3-1-3-多次相遇和追及问题.题库教师版.doc

3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 1 of 14 3 1 33 1 3 多次相遇和追及问题多次相遇和追及问题 教学目标教学目标 1 学会画图解行程题 2 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3 能够利用比例解多人相遇和追及问题 知识精讲知识精讲 板块一 由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕 这一条基本关系式展开的 多人相遇与追及问题虽然较复 路程速度时间 杂 但只要抓住这个公式 逐步表征题目中所涉及的数量 问题即可迎刃而解 例例 1 难度等级 难度等级 甲 乙两名同学在 甲 乙两名同学在周长为周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步 甲每米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步 甲每300 秒钟跑秒钟跑米 乙每秒钟跑米 乙每秒钟跑米 问 他们第十次相遇时 甲还需跑多少米才能回到出发点 米 问 他们第十次相遇时 甲还需跑多少米才能回到出发点 3 54 解析解析 从开始到两人第十次相遇的这段时间内 甲 乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍 为 米 因为甲的速度为每秒钟跑米 乙的速度为每秒钟跑 4 米 所以这段时间内甲300 103000 3 5 共行了米 也就是甲最后一次离开出发点继续行了 200 米 可知甲还需行 3 5 30001400 3 54 米才能回到出发点 300200100 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲乙两人在相距 甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步 甲的速度是每秒米的直路上来回跑步 甲的速度是每秒 3 米 乙的速度是米 乙的速度是 每秒每秒 2 米 如果他们同时分别从直路两端出发 米 如果他们同时分别从直路两端出发 10 分钟内共相遇几次 分钟内共相遇几次 解析解析 17 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙两人从甲 乙两人从 400 米的环形跑道上一点米的环形跑道上一点 A 背向同时出发 背向同时出发 8 分钟后两人第五次分钟后两人第五次 相遇 已知每秒钟甲比乙多走相遇 已知每秒钟甲比乙多走 0 1 米 那么两人第五次相遇的地点与点米 那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程沿跑道上的最短路程 是多少米是多少米 解析解析 176 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 2 of 14 二 运用倍比关系解多次相遇问题 例例 2 难度等级 难度等级 上午 上午 8 点点 8 分 小明骑自行车从家里出发 分 小明骑自行车从家里出发 8 分钟后 爸爸骑摩托车去追他 分钟后 爸爸骑摩托车去追他 在离家在离家 4 千米的地方追上了他千米的地方追上了他 然后爸爸立即回家 到家后又立刻回头去追小明 再追上小明的然后爸爸立即回家 到家后又立刻回头去追小明 再追上小明的 时候 离家恰好是时候 离家恰好是 8 千米 这时是几点几分 千米 这时是几点几分 解析解析 画一张简单的示意图 图上可以看出 从爸爸第一次追上到第二次追上 小明走了 8 4 4 千米 而爸爸骑的距离是 4 8 12 千米 这就知道 爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12 4 3 倍 按照这个倍数计算 小 明骑 8 千米 爸爸可以骑行 8 3 24 千米 但事实上 爸爸少用了 8 分钟 骑行了 4 12 16 千米 少骑行 24 16 8 千米 摩托车的速度是 8 8 1 千米 分 爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟 8 8 16 32 所以这时是 8 点 32 分 例例 3 难度等级 难度等级 甲 乙两车分别同时从甲 乙两车分别同时从 A B 两地相对开出 第一次在离两地相对开出 第一次在离 A 地地 95 千米处相千米处相 遇 相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回 第二次在离遇 相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回 第二次在离 B 地地 25 千米处相遇 求千米处相遇 求 A B 两两 地间的距离是多少千米 地间的距离是多少千米 解析解析 画线段示意图 实线表示甲车行进的路线 虚线表示乙车行进的路线 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A B 两地间距离 第二次相遇意味着两车共行了三 个 A B 两地间的距离 当甲 乙两车共行了一个 A B 两地间的距离时 甲车行了 95 千米 当它们共行三个 A B 两地间的距离时 甲车就行了 3 个 95 千米 即 95 3 285 千米 而 这 285 千米比一个 A B 两地间的距离多 25 千米 可得 95 3 25 285 25 260 千米 巩固巩固 难度级别 难度级别 甲 乙二人以均匀的速度分别从 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一两地同时出发 相向而行 他们第一 次相遇地点离次相遇地点离 A 地地 4 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地地 3 千千 米处第二次相遇 求两次相遇地点之间的距离米处第二次相遇 求两次相遇地点之间的距离 解析解析 4 3 12 千米 通过画图 我们发现甲走了一个全程多了回来那一段 就是距 B 地的 3 千米 所 以全程是 12 3 9 千米 所以两次相遇点相距 9 3 4 2 千米 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙二人以均匀的速度分别从 甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一两地同时出发 相向而行 他们第一 次相遇地点离次相遇地点离 A 地地 7 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地地 5 千千 米处第二次相遇 求两次相遇地点之间的距离米处第二次相遇 求两次相遇地点之间的距离 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 3 of 14 解析解析 4 千米 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙二人以均匀的速度分别从甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一两地同时出发 相向而行 他们第一 次相遇地点离次相遇地点离 A 地地 6 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地地 4 千千 米处第二次相遇 求两人第米处第二次相遇 求两人第 5 次相遇地点距次相遇地点距 B 多远多远 解析解析 12 千米 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙二人以均匀的速度分别从甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一两地同时出发 相向而行 他们第一 次相遇地点离次相遇地点离 A 地地 7 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地地 3 千千 米处第二次相遇 求第三次相遇时共走了多少千米米处第二次相遇 求第三次相遇时共走了多少千米 解析解析 90 千米 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙二人以均匀的速度分别从甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一两地同时出发 相向而行 他们第一 次相遇地点离次相遇地点离 A 地地 3 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地地 2 千千 米处第二次相遇 求第米处第二次相遇 求第 2000 次相遇地点与第次相遇地点与第 2001 次相遇地点之间的距离次相遇地点之间的距离 解析解析 4 千米 巩固巩固 难度等级 难度等级 甲 乙二人以均匀的速度分别从甲 乙二人以均匀的速度分别从 A B 两地同时出发 相向而行 他们第一两地同时出发 相向而行 他们第一 次相遇地点离次相遇地点离 A 地地 18 千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距千米 相遇后二人继续前进 走到对方出发点后立即返回 在距 B 地地 13 千米处第二次相遇 求千米处第二次相遇 求 AB 两地之间的距离两地之间的距离 解析解析 41 千米 例例 4 难度等级 难度等级 如图 甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相 如图 甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相 反的方向绕此圆形路线运动 当乙走了反的方向绕此圆形路线运动 当乙走了 100 米以后 他们第一次相遇 在甲走完一周前米以后 他们第一次相遇 在甲走完一周前 60 米米 处又第二次相遇处又第二次相遇 求此圆形场地的周长 求此圆形场地的周长 解析解析 注意观察图形 当甲 乙第一次相遇时 甲乙共走完圈的路程 当甲 乙第二次相遇时 甲 1 2 乙共走完 1 圈的路程 所以从开始到第一 二次相遇所需的时间比为 1 3 因而第二次 1 2 3 2 相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍 即 100 3 300 米 有甲 乙第二 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 4 of 14 次相遇时 共行走 1 圈 60 300 为圈 所以此圆形场地的周长为 480 米 3 2 巩固巩固 难度等级 难度等级 如图 如图 A B 是圆的直径的两端 小张在是圆的直径的两端 小张在 A 点 小王在点 小王在 B 点同时出发反向点同时出发反向 行走 他们在行走 他们在 C 点第一次相遇 点第一次相遇 C 离离 A 点点 80 米 在米 在 D 点第二次相遇 点第二次相遇 D 点离点离 B 点点 6O 米米 求这求这 个圆的周长个圆的周长 解析解析 360 巩固巩固 A B 是圆的直径的两端 甲在是圆的直径的两端 甲在 A 点 乙在点 乙在 B 点同时出发反向而行 两人在点同时出发反向而行 两人在 C 点第一次相遇 点第一次相遇 在在 D 点第二次相遇 已知点第二次相遇 已知 C 离离 A 有有 75 米 米 D 离离 B 有有 55 米 求这个圆的周长是多少米 米 求这个圆的周长是多少米 解析解析 340 三 多次相遇与全程的关系 1 两地相向出发 第 1 次相遇 共走 1 个全程 第 2 次相遇 共走 3 个全程 第 3 次相遇 共走 5 个全程 第 N 次相遇 共走 2N 1 个全程 注意 除了第注意 除了第 1 次 剩下的次与次之间都是次 剩下的次与次之间都是 2 个全程 即甲第个全程 即甲第 1 次如果走了次如果走了 N 米 以后每次都走米 以后每次都走 2N 米 米 2 同地同向出发 第 1 次相遇 共走 2 个全程 第 2 次相遇 共走 4 个全程 第 3 次相遇 共走 6 个全程 第 N 次相遇 共走 2N 个全程 3 多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程 多人相遇追及的解题关键多人相遇追及的解题关键 路程差 例例 5 小明和小红两人在长小明和小红两人在长 100 米的直线跑道上来回跑步 做体能训练 小明的速度为米的直线跑道上来回跑步 做体能训练 小明的速度为 6 米米 秒 小红秒 小红 的速度为的速度为 4 米米 秒 他们同时从跑道两端出发 连续跑了秒 他们同时从跑道两端出发 连续跑了 12 分钟 在这段时间内 他们迎面相分钟 在这段时间内 他们迎面相 遇了多少次 遇了多少次 解析解析 第一次相遇时 两人共跑完了一个全程 所用时间为 秒 此后 两人每相遇1006410 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 5 of 14 一次 就要合跑 2 倍的跑道长 也就是每 20 秒相遇一次 除去第一次的 10 秒 两人共跑了 秒 求出 710 秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇 就是相遇的总次126010710 数 列式计算为 秒 共相遇 次 1006410 1260101023510 35136 注 注 解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长 例例 6 两地间有条公路 甲从两地间有条公路 甲从地出发 步行到地出发 步行到地 乙骑摩托车从地 乙骑摩托车从地出发 不停地往返于地出发 不停地往返于ABABB 两地之间 他们同时出发 两地之间 他们同时出发 80 分钟后两人第一次相遇 分钟后两人第一次相遇 100 分钟后乙第一次追上甲 问 分钟后乙第一次追上甲 问 AB 当甲到达当甲到达地时 乙追上甲几次 地时 乙追上甲几次 B 解析解析 一 一 一 一 一一 一 一 一 一 一 一 FE BA 由上图容易看出 在第一次相遇与第一次追上之间 乙在 分钟 内所走的路程恰等1008020 于线段的长度再加上线段的长度 即等于甲在 分钟内所走的路程 因此 乙的FAAE80100 速度是甲的 9 倍 则的长为的 9 倍 所以 甲从到 共需走18020 BFAFAB 分钟 乙第一次追上甲时 所用的时间为 100 分钟 且与甲的路程差为一个80 19 800 全程 从第一次追上甲时开始 乙每次追上甲的路程差就是两个全程 因此 追及时间ABAB 也变为 200 分钟 所以 在甲从到的 800 分钟内 乙共有 4 次追上甲 即在第1002 AB 100 分钟 300 分钟 500 分钟和 700 分钟 例例 7 难度等级 难度等级 甲 乙两人分别从 甲 乙两人分别从 两地同时出发相向而行 乙的速度是甲的两地同时出发相向而行 乙的速度是甲的 AB 2 3 二人相遇后继续行进 甲到二人相遇后继续行进 甲到地 乙到地 乙到地后立即返回 已知两人第二次相遇的地点距第三次地后立即返回 已知两人第二次相遇的地点距第三次BA 相遇的地点是相遇的地点是 100 千米 那么 千米 那么 两地相距两地相距 千米 千米 AB 解析解析 由于甲 乙的速度比是 所以在相同的时间内 两人所走的路程之比也是 第一次相遇2 32 3 时 两人共走了一个的长 所以可以把的长看作 5 份 甲 乙分别走了 2 份和 3 份 第ABAB 二次相遇时 甲 乙共走了三个 乙走了份 第三次相遇时 甲 乙共走了五个AB236 乙走了份 乙第二次和第三次相距 10 6 4 份 所以一份距离为 AB2510 100 4 25 千米 那么 两地距离为 5 25 125 千米 AB 巩固巩固 难度等级 难度等级 小王 小李二人往返于甲 乙两地 小王从甲地 小李从乙地同时出发 小王 小李二人往返于甲 乙两地 小王从甲地 小李从乙地同时出发 相向而行 两人第一次在距甲地相向而行 两人第一次在距甲地 3 千米处相遇 第二次在距甲地千米处相遇 第二次在距甲地 6 千米处相遇千米处相遇 追上也算作相遇追上也算作相遇 则甲 乙两地的距离则甲 乙两地的距离为为 千米千米 解析解析 由于两人同时出发相向而行 所以第一次相遇一定是迎面相遇 由于本题中追上也算相遇 所 以两人第二次相遇可能为迎面相遇 也可能为同向追及 如果第二次相遇为迎面相遇 如下图所示 两人第一次在处相遇 第二次在处相遇 由AB 于第一次相遇时两人合走 1 个全程 小王走了 3 千米 从第一次相遇到第二次相遇 两人合走 2 个全程 所以这期间小王走了千米 由于 之间的距离也是 3 千米 所以与乙326 ABB 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 6 of 14 地的距离为千米 甲 乙两地的距离为千米 63 21 5 61 57 5 BA 乙乙 乙乙 AB 乙 乙乙 乙 如果第二次相遇为同向追及 如上图 两人第一次在处相遇 相遇后小王继续向前走 小A 李走到甲地后返回 在处追上小王 在这个过程中 小王走了千米 小李走了B633 千米 两人的速度比为 所以第一次相遇时小李也走了 9 千米 甲 乙两地639 3 91 3 的距离为千米 9312 所以甲 乙两地的距离为千米或 12 千米 7 5 巩固巩固 难度级别 难度级别 A B 两地相距两地相距 540 千米 甲 乙两车往返行驶于千米 甲 乙两车往返行驶于 A B 两地之间 都是两地之间 都是 到达一地之后立即返回 乙车较甲车快 设两辆车同时从到达一地之后立即返回 乙车较甲车快 设两辆车同时从 A 地出发后第一次和第二次相遇都在地出发后第一次和第二次相遇都在 途中途中 P 地 那么到两车第三次相遇为止 乙车共走了多少千米 地 那么到两车第三次相遇为止 乙车共走了多少千米 解析解析 第一次相遇 甲乙总共走了 2 个全程 第二次相遇 甲乙总共走了 4 个全程 乙比甲快 相遇 又在 P 点 所以可以根据总结和画图推出 从第一次相遇到第二次相遇 乙从第一个 P 点到第 二个 P 点 路程正好是第一次的路程 所以假设一个全程为 3 份 第一次相遇甲走了 2 份乙走 了 4 份 第二次相遇 乙正好走了 1 份到 B 地 又返回走了 1 份 这样根据总结 2 个全程里 乙走了 540 3 4 180 4 720 千米 乙总共走了 720 3 2160 千米 例例 8 难度级别 难度级别 小张与小王分别从甲 乙两村同时出发 在两村之间往返行走 到达另 小张与小王分别从甲 乙两村同时出发 在两村之间往返行走 到达另 一村后就马上返回 一村后就马上返回 他们在离甲村 他们在离甲村 3 5 千米处第一次相遇 在离乙村千米处第一次相遇 在离乙村 2 千米处第二次相遇千米处第二次相遇 问问 他们两人第四次相遇的地点离乙村多远 相遇指迎面相遇 他们两人第四次相遇的地点离乙村多远 相遇指迎面相遇 解析解析 画示意图如下 第二次相遇两人已共同走了甲 乙两村距离的 3 倍 因此张走了 3 5 3 10 5 千米 从图上可看出 第二次相遇处离乙村 2 千米 因此 甲 乙两村距离是 10 5 2 8 5 千米 每次要再相遇 两人就要共同再走甲 乙两村距离 2 倍的路程 第四次相遇时 两人已共同走了两村 距离 3 2 2 倍的行程 其中张走了 3 5 7 24 5 千米 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 7 of 14 24 5 8 5 8 5 7 5 千米 就知道第四次相遇处 离乙村 8 5 7 5 1 千米 答 第四次相遇地点离乙村 1 千米 四 解多次相遇问题的工具 柳卡 柳卡图 不用基本公式解决 快速的解法是直接画时间 距离图 再画上密密麻麻的交叉线 按要求 数交点个数即可完成 折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中 相遇的次数 相遇的地点 以及 由 相遇的地点求出全程 使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少 如果不画图 单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易 例例 9 难度级别 难度级别 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约 且每天同一时刻也有一艘轮船从 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约 且每天同一时刻也有一艘轮船从 纽约开往哈佛 轮船在途中均要航行七天七夜 试问 某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前纽约开往哈佛 轮船在途中均要航行七天七夜 试问 某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前 途中 能遇上几艘从纽约开来的轮船 途中 能遇上几艘从纽约开来的轮船 解析解析 这就是著名的柳卡问题 下面介绍的法国数学家柳卡 斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法 他先画了如下一幅图 这是一张运行图 在平面上画两条平行线 以一条直线表示哈佛 另一条直线表示纽约 那么 从哈佛或纽约开出的轮船 就可用图中的两组平行线簇来表示 图中的每条线段分别表示每条 船的运行情况 粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行 它与其他线段的交点即为与对方开 来轮船相遇的情况 从图中可以看出 某天中午从哈佛开出的一条轮船 图中用实线表示 会与从纽约开出的 15 艘 轮船相遇 图中用虚线表示 而且在这相遇的 15 艘船中 有 1 艘是在出发时遇到 从纽约刚 到达哈佛 1 艘是到达纽约时遇到 刚好从纽约开出 剩下 13 艘则在海上相遇 另外 还可 从图中看到 轮船相遇的时间是每天中午和子夜 如果不仔细思考 可能认为仅遇到 7 艘轮船 这个错误 主要是只考虑以后开出的轮船而忽略 了已在海上的轮船 巩固巩固 难度级别 难度级别 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站 每隔 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站 每隔 5 分钟有一辆电分钟有一辆电 车从甲站发出开往乙站 全程要走车从甲站发出开往乙站 全程要走 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站 他分钟 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站 他 出发的时候 恰好有一辆电车到达乙站 在路上他又遇到了出发的时候 恰好有一辆电车到达乙站 在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车 到达甲站时 辆迎面开来的电车 到达甲站时 恰好又有一辆电车从甲站开出 问他从乙站到甲站用了多少分钟 恰好又有一辆电车从甲站开出 问他从乙站到甲站用了多少分钟 解析解析 先让学生用分析间隔的方式来解答 骑车人一共看到 12 辆车 他出发时看到的是 15 分钟前发的车 此时第 4 辆车正从甲发出 骑 车中 甲站发出第 4 到第 12 辆车 共 9 辆 有 8 个 5 分钟的间隔 时间是 分钟 5 840 再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析 第一步 在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站 由于每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发 所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分 每一小段表示 5 分钟 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 8 of 14 第二步 因为电车走完全程要 15 分钟 所以连接图中的 1 号点与 P 点 注意 这两点在水平方 向上正好有 3 个间隔 这表示从甲站到乙站的电车走完全程要 15 分钟 然后再分别 过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车 第三步 从图中可以看出 要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车 那么从 P 点引出的粗线必须和 10 条平行线相交 这正好是图中从 2 号点至 12 号点引出的平行 线 从图中可以看出 骑车人正好经历了从 P 点到 Q 点这段时间 因此自行车从乙站到甲站用了 分钟 5 840 对比前一种解法可以看出 采用运行图来分析要直观得多 例例 10 难度级别 难度级别 甲 乙两人在一条长为 甲 乙两人在一条长为 30 米的直路上来回跑步 甲的速度是每秒米的直路上来回跑步 甲的速度是每秒 1 米 米 乙的速度是每秒乙的速度是每秒米 如果他们同时分别从直路的两端出发 当他们跑了米 如果他们同时分别从直路的两端出发 当他们跑了 10 分钟后 共相遇分钟后 共相遇0 6 几次 几次 解析解析 采用运行图来解决本题相当精彩 首先 甲跑一个全程需 秒 乙跑一个全程需 秒 与上题类似 画30130 300 650 运行图如下 实线表甲 虚线表示乙 那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点 从图中可以看出 当甲跑 5 个全程时 乙刚好跑 3 个全程 各自到了不同两端又重新开始 这 正好是一周期 150 秒 在这一周期内两人相遇了 5 次 所以两人跑 10 分钟 正好是四个周期 也就相遇了 次 5420 例例 11 难度等级 难度等级 2009 年迎春杯复赛高年级组年迎春杯复赛高年级组 A B 两地两地位于同一条河上 位于同一条河上 B 地在地在 A 地地 下游下游 100 千米处 甲船从千米处 甲船从 A 地 乙船从地 乙船从 B 地同时出发 相向而行 甲船到达地同时出发 相向而行 甲船到达 B 地 乙船到达地 乙船到达 A 地后 都立即按原来路线返航 水速为地后 都立即按原来路线返航 水速为 2 米米 秒 且两船在静水中的速度相同 如果两船两次秒 且两船在静水中的速度相同 如果两船两次 相遇的地点相距相遇的地点相距 20 千米 那么两船在静水中的速度是千米 那么两船在静水中的速度是 米米 秒秒 一个周期内共有 5 次 相遇 其中第 1 2 4 5 次是迎 面相遇 而第 3 次是 追及相遇 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 9 of 14 解析解析 本题采用折线图来分析较为简便 N M F ED CB A 如图 箭头表示水流方向 表示甲船的路线 表示乙船的路线 两个交ACE BDF 点 就是两次相遇的地点 MN 由于两船在静水中的速度相同 所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同 那么两船顺水行 船和逆水行船所用的时间都分别相同 表现在图中 就是和的长度相同 和的BCDEADCF 长度相同 那么根据对称性可以知道 点距的距离与点距的距离相等 也就是说两次相遇地MBCNDE 点与 两地的距离是相等的 而这两次相遇的地点相距 20 千米 所以第一次相遇时 两船AB 分别走了千米和千米 可得两船的顺水速度和逆水速度之比为 10020240 1004060 60 403 2 而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2 倍 即为 4 米 秒 可得顺水速度为米 432312 秒 那么两船在静水中的速度为米 秒 12210 例例 12 难度等级 难度等级 A B 两地相距两地相距 1000 米 甲从米 甲从 A 地 乙从地 乙从 B 地同时出发 在地同时出发 在 A B 两地间往返锻炼 乙跑步每分钟行两地间往返锻炼 乙跑步每分钟行 150 米 甲步行每分钟行米 甲步行每分钟行 60 米 在米 在 30 分钟内 甲 乙两分钟内 甲 乙两 人第几次相遇时距人第几次相遇时距 B 地最近地最近 从后面追上也算作相遇从后面追上也算作相遇 最近距离是多少 最近距离是多少 解析解析 甲 乙的运行图如上 图中实现表示甲 虚线表示乙 两条线的交点表示两人相遇 在 30 分 钟内 两人共行了 150 60 30 6300 米 相当于 6 个全程又 300 米 由图可知 第 3 次 相遇时距离 A 地最近 此时两人共走了 3 个全程 即 1000 3 3000 千米 用时 3000 150 60 100 7 分钟 甲行了 60 100 7 6000 7 米 相遇地点距离 B 地 1000 6000 7 143 米 巩固巩固 难度等级 难度等级 A B 两地相距两地相距 950 米 甲 乙两人同时由米 甲 乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小地出发往返锻炼半小 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 10 of 14 时 甲步行 每分钟走时 甲步行 每分钟走 40 米 乙跑步 每分钟行米 乙跑步 每分钟行 150 米 则甲 乙二人第几次迎面相遇时距米 则甲 乙二人第几次迎面相遇时距 B 地最近 地最近 解析解析 半小时内 两人一共行走 40 150 30 5700 米 相当于 6 个全程 两人每合走 2 个全 程就会有一次相遇 所以两人共有 3 次相遇 而两人的速度比为 40 150 4 15 所以相同时 间内两人的行程比为 4 15 那么第一次相遇甲走了全程的 距离 B 地 11 19 个 48 2 15419 全程 第二次相遇甲走了 16 19 个全程 距离 B 地 3 19 个全程 第三次相遇甲走了 24 19 个全 程 距离 B 地 5 19 个全程 所以甲 乙两人第二次迎面相遇时距离 B 地最近 巩固巩固 2008 年国际小学数学竞赛年国际小学数学竞赛 两地相距两地相距 甲 乙两人同时从 甲 乙两人同时从地出发 往返地出发 往返 AB950mAA 两地跑步两地跑步分钟 甲跑步的速度是每分钟分钟 甲跑步的速度是每分钟 乙跑步的速度是每分钟 乙跑步的速度是每分钟 在这段时间 在这段时间B9040m150m 内他们面对面相遇了数次 请问在第几次相遇时他们离内他们面对面相遇了数次 请问在第几次相遇时他们离点的距离最近 点的距离最近 B 解析解析 分钟 甲 乙两人合走一个全程需要分钟 每合走 个全程相遇一次 950150405 52 所以总共相遇次 而甲每分钟走 并且与乙相遇一次 因为90 52 9 1040 10400 m 也就是当甲 乙两人第次相遇时甲离地为最小 在第次9503400750 m7B50m7 相遇时他们离点距离最近 B 巩固巩固 难度等级 难度等级 A B 两地相距两地相距 2400 米 甲从米 甲从 A 地 乙从地 乙从 B 地同时出发 在地同时出发 在 A B 两地间往返锻炼 甲每分钟跑两地间往返锻炼 甲每分钟跑 300 米 乙每分钟跑米 乙每分钟跑 240 米 在米 在 30 分钟后停止运动 甲 乙分钟后停止运动 甲 乙 两人第几次相遇时距两人第几次相遇时距 A 地最近 最近距离是多少 地最近 最近距离是多少 解析解析 第二次 800 米 五 多次相遇问题 变道问题 例例 13 难度等级 难度等级 仁华入学试题仁华入学试题 甲 乙两车同时从同一点甲 乙两车同时从同一点出发 沿周长出发 沿周长 6 千米的圆形千米的圆形A 跑道以相反的方向行驶 甲车每小时行驶跑道以相反的方向行驶 甲车每小时行驶 65 千米 乙车每小时行驶千米 乙车每小时行驶 55 千米 一旦两车迎面相千米 一旦两车迎面相 遇 则乙车立刻调头 一旦甲车从后面追上乙车 则甲车立刻调头 那么两车出发后第遇 则乙车立刻调头 一旦甲车从后面追上乙车 则甲车立刻调头 那么两车出发后第 11 次次 相遇的地点距离相遇的地点距离点有多少米 点有多少米 每一次甲车追上乙车也看作一次相遇每一次甲车追上乙车也看作一次相遇 A 解析解析 第一次是一个相遇过程 相遇时间为 小时 相遇地点距离点 6 6555 0 05 A 千米 然后乙车调头 成为追及过程 追及时间为 小时 乙550 052 75 6 6555 0 6 车在此过程中走的路程为 千米 即 5 圈又 3 千米 那么这时距离点550 633 A 千米 32 750 25 此时甲车调头 又成为相遇过程 同样方法可计算出相遇地点距离点千米 然A0 252 753 后乙车掉头 成为追及过程 根据上面的计算 乙车又要走 5 圈又 3 千米 所以此时两车又重 新回到了点 并且行驶的方向与最开始相同 A 所以 每 4 次相遇为一个周期 而 所以第 11 次相遇的地点与第 3 次相遇的地点11423 是相同的 与点的距离是 3000 米 A 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 11 of 14 例例 14 难度等级 难度等级 下图是一个边长下图是一个边长 90 米的正方形 甲 乙两人同时从米的正方形 甲 乙两人同时从 A 点出发 甲逆时点出发 甲逆时 针每分行针每分行 75 米 乙顺时针每分行米 乙顺时针每分行 45 米 两人第一次在米 两人第一次在 CD 边 不包括边 不包括 C D 两点 上相遇 两点 上相遇 是出发以后的第几次相遇 是出发以后的第几次相遇 解析解析 两人第一次相遇需分 其间乙走了 米 由此知 乙每走 135 米360 7545 3 45 3135 两人相遇一次 依次可推出第 7 次在 CD 边相遇 如图 图中数字表示该点相遇的次数 例例 15 难度等级 难度等级 如图所示 甲 乙两人从长为 如图所示 甲 乙两人从长为米的圆形跑道的米的圆形跑道的点背向出发跑步 点背向出发跑步 400A 跑道右半部分跑道右半部分 粗线部分 道路比较泥泞 所以两人的速度都将减慢 在正常的跑道上甲 乙粗线部分 道路比较泥泞 所以两人的速度都将减慢 在正常的跑道上甲 乙 速度均为每秒速度均为每秒 米 而在泥泞道路上两人的速度均为每秒米 而在泥泞道路上两人的速度均为每秒米 两人一直跑下去 问 他们第米 两人一直跑下去 问 他们第84 99 次迎面相遇的地方距次迎面相遇的地方距点还有点还有 米 米 A A 解析解析 本题中 由于甲 乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同 可以发现 如果甲 乙各自 绕着圆形跑道跑一圈 两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同 那么两人所用的总 时间也就相同 所以 两人同时出发 跑一圈后同时回到点 即两人在点迎面相遇 然后AA 再从点出发背向而行 可以发现 两人的行程是周期性的 且以一圈为周期 A 在第一个周期内 两人同时出发背行而行 所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇 这是两 人第一次迎面相遇 然后回到出发点是第二次迎面相遇 然后再出发 又在同一个相遇点第三 次相遇 再回到出发点是第四次相遇 可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点 偶数次相遇 点都是点 本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与点的距离 实际上要求的是第一次相遇AA 点与点的距离 A 对于第一次相遇点的位置 需要分段进行考虑 由于在正常道路上的速度较快 所以甲从出发 到跑完正常道路时 乙才跑了米 此时两人相距 100 米 且之间全是泥泞道路 20084100 此时两人速度相同 所以再各跑 50 米可以相遇 所以第一次相遇时乙跑了米 这10050150 就是第一次相遇点与点的距离 也是第 99 次迎面相遇的地点与点的距离 AA 例例 16 难度等级 难度等级 如图 如图 学校操场的学校操场的 400 米跑道中套着米跑道中套着 300 米小跑道米小跑道 大跑道与小跑道有大跑道与小跑道有 200 米路程相重 甲以每秒米路程相重 甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑米的速度沿大跑道逆时针方向跑 乙以每秒乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺米的速度沿小跑道顺 时针方向跑时针方向跑 两人同时从两跑道的交点两人同时从两跑道的交点处出发处出发 当他们第二次在跑道上相遇时当他们第二次在跑道上相遇时 甲共跑了多少米甲共跑了多少米 A 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 12 of 14 乙 乙 乙乙 A B 乙 乙 乙乙 A 解析解析 根据题意可知 甲 乙只可能在右侧的半跑道上相遇 AB 易知小跑道上左侧的路程为 100 米 右侧的路程为 200 米 大跑道上的左 右两侧的路程ABAB 均是 200 米 我们将甲 乙的行程状况分析清楚 当甲第一次到达点时 乙还没有到达点 所以第一次相遇一定在逆时针的某处 BBBA 而当乙第一次到达点时 所需时间为秒 此时甲跑了米 在离点B200450 650300 B 米处 300200100 乙跑出小跑道到达点需要秒 则甲又跑了米 在点左边A100425 625150 A 米处 100150 20050 所以当甲再次到达处时 乙还未到处 那么甲必定能在点右边某处与乙第二次相遇 BBB 从乙再次到达处开始计算 还需秒 甲 乙第二次相遇 此时甲共跑了A 40050 64 35 秒 502535110 所以 从开始到甲 乙第二次相遇甲共跑了米 6 110660 例例 17 难度等级 难度等级 下图中有两个圆只有一个公共点下图中有两个圆只有一个公共点 A 大圆直径 大圆直径 48 厘米 小圆直径厘米 小圆直径 30 厘米 两只甲虫同时从厘米 两只甲虫同时从 A 点出发 按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行 问 当小点出发 按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行 问 当小 圆上甲虫爬了几圈时 两只甲虫首次相距最远 圆上甲虫爬了几圈时 两只甲虫首次相距最远 解析解析 我们知道 大小圆只有一个公共点 内切 而在圆上最远的两点为直径两端 所以当一只甲虫在 A 点 另一只在过 A 的直径另一直径端点 B 所以在小圆甲虫跑了 n 圈 在大圆甲虫跑了 m 圈 1 2 3 1 3 多次相遇与追及问题 题库 教师版 page 13 of 14 于是小圆甲虫跑了 30n 大圆甲虫跑了 48 m 48m 24 1 2 因为速度相同 所以相同时内路程相同 起点相同 所以 30n 48m 24 即 5n 8m 4 有不定方程知识 解出有 n 4 m 2 所以小甲虫跑了 2 圈后 大小甲虫相距最远 例例 18 难度等级 难度等级 如图所示 甲沿长为 如图所示 甲沿长为米大圆的跑道顺时针跑步 乙则沿两个小米大圆的跑道顺时针跑步 乙则沿两个小400 圆八字形跑步圆八字形跑步 图中给出跑动路线的次序 图中给出跑动路线的次序 如果甲 乙两人同时从 如果甲 乙两人同时从点点12341 A 出发 且甲 乙二人的速度分别是每秒出发 且甲 乙二人的速度分别是每秒 3 米和米和 5 米 问两人第三次相遇的时间是出发后米 问两人第三次相遇的时间是出发后 秒 秒 4 32 1 B A 解析解析 从图中可以看出 甲 乙两人只有可能在 两点处相遇 本题中 虽然在处时两人都是ABB 顺时针 但是由于两人的跑道不同 因此在此处的相遇不能看作是追及 从到 在大圆周上是半个圆周 即 200 米 在小圆周上是整个小圆圆周 也是 200 米 两AB 人的速度之比为 那么两人跑 200 米所用的时间之比为 设甲跑 200 米所用的时间为 53 55 3 个时间单位 则乙跑 200 米所用的时间为 3 个时间单位