上海市七校联考2012届高三数学下学期联考试题 理 沪教版

用心 爱心 专心1 七校联考七校联考 数学试卷 理科 数学试卷 理科 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 填空题 本大题每题 4 分 满分 56 分 1 平面直角坐标系中 为坐标原点 则 xOyO 1 21 3AB OA AB 答案 0 解析 1 2 2 2 OA AB 0OA AB 2 复数的虚部为 2 1 i i 答案 3 2 解析 2 1 i i 1 313 1222 iii i i 2 1 复数的虚部为 2 1 i i 3 2 3 函数的最小正周期为 2 sinsin2yxx 答案 解析 2 11 sinsin2cos2sin2 22 yxxxx 函数的最小正周期为 2 sinsin2yxx 4 直线关于直线对称的直线方程为 210 xy 3x 答案 270 xy 解析 设 M x y 为所求直线上的任意一点 则其对称点为 6 x y 从而有 6210 xy 所以直线关于直线对称的直线方程为 210 xy 3x 270 xy 5 定义集合运算 设 则集合 A Bz zxy xA yB 1 23 6AB 的所有元素之和为 A B 答案 21 解析 由题得 3 6 12 故集合的所有元素之和为 21 A B A B 6 从集合中任取两数 其乘积不小于 10 的概率为 1 2 3 4 5 用心 爱心 专心2 答案 2 5 解析 P 5 12 142 2105C 7 若实数满足 且 则的值为 abm 25 ab m 21 2 ab m 答案 2 5 解析 在取对数得 25 ab m 11 log 2 log 5 mm ab 0m 又 21 2 ab log 202 m 2 20m 2 5m 8 若对于任意实数 都有 则x 234 4 01234 2222xaaxaxaxax 的值为 3 a 答案 32 解析 由 结合二项式定理比较系数 234 4 01234 2222xaaxaxaxax 知 3 443344 01 01 20a Ca Ca C 3 32a 9 设等差数列的公差为 前项和为 则 n ad2 n n S 22 lim n n n an S 答案 3 解析 22 lim n n n an S 2 1 22 1 2 1 1 2 1 1 2 1 limlim3 1 1 1 nn an ann nn a nan n 10 函数的值域为 2 1 3arcsin45 2 yxx 答案 2 2 用心 爱心 专心3 解析 222 111 1 45 2 1 451 222 2 xxxxx 2 1 arcsin45 622 xx 22 y 11 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程20 xy 22 1212700 xyxy 为 答案 22 3 3 8xy 解析 如图所示 易得 所求的圆的方程为 22 3 3 8xy 12 已知是球表面上的点 平面 SABC OSA ABCABBC 1SA 则球的表面积为 2ABBC O 答案 3 解析 由题知 从而 SACSABSBC 均为直角三角形 OSC是的中点 所以球的表面积为 13 0 22 OBOASCSOC O3 x y O 6 6 1 1 5 5 0 A B C S 用心 爱心 专心4 13 如果一个正四位数的千位数 百位数 十位数和个位数满足关系abcd 则称其为 彩虹四位数 例如 2012 就是一个 彩虹四位数 那 0ab cd 么 正四位数中 彩虹四位数 的个数为 直接用数字作答 答案 3645 解析 构成 彩虹四位数 可以分为两类 一类是 此时共可得到个ab 且cd36 45 为 0 据加法原理得 正四位数中 彩虹四位数 的个数为 3645 14 某校数学课外小组在坐标纸上 为一块空地设计植树方案如下 第棵树种植在点k 处 其中 当时 kkk Pxy 11 11xy 2k 1 1 12 14 44 12 44 kk kk kk xxTT kk yyTT 表示非负实数的整数部分 例如 按此方案 在第 2012 棵 T aa 3 73T 0 40T 树的种植点坐标应为 答案 4 2514 解析 由题知 21 10 14 44 x xTT 32 21 14 44 x xTT 43 32 14 44 x xTT 1 12 14 44 kk kk x xTT 将上式叠加得 1 10 4 44 k k x xTT k 1 1 24 4 k k kxkT 当时 用心 爱心 专心5 4 2012 2012kx 当时 同理可得 2012 20122514k 当时 y 第 2012 棵树的种植点坐标应为 4 2514 注 1 此题还可以用列举法写出一些项 观察归纳得出周期 利用周期性求解 2 利用 5 的剩余类 分类获解 二 选择题 本大题每题 5 分 满分 20 分 14 成立 是 成立 的 3x 30 x x A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 答案 A 解析 而 3x 33xx 或 3030 x xxx 或 故 成立 是 成立 的充分非必要条件 所以选 A 3x 30 x x 15 已知向量 满足 与的夹角为 则等于 a b 1a 2b a b 120 2 ab A B C D 315215 答案 C 解析 故选 C 22 2 2 2 421ababaa bb 16 函数为定义在上的偶函数 且当时 则下列写法 1yf x R1x 21 x f x 正确的是 A B 132 323 fff 213 332 fff C D 231 323 fff 321 233 fff 答案 C 解析 1 f x 函数y 为偶函数 1yf xx 关于对称 x y O 1 用心 爱心 专心6 yf x 函数的图像如图所示 结合图像易知 即故选 C 2311 3223 ffff 231 323 fff 17 椭圆上有个不同的点 是右焦点 组 22 1 43 xy n 12n PPP Nn F n P F 成公差的等差数列 则的最大值为 1 100 d n A B C D 99100199200 答案 D 解析 因为 所以 进 1 2 1 n P FPF dn n 1 100 d 1 1 2 1100 n P FPF n n 而有 若使的值最大 只需 1 100 1 2 n nP FPFn n 最大 即使最大 而 1 100 1 2 n P FPFn 1 n P FPF 的最大值为 200 故选 D 1max 3 12 n P FPF 201n n 三 解答题 本大题满分 74 分 18 本题满分 12 分 第 1 小题 5 分 第 2 小题 7 分 在 中 ABC 2 tan 3 A 1 tan 5 B 1 求角的大小 C 2 如果 的最大边长为 求最小的边长 ABC13 解 1 21 tantan 35 tantan 1 21 1tantan 1 35 AB CAB AB 又0C 3 4 C 2 由已知和 1 知 为最小边长13 cb 1 tan 5 B 26 sin 26 B 用心 爱心 专心7 sin 1 sin cB b C 最小的边长为 1 19 本题满分 12 分 第 1 小题 5 分 第 2 小题 7 分 如图所示 在长方体中 为棱上一 1111 ABCDABC D 1AB 2BC 1 5CC M 1 CC 点 1 若 求异面直线和所成角的正切值 1 3 2 C M 1 A M 11 C D 2 是否存在这样的点使得平面 若存在 求出的长 若不存在 MBM 11 AB M 1 C M 请说明理由 解 1 过点 M 做交于 N 并连接 则 11 MNC D 1 DD 1 AN 1 AMN 是异面直线和所成角 1 A M 11 C D 由题可得 在中 1 Rt AMN 1AB 2 1 35 2 22 AN 1 1 5 tan 2 AN AMN MN 当时 异面直线和所成角的正切值为 1 3 2 C M 1 A M 11 C D 5 2 2 假设存在点 M 使得平面 并设BM 11 AB M 1 C Mx 则有 111 Rt BMBRt BC M 11 11 C MB M B MBB 2 45xx 41xx 或 所以 当时 使得平面 1 1C M 或4BM 11 AB M 20 本题满分 14 分 第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 设数列的前项和为 已知 n an n S 1 aa 1 24N n nn aSn 1 设 求数列的通项公式 4n nn bS n b 2 若对于一切 都有恒成立 求的取值范围 Nn 1nn aa a D C B A D1 A1 C1 B1 M N 用心 爱心 专心8 解 1 1 24n nn aSn N n 1n 24n n SSS 11 n 1n 4344 nnn SS 1 n 1n 434 nn SS 又 1 aa 1 44Sa 当时 4a 0 n b 当时 数列为以为首项 以 3 为公比的等比数列 所以数列的通项公4a n b4a n b 式为 1 4 3n n ba 综上可知 数列的通项公式为 n b 1 0 4 4 3 4 n n a b aa 2 由 1 知 当时 即有 4a 0 n b n 4nS 1 4 1 3 4 2 n n n a n 此时 对于一切 都有恒成立 所以符合题意 Nn 1nn aa 4a 当时 于是有 4a 1 4 3n n ba 1 n 4 34 nn Sa 21 1 2 4 33 4 n nn a n a a n2 若使对于一切 都有恒成立 即使且 Nn 1nn aa 0 2 4 33 4aa 2132 2 4 33 42 4 33 4 3 nnnn aan 而 21323 4 2 4 33 42 4 33 4 39 4 3 3 nnnnn aanan 45aa 且 综上可知 的取值范围为 a 4 21 本题满分 18 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 第 3 小题 8 分 用心 爱心 专心9 若函数定义域为 满足对任意 有 则称 f xR 12 Rxx 1212 f xxf xf x 为 形函数 若函数定义域为 恒大于 0 且对任意 有 f xV g xR g x 12 Rxx 则称为 对数形函数 1212 lglglgg xxg xg x g xV 1 当时 判断是否为形函数 并说明理由 2 f xx f xV 2 当时 证明 是对数形函数 2 2g xx g xV 3 若是形函数 且满足对任意 有 问是否为对数形函 f xVRx 2f x f xV 数 证明你的结论 解 1 121212 2f xxf xf xx x 不满足对任意 有 12 Rxx 1212 f xxf xf x 当时 不是 形函数 2 f xx f xV 2 的定义域为 且 0 2 2g xx R 2 2g xx 2 12 2 xx 22 12 2 2xx 222 1212 1 10 x xxx 222 12121212 lg lg lg lg 2 lg 2 2g xxg xg xxxxx 0 对任意 有 12 Rxx 1212 lglglgg xxg xg x 是对数形函数 g xV 3 为对数形函数 f xV 1212 1212 1212 12 12 lg lg lg lg lg lg lg lg f xxf xf x f xxf xf x f xf xf xf x f xf x f xf x 证明 2xRf x 都有 1212 2 f xf xf xf x 12 12 12 2 lglglg10 f xf x f xf xf xf x 用心 爱心 专心10 1212 lg lg lg 0f xxf xf x 1212 lg lg lg f xxf xf x 为对数形函数 f xV 22 本题满分 18 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 7 分 第 3 小题 7 分 设是以为焦点的抛物线 是 1 CF 2 2 0 ypx p 2 C 以直线与为渐近线 以230 xy 230 xy 为一个焦点的双曲线 0 7 1 求双曲线的标准方程 2 C 2 若与在第一象限内有两个公共点和 1 C 2 CAB 求的取值范围 并求的最大值 pFA FB 3 若的面积满足 求的值 FABDS 2 3 SFA FB p 解 1 设双曲线的标准方程为 则据题得 2 C 22 22 1 yx ab 2 3 7 a b c 又 222 abc 2 3 a b 双曲线的标准方程为 2 C 22 1 43 yx 2 将代入到中并整理得 2 2 0 ypx p 22 1 43 yx 2 2360 xpx 设则 11221212 0 0 0 0A x yB xyxxyy 其中 2 12 12 3 4 2 60 3 0 2 3 p p xx x x 4 3 3 p 用心 爱心 专心11 又 0 2 p F 1212 y 22 pp FA FBxxy 2 121212 2 24 pp x xxxp x x 22 11 2