14第12章-模态分析及反应谱分析-李永双

第第 12 章章 模态分析及反应谱分析模态分析及反应谱分析 经典物理学告诉我们 我们所在的物理世界是一个动态的世界 静止只是相对的 荷 载作用过程及结构的响应本质是一个动态的过程 结构分析和设计所需要解决的威胁结构 安全的主要因素 地震作用和风作用 也是典型的动力作用 因此对于结构进行一定水 平动力分析就是十分必要的 目前结构分析和设计领域的理论发展水平 也为我们提供了 若干的结构拟动力分析和精确动力分析方法 本章和下一章的主要任务就是基于这些理论 方法 阐述其在 SAP2000 中的实现和使用细节 在结构动力分析中 结构动力响应的求解是基于结构中质量系统的动力平衡方程来完 成的 基于经典物理定律 方程 12 1 给出了一个多自由度集中质量系统的动力平衡方 程 它是一个关于时间的函数 12 1 t t t t SDI FFFF 其中 FI t 是作用在节点质量上的惯性力向量 FD t 是粘滞阻尼力向量或者能量耗散 力向量 FS t 是结构承担的内力向量 F t 是外部施加的荷载向量 方程 12 1 是从经典物理学概念出发 对于结构系统 我们更为熟悉的是下面的二 阶线性微分方程组 12 2 t t t t aaa FuKuCuM 其中 M 是质量矩阵 C 是一个粘滞阻尼矩阵 而 K 是结构单元系统的静力刚度矩阵 时间相关的向量 和分别是节点绝对位移 速度和加速度 t a u t a u t a u 对于地震作用 基于方程 12 2 中外部荷载 F t 等于零 可以写成 12 3 t t t t t t zgzygxg uMuMuMKuuCuM y x 其中是自由场地面位移的三个分量 t t t zgygxg uuu ig t u 结构动力分析的主要任务就是求解方程 12 2 基于目前数值分析理论水平 它的求解 并不是很复杂 对于结构分析最主要的一个方面地震作用分析 则可以将任务具体到对于 动力平衡方程 12 3 的求解 有些不同的经典方法可以用于求解方程 12 3 而且这些方 法基本上都可以使用 SAP2000 程序完成 本章将对其逐一进行阐述 12 112 1 模态分析模态分析 模态分析也被称为振型叠加法动力分析 是线性结构系统地震分析中的最常用而且最 有效的方法 它最主要的优势在于在计算一组正交向量之后 可以将大型整体平衡方程组 缩减为相对数量较少的解耦的二阶微分方程 明显减少了用于数值求解这些方程的计算时 间 使用 SAP2000 程序对于结构进行的模态分析将为我们提供结构基本性能参数 帮助我 们对结构响应进行定性的判断 并提供相关结构概念设计需求 模态分析为结构相关静力 分析提供相关结构性能 包括结构静力地震作用分析和静力风荷载作用分析 模态分析还 是其它动力分析的基础 包括反应谱分析和时程分析 2 12 1 112 1 1 模态分析的基本理论模态分析的基本理论 1 由动力方程转换为微分方程 针对于地震作用的结构系统动力平衡方程 12 3 可以按下列方式重写成一组 Nd 二 阶微分方程 12 4 J j jj tgtttt 1 fFKuuCuM 其中 fj是 J 空间向量 该向量不随时间发生变化 gj t 是第 j 个与时间相关的函数 一 般情况下 在结构分析过程中考虑的动力荷载 包括地震作用 风荷载等都可以使用这两 个量的乘积去表达 动力自由度的数量等于系统中集中节点质量的数量 如果需要 我们可以对方程 12 4 进行静力凝聚以消除无质量位移 它可以减少所要求解的动力平衡方程的数量 提高计算效率 例如比较典型的 在建筑结构分析过程中 我们经常会指定水平的刚性楼 板 每个刚性楼板只有表现在三个方向的一个集中质量 对于自由度的减少是非常明显的 因此这种方法经常在建筑结构分析程序中应用 然而 静力凝聚明显增加了凝聚后刚度矩阵的密度和带宽 并且对于比较复杂的空间 结构系统的动力求解 静力凝聚方法可能并不会很有效 基于以上两点 并考虑 SAP2000 所针对的结构体系类型大部分并非建筑结构 因此 目前 SAP2000 不使用静力凝聚 2 模态方程的生成 求解方程 12 4 的基本数学方法是分离变量法 为了完成变量分离 可以假设解的表达 形式为 12 5a ttYu 其中 是一个 Nd N 矩阵 该矩阵包含 N 个非时间函数的空间向量 而 Y t 是一个包 含 N 个时间函数的向量 从方程 12 5a 可以导出 12 5b ttYu 12 5c ttYu 在求解之前 要求空间函数满足下列质量和刚度正交性条件 TM I TK 2 其 中 I 为一个对角单位矩阵 2是一个对角项为的对角矩阵 2 n 把方程 12 5a 至 12 5c 代入方程 12 4 然后前乘 T 产生以下 N 个矩阵方程 12 6 J j jj tgttt 1 pY YdYI 2 其中 pj Tf 并定义为荷载函数 j 的模态参与系数 d 为阻尼矩阵 一般情况下并不一 定是对角矩阵 为了解耦模态方程 将模态阻尼的对角项定义为 形成假设 nnnn d 2 在振型之间无耦合的典型阻尼 其中 n定义为第 n 振型中的阻尼与该振型的临界阻尼之比 于是方程 12 6 变为 3 12 7 J j jnj 2 nn nn tgp y t t y2 t y 1 上面方程 12 7 是一个非耦合的典型线性结构系统的模态方程 而对于三维地震运 动 模态方程可以写为 12 8 tup tup tup y t t y2 t y gznzgynygxnx 2 nn nn 其中三维模态参与系数或在此工况中的地震激励系数 由定义 其中 j j MP ni 是 x y 或 z 而 n 是振型数 3 模态方程一般求解方法 上面 12 7 式给出了非耦合的典型线性结构系统的模态方程 对于这一典型模态方 程有许多不同方法可以进行求解 比如我们比较熟悉的快速 Fourier 变换法或 Duhamel 积 分数值计算等等 不过 SAP2000 使用了分段多项式方法进行模态方程的求解 这一方法是 在较小时间增量内使用多项式近似出来的荷载精确解 是计算机程序对此方程进行数值求 解的最经济和最精确的方法 分段多项式方法的另外一个优点是它没有稳定性问题 也不 会引入数值阻尼 因为多数地震地面加速度在 0 005s 间隔内被定义为线性的 所以对于所 有频率的该类型荷载而言 此方法是准确的 SAP2000 程序使用了一种非常简单但又很强大的递归关系 使得多项式模拟精确解的 方法计算效率有了很大的提高 由于此精确分段多项式技术方法速度快 因此它也可以用 来以很少的计算时间建立精确地震反应谱 应用这一递归关系的分段多项式求解技术对于 任意荷载 瞬时荷载 动力荷载的初始条件都是十分有效的 因此也可以把这种求解法用 于任意周期荷载 另外对于模态方程的求解 还需要指出模态截取的问题 在 SAP2000 模态分析工况定 义时 需要我们确定模态分析过程中最大模态数目 由于地震运动只激励结构的较低频率 所以 基本荷载数据不包含超过 50Hz 的信息 因此 忽略较高频率和系统振型通常不会 引入误差 这也是我们在工程分析和设计中一直在使用的方法 12 1 212 1 2 SAP2000SAP2000 模态分析中质量源定义模态分析中质量源定义 从前面的论述中可以看到 结构动力分析是基于集中节点质量的动力响应和基本平衡 方程的 因此精确描述结构系统质量分布就成为结构动力分析的基础 结构质量首先包含 构件单元自身质量在节点的集中 但不仅限于此 比如我们比较熟悉的填充墙 由于并非 主要抗侧力构件 一般在计算模型中并不会输入 但是在结构动力分析中填充墙质量却是 绝对不能够忽略的 这时我们就需要将这部分质量以另一种方式进行考虑 这样此类问题 就可以使用质量源的定义来完成 质量源是 SAP2000 中一个非常重要的概念 它定义了结构动力分析所需要考虑的结构 质量的计算方式 它把程序中结构的质量和自重这两个概念加以清晰的区分并建立相互间 可以进行多重定义的联系 在中国规范中 结构动力分析以及结构地震作用计算基于建筑 的重力荷载代表值 重力荷载代表值实际上给出的是一个质量计算方式 定义了求解地震 作用时结构质量的计算方法 它同样可以并且需要通过质量源的定义实现 因此在使用中 国规范进行结构分析和设计时需要特别注意质量源的概念 1 SAP2000 中的质量和重量 4 在 SAP2000 中结构构件自身的质量和重量计算分别基于材料定义中密度和重度两个参 数 默认情况下 SAP2000 自动计算所有构件的重量 如图 12 1 的定义静载工况名对话框 所示 在定义静载工况名对话框中 DEAD 类型荷载为结构恒荷载 自重乘数将一定比例的结 构自重作为 DEAD 工况的荷载施加在结构上 当自重乘数定义为 1 0 默认值 时 SAP2000 将全部自重转换为 DEAD 工况的荷载 当自重乘数定义为 0 时 结构将不计算结 构自重产生的恒荷载 将自重乘数定义为小于 1 的正数 表示将自重的一部分添加到 DEAD 工况的荷载中 图图 12 112 1 静荷载工况定义对话框静荷载工况定义对话框 SAP2000 中的质量可以由几个方面组成 它包括了结构构件的质量这一基本的参量 它是基于结构构件材料的密度信息 并且与结构构件自重相对应 还包括荷载通过重力 加速度关系转化的质量 以及通过点 线或面指定的附加质量信息 前面所谈到的填充墙 质量就可以通过由其自重产生施加在结构上荷载转化为质量 其中使用的重力加速度值是 程序默认的 9 81m s2 这一参量是不能被修改的 附加质量与结构自身质量不同 它仅增 加结构质量 不产生自重而增加重力荷载 因此对结构的静力分析不会产生影响 由于结 构动力分析的需求 在 SAP2000 中 可以根据不同方式定义不同的质量信息 2 质量源的定义 在结构动力分析之前 必须要先定义质量源参数 SAP2000 给出了质量源的三种定义 方式 定义质量源时 需要点击定义定义 质量源质量源命令 弹出定义质量源定义质量源对话框 图 12 2 5 图图 12 212 2 质量源定义对话框质量源定义对话框 来自对象和附加质量 这是默认的质量源选项 采用这种方法时 所有外加的荷载不会转换为结构质量 此 时 结构的质量由结构的构件体积乘以构件材料的密度 材料属性数据对话框中的密度一 项 产生 利用这一选项 不能直接满足中国规范要求的重力荷载代表值要求 来自荷载 此方法定义的质量来源于荷载 可以在此处定义抗震规范的重力荷载代表值组合方式 然后将其按比例转化为质量信息 按抗震规范第 5 1 3 条的规定 自重 附加恒荷载的系数 为 1 0 活荷载的系数是 0 5 结构的质量等于组合后求得的荷载除以重力加速度 g 注意 此方法的概念是将荷载转化为质量 所以它的准确度是基于参与荷载的准确度 如果施加 的荷载有误 则通过这种方法求得的结构质量也是错误的 来自对象 附加质量以及荷载 此方法计算的质量是按第一 二种方法求得的质量之和 在实际工程中采用此方法时 为了构建中国规范要求的重力荷载代表值 在定义荷载的质量乘数一栏中一般只需要定义 可变荷载的质量乘数 质量乘数值为抗震规范表 5 1 3 中的组合系数 而不应包括恒荷载 如果用户使用此方法时在定义荷载的质量乘数一栏指定了恒荷载 结构自身的质量将被计 算两遍而出现错误 12 1 312 1 3 特征向量法和特征向量法和 RitzRitz 向量法向量法 前面我们所讨论的模态分析方法是非耦合线性结构或已经解耦的线性结构模态分析的 基本方法 因此对于耦合线性结构 必须先要对结构采用适当的方法进行解耦 使用适当 的方法对结构模态方程进行解耦也是动力分析重要的一个部分 在早期地震工程学中 动 力分析的 Rayleigh Ritz 方法广泛地用于计算近似解 随着高速计算机的发展 精确特征向 量取代了 Ritz 向量并成为地震分析基础 6 现在 SAP2000 版本中除了提供精确的特征向量法分析外 还提供了与荷载相关的 Ritz 向量 LDR 分析法 LDR 向量能用于线性和非线性结构的动力分析 与精确特征向量法相 比 新的修正 Ritz 方法用更少的计算工作量可产生更精确的结果 除此以外 Ritz 向量法 自动包含了静态凝聚数字技术 Guyuan 消减和对于较高振型截取的静态修正等优点 下面 我们将从经典模态方程出发 简单阐述一下两种模态分析方法的基本理论 1 特征向量法 为了解耦 12 3 式的动力平衡方程 需要计算方程特征向量与特征值 特征向量分 析方法确定系统的无阻尼自由振动的振型形状和频率 它是对一般特征值问题的求解 典 型的无阻尼自由振动的平衡方程由下式给出 12 9 0vMK ii 2 其中 K 为刚度矩阵 M 为对角质量矩阵 2 是特征值的对角矩阵 为圆频率 是相应的特征向量 即振型形状 特征向量分析方法中使用的刚度矩阵与静力分析的刚度 矩阵是一致的 可以使用行列式搜索法 逆迭代法 子空间迭代法等方法进行 12 9 平衡方程的特 征向量分析 目前 SAP2000 程序使用了相对更加稳定的子空间迭代法进行特征向量分析 程序所使用的子空间块迭代算法可以参见中国建筑工业出版社出版的 Wilson 的著作 结构 静力与动力分析 由于本书篇幅所限 在此不再过多描述 2 Ritz 向量法 改进的 Ritz 向量法 简称 LDR 方法 即与荷载相关的 Ritz 向量法的物理基础是认可 结构动态响应是空间荷载分布的函数 弹性结构的无阻尼动态平衡方程可写成以下形式 12 10 t t t RuKu M 对于结构动力分析所经常考虑的地震作用或风荷载工况 与我们前面所谈到的相同 方程 12 10 中作用在结构上的与时间相关的荷载 R t 可写作 12 11 J j jj ttgt 1 FGfR 方程中独立的荷载模式 F 不是时间的函数 在地震作用分析时 这些荷载模式是结构 方向的质量分布函数 在风荷载工况中 顺风平均风压是这些向量之一 使用相关数值技 术 时间函数 G t 总能展开为正弦和余弦函数的 Fourier 级数 因此 如果忽略阻尼 则要 求解的典型动态平衡方程为以下形式 12 12 ttt sin FuKuM 因此 典型荷载频率的精确动态响应为以下形式 12 13 MuFKu 2 由于方程 12 13 中荷载频率是未知的 因此不能对该方程进行直接求解 但是基于 相关推导 可以得到下列相关递归方程 12 14 1 i KuKu i SAP2000 和 ETABS 都使用了 LDR 方法的 LDR 方法考虑了动力荷载的空间分布 因 7 此可以得到更精确的结果 在分析过程中 第一个向量块是来自于结构上荷载模式的静态 响应 这就是我们在 Ritz 向量法定义时需要指定初始向量的原因 也就是说当我们定义了 初始向量后 第一个向量块的静态响应就来源于该初始荷载向量 另外 对于只有在质量 自由度状态下才施加荷载的工况 LDR 向量总是精确特征向量的线性组合 对于初始向量的选择 一般可以使用动力荷载的空间分布向量作为一个初始荷载向量 程序允许在三个自由方向的加速度 静力荷载工况和内嵌非线性变形荷载中选择初始向量 可以指定任意数量的初始向量 其中内嵌非线性变形荷载只有在结构分析所进行的振型非 线性时程分析是基于模态分析工况的情况下才是需要的 这时在荷载类型中添加连接荷载 在荷载名中选择 All 选项 对于反应谱分析必须在初始向量中添加质量自由度方向的加速度荷载 对于时程分析 在每个荷载工况或任意时程工况使用的加速度荷载中 一个初始向量是必须的 3 特征向量法和 Ritz 向量法的对比 SAP2000 提供了特征向量法和 Ritz 向量法两种模态解耦的基本方法 原因是对于大型 结构系统 求解自由振动振型和频率的特征值问题可能需要大量的计算工作 这时单纯的 特征向量分析就可能变得比较困难 并且在自由振动振型的计算中 完全忽视荷载的空间 分布 由于计算的许多振型对荷载是正交的并且不参与动态响应 因此耗费大量精力所得 到结构振动振型并不一定能够提高计算的精度 甚至有些时候没有任何帮助 这是特征向 量法分析所存在的主要问题 但是相比而言的 Ritz 向量法 由于所有求得的特征向量都是与荷载相关的 因此避免 了不参与动态响应的对于结构精度没有帮助的振型的计算 将有限的计算时间全部用于对 于结果精度有增进的振型计算中 换句话说 在考虑相同的计算振型数目的前提下 使用 LDR 方法将得到更精确的结果 也可以得到规范所要求的更高的结构质量参与系数 除此以外 如果在无质量自由度状态下施加动力荷载 那么在振型叠加分析中即使使 用精确的振型 也不会收敛到精确解 并且在施加荷载处附近的位移和应力会有明显误差 因此 如果把精确特征向量用于这样的问题 就没有必要应用本应需要的 静态校正法 有可能用最少的计算工作量来计算一组刚度和质量正交的 Ritz 向量 对荷载的任何空间分 布而言 这都会收敛到精确解 我们都知道对于特征向量法分析 因为必须指定振型数目的截断位置 因此会带来高 阶振型的截断误差 这对于对高阶振型敏感的结构的结果精度影响是非常大的 相比较因 为初始向量集包含了 静态响应 LDR 方法避免了高阶振型截取所带来的误差 可以证 明 基于唯一一组荷载相关向量的动力分析 可产生比使用相同数量的精确振型法更精确 的结果 12 1 412 1 4 质量参与系数和荷载参与系数质量参与系数和荷载参与系数 SAP2000 程序分别输出了模态分析中结构的质量参与系数 静荷载参与系数和动荷载 参与系数 它们总体反映了模态分析截断高阶振型与所有振型精确分析所存在的某一类型 的误差 这一点我们在前面也已经谈到了 我国 2002 版结构规范中存在对于结构模态分析中所考虑振型质量累计参与系数的要求 高层建筑混凝土结构技术规程 JGJ3 2002 中 5 1 13 条第二款规定对于 B 级高度高层 建筑和复杂高层建筑 计算振型数应使振型参与质量不小于总质量的 90 另外为了控 制结构扭转效应的潜在破坏能力 规范规定了结构扭转响应的上限 高层建筑混凝土结构 技术规程 JGJ3 2002 中 4 3 5 条规定 结构扭转为主的第一周期 Tt 与平动为主的第 一周期 T1 之比 A 级高度建筑不应大于 0 9 B 级高度的建筑 混合结构高层建筑及复杂 8 高层建筑不应大于 0 85 为了满足这一条 首先需要判断结构的第一平动周期和第一扭转 周期 该判断也需要使用本节所提到的质量参与系数的概念 SAP2000 针对于三个自由方向的加速度 所有静荷载情况和所有非线性变形荷载输出 结构的静荷载和动荷载的模态分析参与系数 其中这两个系数的主要意义在于使用模态积 分时程分析相关时程模态所考虑的振型数目是否足够 1 质量参与系数 SAP2000 对于质量参与系数的计算是基于一个特定方向上的单位基底加速度以及由于 该作用引起的基底剪力来进行的 此种工况的稳态解不包含阻尼或弹性力 因此对于 x 方 向上的单位基底加速度 模态响应方程可以写为 12 15 p y nxn x 方向的总基底抵抗剪力 包括 N 个振型 是 12 16 p V nx N n x 2 1 对于在任何方向的单位基底加速度 精确的基底抵抗剪力必须等于该方向上的所有质 量分量之和 因此 质量参与系数定义为该参与质量除以该方向上的总质量 即 12 17a m p X x nx N 1n mass 2 12 17b m p Y y ny N 1n mass 2 12 17c m p Z z nz N 1n mass 2 振型有效质量系数提供了振型对于六个整体坐标方向中每一个方向加速度荷载响应的 计算重要性的一种量度 因此它对于确定反应谱分析和地震时程分析的准确性非常有用 振型有效质量系数不提供任何除加速度荷载以外的其他荷载时程分析准确性的信息 SAP2000 质量参与系数的输出项目及其意义见表 12 1 表表 12 112 1 质量参与系数输出项意义质量参与系数输出项意义 序号输出项目单位说明 1OutputCaseOutputCase 文本输出工况名 2StepTypeStepType 文本输出步类型 对于模态分析工况为 Mode 即模态分析 3StepNumStepNum 无输出步 对于模态分析工况 为振型排序号 4PeriodPeriod 秒该振型的周期值 5 UXUX UYUY UZUZ无该振型 X Y 和 Z 三个方向的质量参与比 此时全部质量为 1 6 SumUXSumUX SumUYSumUY SumUZSumUZ无X Y 和 Z 三个方向的质量参与比振型顺序累加值 7 RXRX RYRY RZRZ无该振型 绕 X Y 和 Z 三个轴的质量参与比 此时全部质量为 1 9 8 SumRXSumRX SumRYSumRY SumRZSumRZ无绕 X Y 和 Z 三个轴的质量参与比振型顺序累加值 如果模态分析工况考虑所有振型 则结构在每个自由度方向上结构质量参与系数的累 计值为 100 对于高规中要求的结构模态分析截取所需要达到的累积质量 90 的参与 我们主要是通过查看最后一个振型输出项目中第六项进行控制的 该项输出给出了 X Y 和 Z 三个方向各振型质量参与系数的累加值 因为对于地震作用和风荷载作用等我们关心 的主要是水平方向的响应 因此 如果 SumUX 和 SumUY 在最后一个振型累加值大于 0 9 就说明该模态分析工况中振型截取数量是满足规范要求的 通过程序所输出的质量参与系数 我们可以判断结构每一个模态属于某一方向的平动 振型 还是扭转振型 确定第一平动振型和第一扭转振型后就可以判断是否满足规范要求 的第一扭转周期与第一平动周期的限值要求 对于判断某一个振型是平动振型还是扭转振 型 主要是通过查看第五输出项中的 UX 和 UY 以及第七输出项中 RZ 这三项的系数对比关 系来确定的 如果 RZ 小于 UX 和 UY 的和 则说明为平动振型 反之则说明为扭转振型 如果确定为平动振型后 通过比较 UX 和 UY 的系数对比关系 可以确定是哪个方向的平 动为主 哪个方向的质量参与系数大 就说明该振型是哪个方向的平动振型 对于一般平面比较规则的结构 前两个振型一般为两个主方向的平动振型 第三个振 型为扭转振型 而且此时质量参与系数对比关系非常清晰 这时就比较容易判断振型的属 性 但是实际结构可能是比较复杂的 我们对于结构平动和扭转是从理伦上进行区分的 但实际结构可能是耦联效应很强的 一个振型可能在平动的基础上带有一定的扭转 这时 UX UY 和 RZ 之间可能就相差不大 这时我们在使用上面的判断规则的基础上 应该更 多的考虑概念设计结构体系的调整 不应该一味的追求满足规范的条文 另外 对于质量参与系数方面 还有一个问题需要注意 有些时候可能结构的前几个 模态的 UX UY 和 RZ 参与系数都很小 一般小于 0 01 甚至更小 这时候一方面可能是 结构本身存在局部振动 而且该局部振动频率小于整体结构的第一振型频率 局部振动可 以通过振型动态视图输出来查看 此时在确定结构第一平动或扭转模态时需要注意这一点 避免误选局部振型作为第一振型 也可以通过模态分析定义中的频率偏移和截断频率的定 义来抑制局部振型的捕捉输出 另一方面可能是结构某些部位的连接或剖分出了问题 或 结构存在自由点 这时常常伴随结构该振型的周期会非常长 一般大于 100 秒以上 这时 说明结构是存在问题的 需要对模型进行检查从而避免这些问题 如果结构的某一模态为平动振型 往往还需要我们判断结构该振型的平动角 特别是 结构的第一平动振型 其参数也反映了结构地震作用基底剪力的方向角 对此我们也可以 通过质量参与系数来确定 例如 与第一个振型相关的基底剪力的 X 轴角度可以由下式给 出 12 18 UY UX tan 1 1 2 静荷载参与系数 静荷载参与系数标示了已计算振型相对于给定静荷载响应的吻合程度 它描述了对该 静力荷载进行拟静力模态时程分析所得到结果的精确程度 该评测手段首先由 Wilson 提出 目前我国规范对于该系数还没有明确的要求 但是为了能够为用户提供尽可能多的模态信 息参量 在 SAP2000 中文版中保留了这些系数的输出 Wilson 通过使用截断向量集来求解由静力荷载模式所引起的响应 以计算静力位移 并在此基础上定义了静荷载参与系数 如方程 12 4 所示 荷载可以写作 10 12 19 J j jj tgt 1 fF 此时 与荷载条件 j 相关的总外力功为 12 20 J j jjj E 1 uf T 根据方程 12 7 如果忽略惯性力与阻尼力 与截断振型解相关的总外力功是 12 21 2 1 2 1 2 1 N n n nj N n n jn jjj p E f vf T T 对于荷载条件 j 定义静荷载参与系数 rj 为由截断振型集所作的总功与由荷载模式所 作的总外力功之比 即 12 22 jj L n n nj j j j p E E r uf T 2 1 当采用拟静力时程分析求解静力解时 静荷载参与系数的值对任何施加的静力荷载都 应接近 100 如果分析是非线性的 对所有非线性变形荷载 静荷载参与比的值同样应 接近 100 当然 结合我们前面所谈到的模态分析方法 可以知道当采用瑞兹向量时 对所有开 始的荷载矢量 静荷载参与比的值应总是为 100 但当采用特征向量时 就不一定能够 得到 100 的质量参与结果 而且如果荷载矢量 p 作用在无质量的自由度上 即使采用全 部可能的特征向量 也将无法给出 100 的静荷载参与值 3 动荷载参与系数 动荷载参与系数标示了已计算振型相对于给定动荷载响应的吻合程度 它描述了对该 动力荷载进行模态时程分析所得到结果的精确程度 它假定荷载仅仅作用在有质量的自由 度上 基于只考虑惯性力抵抗荷载模式的假设 因此任何作用在无质量自由度上的荷载矢 量分量都不能输出动荷载参与系数 并在分析过程中被忽略 如果只考虑质量自由度 由于荷载模式 fj而产生的准确加速度为 j u 12 23 j fMu 1 j 在时间 t 1 时的质点 与荷载模式 j 相关的总动能为 12 24 jjj EfMfuMu 1 T T 2 1 2 1 根据方程 12 7 如果忽略无质量自由度 当 t 1 时 模态与截断振型解相关的总动 能为 12 25 2 111 TT 2 1 2 1 2 1 N n nj N n N n njnnnjjjj pppE MvMv 对于荷载条件 j 现在可以把动力荷载参与系数 rj 定义为与截断振型集相关的总动能 与荷载模式相关的总动能之比 即 11 12 26 jj N n nj j j j p E E r fMf 1 T 2 1 从物理意义上讲 动力荷载参与系数表示了模态分析捕捉到结构的高频响应的情况 正常情况下 如果动力荷载参与系数少于 100 则说明高频反应没有被成功捕捉 另外 对于三个整体方向上的质量比例荷载 动力荷载参与系数和质量参与系数相同 从本质上 讲动力荷载参与系数是质量参与比概念的延伸 因为质量参与系数只是针对于加速度类型 动力荷载对计算所截取振型数目的要求而言的 而动力荷载参与系数将这一范围推广到了 所有动力荷载形式 12 1 512 1 5 算例算例 1 使用 SAP2000 进行模态分析的结果读取和规范参数控制 为了比较直观的说明 Sap2000 对于模态分析结果的输出 以及规范要求平扭参数 质 量参与系数等参数的判断与控制 本节我们给出了一个算例 算例模型如图 12 3 所示 结 构层高 3m 局部八层 其余为五层 最高部位高度为 24m 结构设置了一个两层的大空 间部分 见立面图 a a 三维图 三维图 b b 立面图 立面图 图图 12 312 3 模态分析参数输出算例模型模态分析参数输出算例模型 在该算例中 定义了模态分析工况 分析方法选择特征值分析法 选择考虑的振型数 量为 20 个 不考虑频率偏心 表 12 2 给出了 SAP2000 对于模态分析质量参与系数的结果 限于篇幅 并且其中三个方向的扭转自由度质量累计是没有什么意义的 因此没有进行输 出 表表 12 212 2 算例质量参与系数输出信息算例质量参与系数输出信息 振型振型 序号序号 周期值周期值 s s UXUXUYUYUZUZSumUXSumUXSumUYSumUYSumUZSumUZRXRXRYRYRZRZ 10 690 000 680 000 000 680 000 800 000 24 20 440 680 000 000 680 680 000 000 660 00 12 30 420 000 130 000 680 810 000 040 000 51 40 250 000 090 000 680 900 000 000 000 03 50 180 000 000 000 680 900 000 000 000 08 60 170 130 000 010 810 900 010 000 000 00 70 160 000 050 000 810 950 010 000 000 00 80 160 030 000 040 840 950 050 000 000 00 90 150 000 000 000 840 950 050 010 000 00 100 120 000 000 000 840 950 050 000 000 00 110 110 000 000 000 840 950 050 000 000 04 120 100 000 030 000 840 980 050 000 000 02 130 090 080 000 000 920 980 050 000 000 00 140 090 000 010 000 920 990 050 000 000 01 150 080 000 000 400 920 990 460 000 130 00 160 080 000 000 000 920 990 460 000 000 00 170 080 000 000 000 920 990 460 050 000 00 180 070 000 000 010 920 990 470 000 000 00 190 070 000 000 000 920 990 470 010 000 00 200 070 000 000 010 920 990 480 000 000 00 我们可以根据周期信息来了解结构的前三个周期分别为 0 69s 0 44s 和 0 42s 模态分 析结果得到如下图 12 3 振型图 我们可以按照本章前面所谈到的质量参与系数状态来判断 前三个周期的平扭属性 首先可以看到对于结构第一周期 质量参与系数 UY 为 0 68 UX 和 UZ 分别为 0 说明结构三个平动自由度相比属于 Y 方向的平动振型 RX 为 0 8 这是 与 UY 相对应的 因为对于 UY 方向的平动绝大部分质量都是绕 X 轴的旋转 RY 为 0 RZ 为 0 24 因为结构的约束是发生在 XY 平面上的 所以 RZ 代表的是结构的扭转自 由度质量参与系数 也就是说明结构的第一振型带有一定的扭转属性 由于结构局部高度 不一致 沿 X 方向 这一点也是可以预期的 但是 RZ 远小于 UY 因此可以判断第一振 型属于 Y 方向的平动振型 同样对于第二振型平动自由度质量参与系数 UX 为 0 68 UY 和 UZ 为 0 对应 RY 为 0 66 RZ 为零 这一振型不带有扭转属性 沿 Y 方向结构是对称的 第二自由度为单纯 的 X 方向的平动振型 对于第三振型 UY 为 0 12 RZ 为 0 51 说明这一振型为扭转振型 但带有一定的 Y 方向的平动效应 从上面的分析我们可以明确几点 首先我们前面谈到对于通过质量参与系数判断平扭 振型主要比较的是 UX UY 和 RZ 三个自由度质量参与情况 相比较哪个方向的质量参与 比例比较大时 对应为哪个方向或属性的振型 对此工程师可能会产生疑问 如果平动方 向 UX 或 UY 与 RZ 的质量参与系数非常相近 甚至相等时怎么办 对此 笔者觉得 假 如这是发生在结构前三个振型之后时 可以不去管它 因为结构体系本身的复杂特性决定 高阶振型很可能出现对等的平扭耦联效应 并且高振型对于结构效应求解处于较次要的地 位 也不影响对于相关规范条文的判断 因此笔者觉得工程师是可以接受的 但是如果发生在前三个振型 就必须要进行仔细的分析了 大家都知道 平扭耦联的 效应主要来源于结构平面质量和刚度分布的不均匀和不对称 并且平扭耦联对于结构的危 害是比较大的 因此规范对于这方面进行了严格的控制 一般结构都会发生一定的平扭耦 联 比如说对于本算例 实际上也产生了一定的平扭耦联效应 原因是结构的局部高度差 异及局部大跨度带来的结构质量及刚度分布不均匀 但是从概念设计来看该结构并不是很 特殊 计算结果也证实了平扭耦联效应并不是很明显 因此是可以接受的 实际上如果对 13 于这一类结构或平面分布更复杂的结构 通过一个参数的量化来控制是平动还是扭转振型 那么这一参数稍小或稍大便带来了两个相反的结论 并且直接决定是否符合规范要求 是 否是合理的结构 试问这一点点差异会带来结构体系本质性的差异吗 综上所述 笔者认为对于通过质量参与系数来判断结构平动和扭转振型不应该给出唯 一的量化指标 对此实际上规范已经给出了指导方向 新的规范也是把概念设计放在第一 位的 因此 笔者的建议是当前三个振型中出现 UX 或 UY 与 RZ 接近时 应该从概念设 计方面寻找原因 并且应该尽量避免这一情况的出现 可以通过结构质量 刚度平面分布 情况进行调整 或通过抗扭刚度的调整结构来实现这一目标 由于本书的目的并不是讨论 结构的设计 因此在此就不在赘述了 从表 12 2 还可以看出 对于 UZ 方向平动质量参与系数 前几个振型都是零 实际上 对于一般的结构体系 是不需要考虑 UZ 方向的动力效应 因此也就不关注 UZ 方向的振 型了 UZ 方向的质量参与系数是判断结构竖向振型的主要依据 一般情况下只有带有大 跨度 长悬臂的结构或结构体形非常复杂的结构才需要考虑竖向振型 比如对于本算例 结构中存在一个大跨度部分 从质量参与信息可以看出 它发生了竖向振动 并且是出现 在第六和第八周期 因为这一部分的质量相对于整体结构比例是比较小的 因此质量参与 系数是比较小的 更多质量参与 也就是结构大范围的竖向振动是出现在第十五振型 UZ 的质量参与系数为 0 4 并且它的周期是 0 08s 而第六周期的周期是 0 17s 可以看出大跨 度部分相对于整体结构 竖向是柔的多的 最后我们需要判断结构地震动力分析所采用的模态分析的质量参与要求 也就是我们 所常说的 90 以上的水平质量参与系数的限制 在表 12 2 中我们是通过 SumUX 和 SumUY 进行判断 并且只需要读取最后一个振型的累计质量就可以了 对于本算例我们可 以看出 SumUX 为 92 SumUY 为 99 是满足要求的 至于 SumUZ 和 SumRZ 质量参 与系数累计则越小越好 a a 第一振型 第一振型 b b 第二振型 第二振型 c c 第三振型 第三振型 14 d d 第五振型 第五振型 e e 第六振型 第六振型 f f 第十五振型 第十五振型 图图 12 412 4 算例模型振型图算例模型振型图 上面图 12 4 给出了本算例前三个振型和第五 六 十五的振型的振型图 可以看出从 表 12 2 我们得到的结论也可以在振型图中直观的看到 第一振型为 Y 方向平动振型 略 带扭转效应 第二振型为 X 方向平动振型 不带扭转 第三振型为扭转振型 略带 Y 方向 的平动 第六振型为大跨部位局部竖向振型 第十五振型为大面积竖向振型 表表 12 312 3 振型质量及刚度输出信息振型质量及刚度输出信息 振型序号振型序号周期值周期值 s s 振型质量振型质量 t t 振型刚度振型刚度 kN m kN m 10 69182 42 20 441204 39 30 421221 91 40 251612 05 50 1811261 56 SAP2000 还输出了振型质量和振型刚度情况 通过表 12 3 可看出 结构振型质量输出 是正交归一化的 而振型刚度信息就是微分方程求解过程的特征值 根据经典无阻尼自由 振动公式 便可以得到表中的模态周期值 2 特征向量法和 Ritz 向量法算例对比 前面我们讨论了 SAP2000 所提供的两种模态分析方法 特征向量法和 Ritz 向量法 为 了更直观的给出这两种方法在结构有限元分析过程中的区别 此处我们给出了一个单跨简 支梁的算例 见图 12 5 图图 12 512 5 模态分析方法对比模型模态分析方法对比模型 该单跨梁跨度为 10m 跨中 50kN 集中荷载 分析过程中梁按照最大 1m 的单元进行剖 分 考虑在 XZ 平面内分析 分别定义了 EIGEN 和 RITZ 两个模态分析工况 前 者是特征向量法 后者是 Ritz 向量法 两个模态分析工况考虑的振型数量均为 5 个 Ritz 向量法考虑的初始激发荷载为 UZ 方向的加速度 15 a a 特征向量法 特征向量法 b b RitzRitz 向量法向量法 图图 12 612 6 算例模型振型图算例模型振型图 上图 12 6 依次给出了两种模态分析方法前五个振型的变形图 可以清楚地看到两种方 法得到振型图是很不相同的 从经典结构动力学可以判断 特征值方法模态分析给出的结 构振型是一个单跨框架比较标准的振型 而 Ritz 向量法模态分析给出的结果则没有对这些 振型进行全部考虑 两个方法的第一振型是相同的 Ritz 向量法的第二振型是特征向量法 的第三振型 而 Ritz 向量法的第三振型是特征向量法的第五振型 我们仔细观察可以看到 Ritz 向量法所有振型都是对称的 上面我们在给出算例条件的时候已经交待了 此处给框架梁施加的主要荷载是在梁的 中心部位 因此荷载作用是对称的 因此对于反对称的振型 并不是由荷载激发的 荷载 在这些振型的动力贡献也为零 本章前面已经讨论过了 Ritz 向量法是考虑荷载分布状态 及动力贡献的模态分析方法 所以在本算例中它忽略了所有反对称振型 所得到的结果是 同样考虑 5 个振型 但 Ritz 向量法会考虑更多有效的振型 也会得到更高的质量参与系数 这一点也可以通过本算例的模态质量参与结果来看 表 12 4 表表 12 412 4 质量参与系数输出信息质量参与系数输出信息 工况名称工况名称振型序号振型序号周期值周期值质量参与系数质量参与系数累计质量参与系数累计质量参与系数 10 1660 97330 9733 20 0140 00000 9733 30 0090 01930 9926 40 0040 00000 9926 EIGEN 50 0040 00540 9980 16 10 1660 97330 9733 20 0090 01930 9926 30 0040 00540 9980 40 0020 00160 9997 RITZ 50 0020 00031 0000 从表 12 4 可以看出 特征向量法分析工况考虑五个振型得到的累计质量参与系数为 99 8 而 Ritz 向量法得到了 100 的质量参与系数 而且可以看出特征向量法第二个和第 四个振型质量参与系数为 0 恰好是两个反对称振型 这也证实了我们前面的观点 对于 本算例 我们还给出结构静力荷载参与系数和动力荷载参与系数 见表 12 5 表表 12 512 5 荷载参与系数结果荷载参与系数结果 分析工况分析工况动力荷载类型动力荷载类型自由度方向自由度方向静力参与系数静力参与系数 动力力参与系数动力力参与系数 加速度 UX0 00 0 加速度 UY0 00 0EIGEN 加速度 UZ100 099 8 加速度 UX0 00 0 加速度 UY0 00 0RITZ 加速度 UZ100 0100 0 从表 12 5 可以看出 由于我们没有考虑 UY 方向的自由度 而前五个振型没有 UX 方 向的振型 因此 UX 和 UY 方向的荷载参与系数均为零 两种模态分析方法全部得到了 100 的静荷载参与系数 说明计算振型对于恒载作用的吻合程度两种方法都是比较好的 对于动力荷载参与系数 特征向量法给出了 98 的参与系数 而 Ritz 向量法给出了 100 的质量参与系数 这也证实了本章前面的论述 Ritz 向量法分析因为考虑了更多的高阶振 型 因此对于动力荷载的高频响应捕捉得到了更好的结果 12 212 2 反应谱分析反应谱分析 地震作用本质上是一种地面运动荷载 虽然其发生的过程总体上很短暂 但是作用的 大小是随时间变化的 目前结构分析的发展水平允许我们基于振型叠加法或其它方法在地 震作用的整个过程中对结构的响应进行完整计算 这就是我们所常说的结构的时程分析 但是这种分析方法往往需要更复杂的计算工作 并且所进行的分析往往需要更详尽并有针 对性的场地信息 这一点并不是所有实际工程都能够提供的 另外 时程分析会输出地震 作用整个过程每一时刻的结构位移及内力响应 对于这些信息的统计需要大量的工作量 并且难以形成直接指导结构设计的信息 因此虽然时程分析是更为真实的结构动力分析 但是满足大部分结构规范要求和工程师需求的仍然是地震作用的反应谱分析 地震作用反应谱分析本质上是一种拟动力分析 它首先使用动力方法计算质点地震响 应 并使用统计的方法形成反应谱曲线 然后再使用静力方法进行结构分析 时程分析的 不足恰好是反应谱分析方法的优点 光滑设计反应谱是地震运动的平均值 它仅包括计算 每个振型中的位移和构件力的最大值 因此不需要对于多条地震波的复杂计算 并且结构 反应谱分析所给出的结构响应信息可以很方便的应用于结构设计 避免了对于整个时间范 围内结构响应的处理 12 2 112 2 1 反应谱分析的基本理论与方法反应谱分析的基本理论与方法 首先我们仍然是从前面所推导出来的模态方程出发 来简单阐述一下反应谱分析方法 17 的基本原理 对于三维地震运动 典型的模态方程 12 7 可重写为 12 27 tup tup tup y t t y2 y gznzgynygxnx 2 n n n nn 其中三个振型参与系数是由定义的 i 为 x y 或 z 公式 12 27 考 inni TM p 虑了结构三个方向上的地震作用 一般情况下 我们需要先求解一个方向地震作用响应 然后再基于三个正交方向的分量考虑结构总响应 换句话说 前者是基于振型组合求解一 个方向的地震响应 后者是基于方向组合求解结构总响应 下面我们只考虑一个方向的地 震输入 方程 12 27 可写为 12 28 tup ty ty2 ty gnin 2 n n n nn 基于方程 12 28 我们可以绘制最大值响应 ymax 的曲线 对于该加速度输入 根 据定义 曲线是地震运动的位移反应谱 对于每个不同的阻尼值都会有一条不同的曲线与 之对应 对于具有周期 Tn的典型振型 n 和对应的反应谱值 S n 可以计算出结构的最大模态 位移 与周期 Tn相关的最大模态反应可由下式得出 12 29 2 max n n n