点和圆心 连结圆心和圆外的一点 连结两切点 作用 据切线长及其它性质 可得到 角 线段的等量关系 垂直关系 全等 相似三角形 例例 9 如图 P 是 O 外一点 PA PB 分别和 O 切于 A B C 是弧 AB 上 任意一点 过 C 作 O 的切线分别交 PA PB 于 D E 若 PDE 的周 长为 12 则 PA 长为 8 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点 或过内心作三角形各边的垂线段 作用 利用内心的性质 可得 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线 内心到三角形三条边的距离相等 例例 1010 如图 ABC 中 A 45 I 是内心 则 BIC 例例 11 如图 Rt ABC 中 AC 8 BC 6 C 90 I 分别切 AC BC AB 于 D E F 求 Rt ABC 的 内心 I 与外心 O 之间的距离 9 遇到三角形的外接圆时 连结外心和各顶点 作用 外心到三角形各顶点的距离相等 课后冲浪课后冲浪 一 证明解答题 16 已知 P 是 O 外一点 PB PD 分别交 O 于 A B 和 C D 且 AB CD 求证 PO 平分 BPD 17 如图 ABC 中 C 90 圆 O 分别与 AC BC 相切于 M N 点 O 在 AB 上 如果 AO 15 BO 10 求圆 O 的半径 A B C D E P O A C B M N o B A D C PO 第 4 页 共 4 页 18 已知 ABCD 的对角线 AC BD 交于 O 点 BC 切 O 于 E 点 求证 AD 也和 O 相切 A B C D O E 19 如图 学校 A 附近有一公路 MN 一拖拉机从 P 点出发向 PN 方向行驶 已知 NPA 30 AP 160 米 假使拖拉 机行使时 A 周围 100 米以内受到噪音影响 问 当拖拉机向 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪音影响 请说明理由 如果拖拉机速度为 18 千米 小时 则受噪音影响的时间是多少秒 21 如图 已知 AB 是 的直径 CD 是弦 AE CD 垂足为 E BF CD 垂足为 F 求证 DE CF O 23 已知 如图 AB是 O的直径 BC是 O的切线 连AC交 O于D 过D作 O的切线EF 交BC于E点 求证 OE AC 三 探索题 24 已知 图 a AB 是 O 的直径 BC 是 O 的切线 切点为 B OC 平行于弦 AD 求证 1 DC 是 O 的切线 2 过 D 点作 DE AB 图 b