双曲线经典知识点总结

1 4 双曲线知识点总结双曲线知识点总结 班级班级 姓名姓名 知识点一 双曲线的定义在平面内 到两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 大于 0 且 的动点的轨迹叫作双曲线 这两个定点 叫双曲线的焦点 两焦点的距离 叫作双曲线的焦距 注意 1 双曲线的定义中 常数应当满足的约束条件 这可以借 助于三角形中边的相关性质 两边之差小于第三边 来理解 2 若去掉定义中的 绝对值 常数满足约束条件 则动 点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支 若 则动点轨迹仅表 示双曲线中靠焦点的一支 3 若常数满足约束条件 则动点轨迹是以 F1 F2为端点的两条射线 包括端点 4 若常数满足约束条件 则动点轨迹不存在 5 若常数 则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线 知识点二 双曲线的标准方程 1 当焦点在轴上时 双曲线的标准方程 其中 2 当焦点在轴上时 双曲线的标准方程 其中 注意 1 只有当双曲线的中心为坐标原点 对称轴为坐标轴建立直角坐标系时 才能得到双曲线的 标准方程 2 在双曲线的两种标准方程中 都有 3 双曲线的焦点总在实轴上 即系数为正的项所对应的坐标轴上 当的系数为正时 焦点在轴 上 双曲线的焦点坐标为 当的系数为正时 焦点在轴上 双曲线的焦点坐标 为 知识点三 双曲线的简单几何性质 双曲线 a 0 b 0 的简单几何性质 1 对称性 对于双曲线标准方程 a 0 b 0 把 x 换 成 x 或把 y 换成 y 或把 x y 同时换成 x y 方程都不变 所以双曲线 a 0 b 0 是以 x 轴 y 轴为对称轴的轴对称图形 且是以原点为对称中心的中心 对称图形 这个对称中心称为双曲线的中心 2 范围 双曲线上所有的点都在两条平行直线 x a 和 x a 的两侧 是无限延伸的 因此双曲线 上点的横坐标满足 x a 或 x a 3 顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点 双曲线 a 0 b 0 与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点 坐标分别为 A1 a 0 A2 a 0 顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点 两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴 设 B1 0 b B2 0 b 为 y 轴上的两个点 则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴 实轴和虚轴的长度分别为 A1A2 2a B1B2 2b a 叫做双曲线的实 半轴长 b 叫做双曲线的虚半轴长 注意 双曲线只有两个顶点 而椭圆有四个顶点 不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线的焦点总在实轴上 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 4 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率 用 e 表示 记作 因为 c a 0 所以双曲线的离心率 由 c2 a2 b2 可得 所以决定双曲线的开口大小 越大 e 也越大 双曲线开 口就越开阔 所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度 等轴双曲线 所以离心率 5 渐近线 经过点 A2 A1作 y 轴的平行线 x a 经过点 B1 B2作 x 轴的平行线 y b 四条直 线围成一个矩形 如图 矩形的两条对角线所在直线的方程是 我们把直线叫 做双曲线的渐近线 注意 双曲线与它的渐近线无限接近 但永不相交 知识点四 双曲线与的区别和联系 标准方程 图形 焦点 焦距性质 范围 2 4 对称性关于 x 轴 y 轴和原点对称 顶点 轴实轴长 虚轴长 离心率 渐近线方程 知识点五 双曲线的渐近线 1 已知双曲线方程求渐近线方程 若双曲线方程为 则其渐近线方程为注意 1 已知双曲线方程 将双曲线 方程中的 常数 换成 0 然后因式分解即得渐近线方程 2 已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为 则可设双曲线方程为 根据已知条件 求出即可 3 与双曲线有公共渐近线的双曲 线方程可设为 焦点在轴上 焦点在 y 轴上 4 等轴双 曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直 为 因此等轴双曲线可设为 知识点六 双曲线图像中线段的几何特征 双曲线 如图 1 实轴长 虚轴长 焦距 2 离心率 3 顶点到焦点的距离 4 中结合定义与余 弦定理 将有关线段 和角结合起来 1 如何确定双曲线的标准方程 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点 对称轴是坐标轴 双曲线 的方程才是标准方程形式 此时 双曲线的焦点在坐标轴上 2 双曲线标准方程中的三个量 a b c 的几何意义 双曲线标准方程中 a b c 三个量的大小与坐标系无关 是由双曲线本身所确定的 分别表示 双曲线的实半轴长 虚半轴长和半焦距长 均为正数 且三个量的大小关系为 c a c b 且 c2 b2 a2 3 如何由双曲线标准方程判断焦点位置 双曲线的焦点总在实轴上 因此已知标准方程 判断焦点位置的方法是 看 x2 y2的系数 如 果 x2项的系数是正的 那么焦点在 x 轴上 如果 y2项的系数是正的 那么焦点在 y 轴上 注意 对 于双曲线 a 不一定大于 b 因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上 4 方程 Ax2 By2 C A B C 均不为零 表示双曲线的条件 方程 Ax2 By2 C 可化为 即 所以只有 A B 异号 方程表示双曲线 当时 双曲线的焦点在 x 轴上 当时 双曲线的焦点在 y 轴上 5 求双曲线标准方程的常用方法 待定系数法待定系数法 由题目条件确定焦点的位置 从而确定方程的 类型 设出标准方程 再由条件确定方程中的参数 的值 其主要步骤是 先定型 再定量 定义法定义法 由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形 然后再根据定义确定方程 注意 若定义中 差的绝对值 中的绝对值去掉 点的集合成为双曲线的一支 先确定方程类 型 再确定参数 a b 即先定型 再定量 若两种类型都有可能 则需分类讨论 6 如何解决与焦点三角形 PF1F2 P 为双曲线上的点 有关的计算问题 与焦点三角形有关的计算问题时 常考虑到用双曲线的定义及余弦定理 或勾股定理 三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题 将有关线段 有关角结合起来 建立 之间的关系 3 4 7 如何确定离心率 e 的取值情况与双曲线形状的关系 离心率 因为 c2 a2 b2 用 a b 表示为 当 e 越大时 越大 即渐近线夹角 含 x 轴 越大 故开口越大 反 之 e 越小 开口越小 离心率反映了双曲线开口的大小 且 e 1 8 椭圆 双曲线的区别和联系 椭圆双曲线 根据 MF1 MF2 2a根据 MF1 MF2 2a a c 0 a2 c2 b2 b 0 0 a c c2 a2 b2 b 0 a b 0 a 0 b 0 a 不一定大于 b 标准方程统一为 类型一 双曲线的定义 1 已知 O1 x 5 2 y2 4 O2 x 5 2 y2 9 1 若动圆 P 与 1 2均内切 求动圆圆心 P 点的轨迹 2 若动圆 Q 与 1 2均外切 求动 圆圆心 Q 点的轨迹 解析 1 设 P 半径为 R O1与 O2相离 PO1 R 2 PO2 R 3 PO1 PO2 1 又 O1O2 10 由双曲线的定义 P 点的轨迹是以 O1 O2为焦点 2a 1 2c 10 的双曲线的右支 2 设 Q 半径为 r 则 QO1 r 2 QO2 r 3 QO2 QO1 1 又 O1O2 10 由双曲线的定义 Q 点的轨迹是以 O1 O2为焦点 2a 1 2c 10 的双曲线的左支 举一反三 变式 1 已知定点 F1 2 0 F2 2 0 平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹为双曲线 的是 A PF1 PF2 3B PF1 PF2 4C PF1 PF2 5 D PF1 2 PF2 2 4 答案 A 变式 2 已知点 F1 0 13 F2 0 13 动点 P 到 F1与 F2的距离之差的绝对值为 26 则动点 P 的轨迹方程为 A y 0 B y 0 x 13 或 x 13 C x 0 y 13 D 以上都不对 答案 C 变式 3 已知点 P x y 的坐标满足 则动点 P 的轨迹是 A 椭圆 B 双曲线中的一支 C 两条射线 D 以上都不对 答案 B 类型二 双曲线的标准方程 2 求与双曲线有公共焦点 且过点的双曲线 的标准方程 解法一 依题意设双曲线方程为 1由已知得 又双曲线过点 故所求双曲线的方程为 解法二 依题意设双曲线方程为 将点代入 解得 所以双曲线方程为 变式 求中心在原点 对称轴为坐标轴 且顶点在轴 焦距为 10 的双曲线的标准方程 答案 3 已知双曲线的两个焦点 F1 F2之间的距离为 26 双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24 求双曲线的标准方程 解析 由题意得 2a 24 2c 26 a 12 c 13 b2 132 122 25 当双曲线的焦点在 x 轴上时 双曲线的方程为 当双曲线的焦点在 y 轴上时 双曲线 的方程为 总结升华 求双曲线的标准方程就是求 a2 b2的值 同时还要确定焦点所在的坐标轴 双曲线 所在的坐标轴 不像椭圆那样看 x2 y2的分母的大小 而是看 x2 y2的系数的正负 类型三 双曲线的几何性质 4 方程表示双曲线 求实数 m 的取值范围 4 4 解析 由题意得或或 实数 m 的取值范围为 总结升华 方程 Ax2 By2 1 表示双曲线时 A B 异号 变式 1 k 9 是方程表示双曲线的 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 答案 B 变式 2 求双曲线的焦距 答案 8 根据下列条件 求双曲线方程 1 与双曲线有共同的渐近线 且过点 2 一渐近线方程为 且双曲线过点 解析 1 解法一 当焦点在 x 轴上时 设双曲线的方程为 由题意 得 解得 所以 双曲线的方程为 当焦点在 y 轴上时 设双曲线的方程为 由题意 得 解得 舍去 综上所得 双曲线的方程为 解法二 设所求双曲线方程为 将点代入得 所以双曲线 方程为即 2 依题意知双曲线两渐近线的方程是 故设双曲 线方程为 点在双曲线上 解得 所 求双曲线方程为 总结升华 求双曲线的方程 关键是求 在解题过程中应熟悉各元素 及 准线 之间的关系 并注意方程思想的应用 若已知双曲线的渐近线方程 可设双曲线 方程为 总结升华 总结升华 双曲线的渐近线方程为即 若双曲线的方程为 焦点在轴上 焦点在 y 轴上 则其渐近线方程为 总结升华总结升华 求双曲线的方程 关键是