广东省东莞市虎门中学2013届高三数学5月冲刺模拟考试试题（二）理 新人教A版

1 20132013 年东莞市虎门中学高三年级冲刺模拟考试 二 数学 理科 年东莞市虎门中学高三年级冲刺模拟考试 二 数学 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 有且分 在每小题给出的四个选项中 有且 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 下列说法正确的是 1 2 4 A 5 4 2 B A B C D 2AB AB AB 2 4AB 2 设的共轭复数是 若 则 zz8 4 zzzz z z A B C D ii 1 i 3 已知均为单位向量 它们的夹角为 则 ba 60 3 ba A B C D 471013 4 1 4 m 是 一元二次方程 2 0 xxm 有实数解的 A 充分不必要条件 B 充分必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 5 若是方程的根 则属于区间 0 x 2 log1 2xx 0 x A B C D 1 1 8 4 1 1 4 2 1 1 2 1 2 6 将正方形 如图 1 所示 截去两个三棱锥 得到图 2 所示的几何 体 则该几何体的左视图为 A B C D 7 从某地高中男生中随机抽取 100 名同学 将他们的体重 单位 kg 数据绘制成频率分布直方图 如图 由图中数据可知体重的 平均值为 A 64 5 B 59 5 C 69 5 D 50 8 若函数图像上存在点 满足约束条件 x y2 yx 30 230 xy xy xm 则实数的最大值为 m A B C D 2 1 1 2 3 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 左左 AB C D A1 B1 C1 D1 A B C D B1 D1 图 1 图 2 2 9 函数为奇函数 则实数 lg 1 lg f xxax a 10 幂函数的图象过点 则幂函数的解析式为 f x 4 2 f x 11 在一次演讲比赛中 10 位评委对一名选手打分的 茎叶图如下所示 若去掉一个最高分和一个最低 分 得到一组数据 在如图所示 18 i xi 的程 序框图中 是这 8 个数据中的平均数 则输x出的 的值为 2 S 12 设随机变量 且 则实数的值为 2 1 5XN 02P XP Xa a 13 不等式的解集为 32 1x 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 曲线 为参数且 与直线 2 1 3 xt yt t0t 交点的极坐标为 sin1 0 R M 15 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 在中 斜边 直角边 Rt ABC 12AB 6AC 如果以C为圆心的圆与AB相切于D 则CA的半径长为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知等差数列满足 在数列中 n a 2 0a 68 10aa n b 1 1b 1 2 2 nn bbnnN 1 求数列的通项公式 2 求数列的前项和 n a n n a b n 17 某商场共五层 从五层下到四层有 3 个出口 从三层下到二层有 4 个出口 从二层下 到一层有 4 个出口 从一层走出商场有 6 个出口 安全部门在每层安排了一名警员值班 3 负责该层的安保工作 假设每名警员到该层各出口处的时间相等 某罪犯在五楼犯案后 欲逃出商场 各警员同时接到指令 选择一个出口进行围堵 逃犯在每层选择出口是等 可能的 已知他被三楼警员抓获的概率为 9 1 问四层下到三层有几个出口 天网恢恢 疏而不漏 犯罪嫌疑人最终落入法网 设抓到逃犯时 他已下了层楼 写出的分布列 并求 E 18 如图 四边形与均为菱形 ABCDBDEFFCFA 且 60DBFDAB 1 求证 BDEFAC平面 2 求证 EADFC平面 3 求二面角的余弦值 AFCB 19 已知 设 2sin 2cos 1 2 axx cos 2cos 1 2 bxx 4 f xa b A 1 求的最小正周期和单调增区间 f x 2 在中 分别为的对边 且 求ABC a b c A B C2a 1f A 6b 边 c 20 已知函数 2 lnf xxaxbx 其中实数 a b为常数 在1x 处取得极值 1 求 f x的单调区间 用表示 2 若 f x在 0 e上的最大值是 1 求a的a 值 21 已知 为椭圆的左 右顶点 为其右焦点 是椭圆上异 2 0 A 2 0 BCFPC 于 的动点 且面积的最大值为 ABAPB 2 3 求椭圆的方程及离心率 C 直线与椭圆在点处的切线交于点 当直线绕点转动时 试判断以APBDAPA 为直径的圆与直线 的位置关系 并加以证明 BDPF 5 2013 年东莞市虎门中学高三年级冲刺模拟考试 二 数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 题号 12345678 答案 CDCACBAB 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 9 13 题 9 10 11 15 1 f xx 12 4 13 1 1 3 xx 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 15 2 6 3 3 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 解 1 设等差数列的公差为d 由已知条件可得 n a 1 1 0 21210 ad ad 解得 1 1 1 a d 故数列的通项公式为 n a2 n an 又由已知可得 在数列中 且 n b 1 2 n n b b 1 1b 数列是以 1 为首项 2 为公比的等比数列 n b 数列的通项公式为 n b 11 1 22 nn n b 2 设数列 即 n n n a nS b 的前项和为 12 1 12 1 n n n aaa SS bbb 故 12 2242 nn n Saaa 6 所以 当时 1n 121 1 1 2222 nnnn nn Saaaaa a 1 1112 1 2422 nn n 1 12 1 1 222 nnn nn 所以 1 2 n n n S 综上所述 数列 11 22 n n nn an nS 的前项和 17 解 1 设四层下到三层有个出口 恰好被三楼的警员抓获 说明五层及四层的警 n 员均没有与他相遇 解得 3 分 9 1 4 1 1 1 3 1 1 n3 n 2 可能取值为 0 1 2 3 4 5 9 2 3 1 3 1 1 1 3 1 0 pp 9 1 4 1 3 1 1 3 1 1 2 p 12 1 4 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 3 p 24 1 6 1 4 1 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 4 p 8 分 24 5 24 1 12 1 9 1 9 2 3 1 1 5 p 所以 分布列为 10 分 12 分 72 137 24 5 5 24 1 4 12 1 3 9 1 2 9 2 1 3 1 0 E 18 1 证明 设 AC 与 BD 相交于点 O 连结 FO 因为四边形 ABCD 为菱形 所以BDAC 且 O 为 AC 中点 又 FA FC 所以FOAC 2 分 因为BDEFBDBDEFFOOBDFO平面 平面 所以BDEFAC平面 3 012345 p 3 1 9 2 9 1 12 1 24 1 24 5 7 分 2 证明 因为四边形ABCD与BDEF均为菱形 所以 ADBCDEBF 因为 ADFBC DE 平面平面FBC 所以 FBC DE FBCAD 平面平面 又ADEADDEEADADDED 平面 平面 所以平面 FBCEAD平面 又FCFBC 平面 所以 FCEAD平面 6 分 3 解 因为四边形 BDEF 为菱形 且60DBF 所以DBF 为等边三角形 因为O为BD中点 所以 FOBD 由 知 FOAC ACBDO 故 FOABCD 平面 法一 由 OA OB OF两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 设 AB 2 因为四边形 ABCD 为菱形 60DAB 则 BD 2 所以 OB 1 3OAOF 则 3 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 3 0 0 0 FCBAO 8 分 所以CF 3 0 3 CB 3 1 0 设平面 BFC 的法向量为则有 所以 3x3z0 3xy0 nx y z 0 0 n CF n CB 取x1 得 12 分 1 3 1 n 易知平面AFC的法向量为 0 1 0 v 由二面角 A FC B 是锐角 得 15 cos 5 n v n v nv 所以二面角 A FC B 的余弦值为 15 5 14 分 法二 取的中点 连接 CFGOGBGFD 四边形ABCD与BDEF均为菱形 且 FCFA 60DBFDAB 设为ABBCCDDABDBFFEEDFD a 为 中点 OACBD FOBD 8 分 3 2 OFOCa OGCF BGCF 是二面角的平面角 10 分 BGO AFCB 6 2 CFa 8 又 12 分 6 4 OGa 10 4 BGa 2 a BO 222 15 cos 25 OGBGBO BGO OG BG 二面角 A FC B 的余弦值为 14 分 5 15 19 解 1 2 2sin cos2cos 1sin2cos 2 2 f xa bxxxxx A sin2cos22sin 2 4 xxx 所以的最小正周期 f x 2 2 T 由得单调增区间为 222 242 kxkkZ 3 88 kkkZ 2 2a 6b ab 0 2 A 2sin 2 1 4 f AA 2 sin 2 42 A 又 3 2 444 A 2 444 AA 由余弦定理得 即 222 2cosabcbcA 2 463cc 2 2 320cc 或31c 31c 20 解 1 2 ln f xxaxbx 1 2fxaxb x 2 21axbx x 在 1x 处取得极值 1 120fab 即 f x 21 ba 2 2 21 1 21 1 0 axaxaxx fxx xx 1 2 a 当时 0a 01fxx 001fxx 01fxx 的增区间是 减区间是 f x 0 1 1 当时 或 或 1 0 2 a 1 0 2 fxx a 1x 001fxx 1 2 x a 9 1 01 2 fxx a 的增区间有两个 与 减区间是 f x 0 1 1 2a 1 1 2a 当时 或 或 1 2 a 1 0 2 fxx a 1x 1 00 2 fxx a 1x 1 01 2 fxx a 的增区间有两个 与 减区间是 f x 1 0 2a 1 1 1 2a 2 2 ln 21 0 e f xxaxax x 1 2 a 当时 或 在上递增 在上递减 1 2e a 0a 1 e 2a f x 0 1 1 e max 1 11 2 f xfaa 当时 在上递增 在上递减 在 11 2e2 a 1 1e 2a f x 0 1 1 1 2a 上递增 1 e 2a max max 1 e 1 f xff 若 则与矛盾 1 1f 2 a 11 2e2 a 若 则 此时 e 1f 111 e22e 2 a 1 1 10 e e2 ff 当时 在上递增 在上递减 在上 1 2 a 1 01 2a f x 1 0 2a 1 1 2a 1 e 递增 max 1 max e 1 2 f xff a 而 2 111111 ln 21 ln10 222224 faa aaaaaa 所以 2 e lne e 21 e1faa 解得与矛盾 11 e22 a 1 2 a 10 综合 得或 2a 1 e2 a 21 解 由题意可设椭圆的方程为 C 22 22 1 0 xy ab ab 0 F c 由题意知解得 3b 1c 故椭圆的方程为 离心率为 6 分C 22 1 43 xy 1 2 以为直径的圆与直线相切 BDPF 证明如下 由题意可设直线的方程为 AP 2 yk x 0 k 则点坐标为 中点的坐标为 D 2 4 kBDE 2 2 k 由得 22 2 1 43 yk x xy 2222 34 1616120kxk xk 设点的坐标为 则 P 00 xy 2 0 2 1612 2 34 k x k 所以 10 分 2 0 2 68 34 k x k 00 2 12 2 34 k yk x k 因为点坐标为 F 1 0 当时 点的坐标为 点的坐标为 1 2 k P 3 1 2 D 2 2 直线轴 此时以为直径的圆与直线相切 PFx BD 22 2 1