单指数模型课件

现代投资组合理论与投资风险管理现代投资组合理论与投资风险管理 单指数模型单指数模型 一 模型概述一 模型概述 单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影 响或指数 随意观察股票价格 可以看出 当股市上涨的 时候 大多数股价也会上涨 当股市下跌的时候 大多数 股价也会下跌 这说明证券收益之间可能相关的原因之一 是由于对市场变动的共同反应 代表这种相关性的一个有 用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得 到 股票收益 iiim RaR 代表股票收益 i R 代表市场指数的收益率 随机变量 m R 代表股票 的收益中独立于市场表现的部分 随机变量 i a i 度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度 i 项代表收益中独立于市场收益的部分 将其分解成两部 i a 分 用表示的期望值 表示中的随机变量 i i a i e i a 0 i E e 即 iii ae 一只股票的收益方程现在可以写为 iiimi RRe 和都是随机变量 分别以和表示它们的标准差 i e m R ei m 单指数模型的基本方程基本方程 iiimi RRe 其中 对所有股票 0 i E e 1 iN 二 模型的假设条件二 模型的假设条件 1 指数与特有收益不相关 0 imm E e RR 1 iN 2 证券仅通过对市场的共同反应相互关联 0 ij E ee 1 1 iNjNij 及且 三 单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计三 单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计 算算 在单指数模型的假设条件下 我们可以推倒出期望收益 标准差和协方差 结果是 1 收益均值 imii RR 2 证券收益的方差 2222 iimei 3 证券 和 收益之间的协方差 ij 2 ijijm 这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投 资组合的期望收益率和方差的计算 任何组合的期望收益是 111 NNN piiiiiim iii RX RXXR 另 则 1 N ii i p X 1 N pii i X ppmp RR 我们知道一个股票组合的方差的公式是 222 111 NNN piiijij iij ij XXX 代入前面和的结果 我们得到 2 i ij 2222222 1111 NNNN piimijijmiei iiji ij XXXX 进一步还可简化为 2222 111 222 1 2222 1 11 NNN pijijmiei iji N miei i N pmiei i NN iijj ij XX X X X XX 四 四 单因素模型的估计和应用单因素模型的估计和应用 1 估计与 i i e 首先举例说明与 的值的得来 表 1 是投资者在过去 5 个 i i e 月可能观察到的某只股票的股票收益及市场收益 暂且假 定 如何求与 的值 1 5 i i i e 表 1 单指数模型收益分解 月 股票收益 市场收益 i R i im R i e 110410262 232323 2 3158152121 496929 2 5303201 合计40204010300 2 估计贝塔 1 估计历史贝塔 一只股票的收益方程可以写为 iiimi RRe 如果假设 和是固定的 不随时间而变化 那么同样 i i 2 ei 的方程在任何时点都成立 这样完全可以最小二乘法来估 计以及 i i 2 度量贝塔向 1 回归的趋势 布卢姆技术 研究发现预测期的贝塔比根据历史数据得到的估计值更接 近于 1 下一步要修正历史贝塔 以体现出这一趋势 布卢 姆通过直接度量向 1 进行的这种调整 并假设在一个时期 进行的调整是对下一时期调整的良好估计来修正历史贝塔 具体操作举例说明如下 计算出 1948 1954 年所有股票的 贝塔 然后对同样的股票计算出 1955 1961 年的贝塔 再 将后一期的贝塔对之前的贝塔进行回归 得到估计方程 21 0 3430 677 ii 它度量了预测的贝塔比根据历史数据更接近于 1 的趋势 优点在于这一方程式降低了较高的贝塔值 而提高了较低 的贝塔值 3 度量贝塔向 1 回归的趋势 瓦希切克技术 预测期的实际贝塔一般比根据历史数据得到的估计值更接 近于平均贝塔 调整这一趋势的一种直接办法就是将每一 个贝塔向平均贝塔调整 理想的情况是向平均值进行调整 的量对所有的股票不是相等的 而是按照贝塔不确定性 抽样误差 的大小来调整 抽样误差越大 与平均值相 差悬殊的可能性就越大 出于抽样误差所需的调整就越大 表示历史时期所有样本股票的平均贝塔 将和证券 i 的 1 1 历史贝塔进行加权平均 权重如下 对 1 11 2 22 i 1 i 对 1 11 2 22 i i 1 这些权重之和为 1 并且贝塔估计的不确定性越多 它的权 重就越低 证券 i 的预测贝塔是 11 1111 22 211 2222 i ii ii 这样的加权方法将标准误差高的观察值向均值调整的幅度 要大于标准误差低的观察值 4 基本面贝塔 贝塔是源自股票收益与市场收益之间关系的风险指标 但 是我们知道一个公司的风险是由某些公司的基本面和公司 股票的市场特性共同决定的 首先确定公司基本面变量 然后将相关的基本面变量同时 纳入分析中 通常的做法是通过多元回归分析将贝塔与几 个基本面变量联系起来 估计以下形式的方程式 01122iNNi XXXe 五 单指数模型条件下最有投资组合的估计和求解五 单指数模型条件下最有投资组合的估计和求解 在接受单指数模型的标准形式作为描述证券之间共同波动 的模型的条件下 可以用一个单一数字来度量是否将一个 股票纳入最优组合 大大便利了最优组合的计算 由于超 额收益与贝塔的比率度量的是一个证券每单位不可分散风 险的超额收益 因此任何股票的可取性直接与它的超额收 益与贝塔的比率相关 一只股票是否被包括在最优组合中只取决于它的超额收益 对贝塔的比率大小 选择多少只股票取决于一个特定的截 止率 决定最优组合中应该包括哪些股票的规则如下 1 求出每只备选股票的 超额收益与贝塔的比率 并 按照从高到低的顺序排列 2 最优组合是由所有的 超额收益与贝塔的比率 高 于一个特定的截止率的股票构成 C 1 计算截止率 按照超额收益与风险的比率从高到低对股票进行了排列 对一个包含 i 个股票的组合来说 由下式给出 i C 2 2 1 2 2 2 1 1 i jFj m j ej i i j m j ej RR C 2 确定截止率 的值是根据属于最优组合的所有证券的特性计算出来的 C 为了确定 有必要在假设最优组合包含不同数目的证券情 C 况下计算截止率的值 令为的一个可能 假设 i 个证券 i C C 属于最优组合时计算的值 i C 因为证券已按照超额收益与贝塔的比率从高到低进行了排 列 我们知道如果某一证券属于最优组合 所有排位更高 的股票也将属于最优组合 我们这样计算变量的值 程序 i C 如下 假设排位第一的证券是在最优组合中 i 1 然后 再假设排位第一和第二的证券是在最优组合中 i 2 接下 来再假设排位第一 第二和第三的证券是在最优组合中 i 3 以此类推 这些都是可能值 当用于计算的 i C C i C 证券的超额收益与贝塔的比率大于