圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

1 圆锥曲线焦点弦长公式 极坐标方程 圆锥曲线焦点弦长公式 极坐标方程 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点 主要是在解答题中 全国文科一般为压 轴题的第 22 题 理科和各省市一般为第 21 题或者第 20 题 几乎每一年都有考察 由于题 目的综合性很高的 运算量很大 属于高难度题目 考试的得分率极低 本文介绍的焦点 弦长公式是圆锥曲线 椭圆 双曲线和抛物线 的通用公式 它是解决这类问题的金钥匙 利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了 中等学习程度的学生完全能够得心应手 定理定理 已知圆锥曲线 椭圆 双曲线或者抛物线 的对称轴为坐标轴已知圆锥曲线 椭圆 双曲线或者抛物线 的对称轴为坐标轴 或平行于坐标轴或平行于坐标轴 焦点为焦点为 F 设倾斜角为 设倾斜角为的直线的直线 经过经过 F 且与圆锥曲线交于 且与圆锥曲线交于 A B 两点 记圆锥曲线的离两点 记圆锥曲线的离 l 心率为心率为 e 通径长为 通径长为 H 则 则 1 当焦点在 当焦点在 x 轴上时 弦轴上时 弦 AB 的长的长 cos1 22 e H AB 2 当焦点在 当焦点在 y 轴上时 弦轴上时 弦 AB 的长的长 sin1 22 e H AB 推论 推论 1 焦点在 焦点在 x 轴上 当轴上 当 A B 在椭圆 抛物线或双曲线的一支上时 在椭圆 抛物线或双曲线的一支上时 当 当 A B 不在双曲线的一支上时 不在双曲线的一支上时 当圆锥 当圆锥 22 cos1 e H AB 1cos 22 e H AB 曲线是抛物线时 曲线是抛物线时 2 sin H AB 2 焦点在 焦点在 y 轴上 当轴上 当 A B 在椭圆 抛物线或双曲线的一支上时 在椭圆 抛物线或双曲线的一支上时 当 当 A B 不在双曲线的一支上时 不在双曲线的一支上时 当圆锥 当圆锥 22 sin1 e H AB 1sin 22 e H AB 曲线是抛物线时 曲线是抛物线时 2 cos H AB 典题妙解典题妙解 2 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用 例例 1 06 湖南文第湖南文第 21 题 已知椭圆题 已知椭圆 抛物线 抛物线1 34 22 1 yx C 0 且 且 的公共弦的公共弦 AB 过椭圆过椭圆的右焦点的右焦点 pxmy2 2 p 1 C 2 C 1 C 当 当轴时 求轴时 求 p m 的值 并判断抛物线的值 并判断抛物线的焦点是否在直线的焦点是否在直线 AB 上 上 xAB 2 C 若 若且抛物线且抛物线的焦点在直线的焦点在直线 AB 上 求上 求 m 的值及直线的值及直线 AB 的方程的方程 3 4 p 2 C 例例 2 07 全国全国 文第文第 22 题 已知椭圆题 已知椭圆的左 右焦点分别为的左 右焦点分别为 过 过的的1 23 22 yx 1 F 2 F 1 F 2 F O A B x y 2 F A B C D Ox y 1 F P 3 直线交椭圆于直线交椭圆于 B D 两点 过两点 过的直线交椭圆于的直线交椭圆于 A C 两点 且两点 且 垂足为 垂足为 P 2 FBDAC 1 设 设 P 点的坐标为点的坐标为 证明 证明 1 00 yx 23 2 0 2 0 yx 2 求四边形 求四边形 ABCD 的面积的最小值的面积的最小值 例例 3 08 全国全国 理第理第 21 题文第题文第 22 题 双曲线的中心为原点题 双曲线的中心为原点 O 焦点在 焦点在 x 上 两条渐近线上 两条渐近线 分别为分别为 经过右焦点 经过右焦点 F 垂直于垂直于的直线分别交的直线分别交 于于 A B 两点两点 已知已知 1 l 2 l 1 l 1 l 2 l OA 4 成等差数列 且成等差数列 且与与同向同向 AB OBBFFA 求双曲线的离心率 求双曲线的离心率 设 设 AB 被双曲线所截得的线段的长为被双曲线所截得的线段的长为 4 求双曲线的方程 求双曲线的方程 金指点睛金指点睛 A B y O F x 1 l 2 l N M 5 1 已知斜率为已知斜率为 1 的直线的直线 过椭圆过椭圆的上焦点的上焦点 F 交椭圆于交椭圆于 A B 两点 则两点 则l1 4 2 2 x y AB 2 过双曲线过双曲线的左焦点的左焦点 F 作倾斜角为作倾斜角为的直线的直线 交双曲线于交双曲线于 A B 两点 则两点 则1 3 2 2 y x 6 l AB 3 已知椭圆已知椭圆 过左焦点 过左焦点 F 作直线作直线 交交 A B 两点 两点 O 为坐标原点 求为坐标原点 求 022 22 yxl AOB 的最大面积的最大面积 4 已知抛物线已知抛物线 0 弦 弦 AB 过焦点过焦点 F 设 设 AOB 的面积为的面积为 S pxy4 2 pmAB B O x y A F y O F x A B 6 求证 求证 为定值为定值 m S 2 5 05 全国全国 文第文第 22 题 题 P Q M N 四点都在椭圆四点都在椭圆上 上 F 为椭圆在为椭圆在 y 轴正轴正1 2 2 2 y x 7 半轴上的焦点半轴上的焦点 已知已知与与共线 共线 与与共线 且共线 且 求四边形求四边形PFFQMFFN0 MFPF PQMN 的面积的最大值和最小值的面积的最大值和最小值 6 07 重庆文第重庆文第 22 题题 如图 倾斜角为如图 倾斜角为的直线经过抛物线的直线经过抛物线的焦点的焦点 F 且与抛物线 且与抛物线 xy8 2 交于交于 A B 两点两点 O x N P y M Q F 8 求抛物线的焦点 求抛物线的焦点 F 的坐标及准线的坐标及准线 的方程 的方程 l 若 若为锐角 作线段为锐角 作线段 AB 的垂直平分线的垂直平分线 m 交交轴于点轴于点 P 证明 证明 x 为定值 并求此定值为定值 并求此定值 2cos FPFP 7 点点 M 与点与点的距离比它到直线的距离比它到直线的距离小的距离小 1 2 0 F03 yl 1 求点 求点 M 的轨迹方程 的轨迹方程 y O F x A B D E C l m P 9 2 经过点 经过点 F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于且互相垂直的两条直线与轨迹相交于 A B C D 求四边形求四边形 ACBD 的最的最 小面积小面积 8 已知双曲线的左右焦点已知双曲线的左右焦点 与椭圆与椭圆的焦点相同 且以抛物线的焦点相同 且以抛物线 1 F 2 F1 5 2 2 y x F O x A BD C y 10 的准线为其中一条准线的准线为其中一条准线 xy2 2 1 求双曲线的方程 求双曲线的方程 2 若经过焦点 若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于且互相垂直的两条直线与双曲线相交于 A B C D 求四边形求四边形 2 F ACBD 的面积的最小值的面积的最小值 圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用参考答案 y 2 F A O x 1 l 2 l B C D 11 证明 设双曲线方程为 0 0 通径 离心率 1 2 2 2 2 b y a x ab a b H 2 2 a c e 弦 AB 所在的直线 的方程为 其中 为直线 的倾斜角 其l cxky tan k l 参数方程为 为参数 t ty tcx sin cos 代入双曲线方程并整理得 0cos2cossin 4222222 btcbtba 由 t 的几何意义可得 cos1 2 cos1 2 cossin 2 cossin 4 cossin cos2 4 22 2 22 2 2222 2 2222 2 2 2222 2 21 2 21 21 e a b ea b ba ab ba b ba cb tttt ttAB cos1 22 e H 例 1 解 当轴时 点 A B 关于 x 轴对称 直线 AB 的方程xAB 0 m 为 1 x 从而点 A 的坐标为或 2 3 1 2 3 1 点 A 在抛物线上 2 C 即 2 4 9 p 8 9 p 此时抛物线的焦点坐标为 该焦点不在直线 AB 上 2 C 0 16 9 设直线 AB 的倾斜角为 由 知 2 则直线 AB 的方程为 1tan xy 抛物线的对称轴平行于轴 焦点在 AB 上 通径 离心率 2 Cmy x 3 8 2 pH 12 于是有1 e 又AB 过椭圆的右焦点 通径 离心率 1 C3 2 2 a b H 2 1 e cos4 12 cos1 222 e H AB 2 cos13 8 cos4 12 2 解之得 6tan 7 1 cos2 抛物线的焦点在直线上 2 C mF 3 2 1tan xy 从而 tan 3 1 m 3 6 m 当时 直线 AB 的方程为 3 6 m066 yx 当时 直线 AB 的方程为 3 6 m066 yx 例 2 1 证明 在中 1 23 22 yx 123 cba O 是的中点 90 21PF F 1 F 2 F 得 1 2 1 21 cFFOP 1 2 0 2 0 yx 点 P 在圆上 1 22 yx 显然 圆在椭圆的内部 1 22 yx1 23 22 yx 故 1 23 2 0 2 0 yx 2 解 如图 设直线 BD 的倾斜角为 由可知 直线 AC 的倾斜角 BDAC 2 cos13 8 sin 22 H AB 2 F O A B x y 13 通径 离心率 3 342 2 a b H 3 3 e 又BD AC 分别过椭圆的左 右焦点 于是 1 F 2 F sin3 34 2 cos1 cos3 34 cos1 2 22 222 e H AC e H BD 四边形 ABCD 的面积 2sin24 96 sin3 34 cos3 34 2 1 2 1 2 22 ACBDS 10 2sin0 2 4 25 96 S 故四边形 ABCD 面积的最小值为 25 96 例 3 解 设双曲线的方程为 0 0 1 2 2 2 2 b y a x ab 成等差数列 设 公差为 d 则 OA AB OBmAB dmOA dmOB 即 222 dmmdm 22222 22ddmmmddmm 从而 4 m d 4 3 m OA 4 5 m OB 又设直线的倾斜角为 则 的方程为 1 l 2 AOB 1 lx a b y 而 tan a b 3 4 tan2tan OA AB AOB 2 F A B C D Ox y 1 F P 14 3 4 1 2 tan1 tan2 2 2 a b a b 解之得 2 1 a b 2 5 1 2 a b e 设过焦点 F 的直线 AB 的倾斜角为 则 2 而 sincos 5 1 2 1 1 2 1 tan1 tan sin 2 2 2 2 2 5 1 cos2 通径 b a b b a b H 2 2 2 又设直线 AB 与双曲线的交点为 M N 于是有 4 cos1 22 e H MN 即 4 5 1 2 5 1 2 b 解得 从而 3 b6 a 所求的椭圆方程为 1 936 22 yx 1 解 离心率 通径 直线 的倾斜角3 1 2 cba 2 3 a c e1 2 2 a b Hl 4 5 8 2 2 2 3 1 1 sin1 22 22 e H AB 2 解 离心率 通径 直线的倾斜角2 3 1 cba2 a c e6 2 2 a b H 6 A B y O F x 1 l 2 l N M 15 3 2 3 21 6 cos1 22 22 e H AB 3 解 左焦点 离心率 通径1 2 2 2 y x 1 1 2 cba 0 1 F 2 2 a c e 2 2 2 a b H 当直线 的斜率不存在时 轴 这时 高 lxl 2 2 2 a b HAB1 cOF AOB 的面积 2 2 12 2 1 S 当直线 的斜率存在时 设直线 的倾斜角为 则其方程为 即ll 1 tan xy 原点 O 到直线 AB 的距离0tantan yx sin sec tan 1tan tan0tan0 2 d 22 22 22 sin1 22 cos2 22 cos 2 2 1 2 cos1 e H AB AOB 的面积 2 sin1 sin2 2 1 dABS 0 0 从而 sin sin2sin1 2 2 2 sin2 sin2 S 当且仅当 即时 号成立 故 AOB 的最大面积为 1sin 2 2 2 4 解 焦点为 通径 0 pFpH4 当直线 AB 的斜率不存在时 轴 这时 高 xAB pmAB4 pOF B O x y A F 16 AOB 的面积 2 2 2 1 pOFABS 是定值 3 442 4 44 p p p m p m S 当直线 AB 的斜率存在时 设直线的倾斜角为 则其方程为 即 tanpxy 原点 O 到直线 AB 的距离0tantan pyx sin sec tan 1tan tan 2 p pp d 22 sin 4 sin pH AB AOB 的面积 sin 2 2 1 2 p dABS 3 2 2 4 2 42 4 sin sin 41 sin 4 p p p m p m S 不论直线 AB 在什么位置 均有 为定值 3 2 p m S 3 p 5 解 在椭圆中 1 2 2 2 y x 1 12 cba 由已知条件 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦 相交于焦点 且 10FPQMN 如图 设直线 PQ 的倾斜角为 则直线 MN 的倾斜角 2 通径 离心率 于是有2 2 2 a b H 2 2 e sin2 22 sin1 cos2 22 2 sin1 222 2 22 e H PQ e H MN 四边形 PQMN 的面积 O x N P y M Q F y O F x A B 17 2sin8 16 sin2 22 cos2 22 2 1 2 1 2 22 PQMNS 10 2sin0 2 2 9 16 S 故四边形 PQMN 面积的最小值和最大值分别为和 2 9 16 6 解 抛物线的焦点 F 的坐标为 4 82 pp 2 0 准线 的方程为 l2 x 证明 作于 C 于 D 通径 lAC ACFD 82 pH 则 cos cos sin 8 sin 22 AFADFPEF H AB 4cos AFpADACAF cos1 4 AF 22 sin cos4 sin 4 cos1 4 2 1 ABAFAEAFEF 从而 2 sin 4 cos EF FP 8sin2 sin 4 2cos1 2cos 2 2 FPFPFP 故为定值 此定值为 8 2cos FPFP 7 解 1 根据题意 点 M 与点的距离与它到直线的距离相等 2 0 F2 yl 点 M 的轨迹是抛物线 点是它的焦点 直线是它的准线 2 0 F2 yl 从而 2 2 p 4 p 所求的点 M 的轨迹方程是 yx8 2 2 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点 它们的斜率