九年级数学中考第二轮专题复习⑴ 分类讨论 信息题 开放探索题华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 九年级数学中考第二轮专题复习九年级数学中考第二轮专题复习 分类讨论分类讨论 信息题信息题 开放探索题华开放探索题华 东师大版东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 中考第二轮专题复习 分类讨论 信息题 开放探索题 二 知识讲解 1 分类讨论问题 分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形 然后 再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想 对于因存在一些不确定因素 解答无法或者 结论不能给予统一表述的数学问题 我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解 决 分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性 将其区分为不同的种类的思 想方法 其作用是克服思维的片面性 防止漏解 要注意 在分类时 必须按同一标准分 类 做到不重不漏 2 信息题 信息题就是根据文字 图表 图形 图象等给出的数据信息 通过整理 加工 处理 等手段去解决实际问题的一类题 解答信息题时 首先要仔细观察阅读题目所提供的材料 从中捕捉有关信息 如数据 间的关系与规律图象的形状特点 变化趋势等 然后对这些信息进行加工处理 并联系相 关数学知识 从而实现信息的转换 使问题顺利获解 3 开放探索题 开放探索型问题是指缺少一定的题设和结论 需要考生自己推断 补充并加以证明的 命题 由于这类试题命题新颖 思考方向不确定 因此这类题目比一般综合题更能考查考 生综合运用所学知识的能力 而且它所强化的数学素养 对学生的后续学习意义深远 从 而深受命题者的青睐 在全国各地试卷中出现较多的是单独的开放型试题或单独的探索型 试题 二者综合起来的较少 典型例题典型例题 例例 1 已知直角三角形两边 的长满足 则第三边长为 xy 22 4560 xyy 分析 分析 由已知易得 12 2 2 3 xyy 若是三角形两条直角边的长 则第三边长为 2 2xy 22 222 2 若是三角形两条直角边的长 则第三边长为 2 3xy 22 2313 若是一直角边的长 是斜边 则第三边长为 2x 3y 22 325 第三边长为 2 2135或或 例例 2 O 的半径为 5 弦 AB CD AB 6 CD 8 则 AB 和 CD 的距离是 A 7 B 8 C 7 或 1 D 1 用心 爱心 专心 图2 4 1 F O D C E D C B A 图 1 解析 解析 因为弦 AB CD 均小于直径 故可确定出圆中两条平行弦 AB 和 CD 的位置关系有两种可能 一是位于圆心 O 的同侧 二是位于圆心 O 的异侧 如图 1 过 O 作 EF CD 分别交 CD AB 于 E F 则 CE 4 AF 3 由勾股定理可求出 OE 3 OF 4 当 AB CD 在圆心异侧时 距离为 OE OF 7 当 AB CD 在圆心同侧时 距离为 OF OE 1 选 C 例例 3 如图 2 正方形 ABCD 的边长是 2 BE CE MN 1 线段 MN 的两端在 CD AD 上滑动 当 DM 时 ABE 与以 D M N 为顶点的三角形相似 图2 4 2 E N M D C B A 图 2 解析 解析 勾股定理可得 AE 5 当 ABE 与以 D M N 为顶点的三角形相似时 DM 可以与 BE 是对应边 也可以 与 AB 是对应边 所以本题分两种情况 当 DM 与 BE 是对应边时 即 DMMN EBAE 15 155 DM DM 当 DM 与 AB 是对应边时 即 DMMN ABAE 12 5 255 DM DM 故 DM 的长是 52 5 55 或 例例 4 如图 3 在直角梯形 ABCD 中 AD BC C 900 BC 16 DC 12 AD 21 动点 P 从 D 出发 沿射线 DA 的方向 以每秒 2 个单位长度的速度运动 动点 Q 从点 C 出发 经线段 CB 上以每秒 1 个单位长度 的速度向点 B 运动 点 P Q 分别从 D C 同时出发 当点 Q 运动到点 B 时 点 P 随之停 止运动 设运动时间为 秒 t 设 BPQ 的面积为 S 求 S 与 之间的函数关系式 t 当 为何值时 以 B P Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形 t 用心 爱心 专心 B A C Q D P M 图 3 解析 解析 如图 3 过点 P 作 PM BC 垂足为 M 则四边形 PDCM 为矩形 PM DC 12 QB 16 t 1 12 16 966 2 Stt 由图可知 CM PD 2 CQ tt 若以 B P Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形 可分为三种情况 以 Q 为顶点 由图可知 PQ BQ 在 Rt PMQ 中 解得 22222222 12 12 16 PQtPQBQtt 由得 7 2 t 若以 B 为顶点 则 BQ BQ 在 Rt PMB 中 即 22222222 162 12 12 16 BPtBQtt 由BP得 16 2 2 3321440tt 7040 解得无解 2 3321440tt BPBQ 若以 P 为顶点 则 PB PQ 在 Rt PMB 中 222222 12 162 12QPtt 由BP得 解得不合题意 舍去 12 16 16 3 tt 综合上面原讨论可知 当秒或秒时 以 B P Q 三点为顶点的三角形是等 7 2 t 16 3 t 腰三角形 说明 说明 从以上各例可以看出 分类思想在几何中较为广泛 这类试题的解题思路是 对具有位置关系的几何图形 要有分类讨论的意识 在熟悉几何问题所需要的基础知识的 前提下 正确应用分类思想方法 恰当地选择分类标准 是准确全面求解的根本保证 例例 5 长沙市某公司的门票价格如下表所示 购票人数 1 50 人51 100 人100 人以上 票价10 元 人8 元 人5 元 人 某校初三年级甲 乙两个班共 100 多人去该公园举行毕业联欢活动 其中甲班有 50 多 人 乙班不足 50 人 如果以班为单位分别购买门票 两个班一共应付 920 元 如果两个班 联合起来作为一个团体购票 一共只付 515 元 问甲 乙班分别有多少人 分析 分析 解这类问题要学会读懂图表信息 分析题设与图表信息的联系 巧设未知数 建立方程或方程组求解 解 解 通过阅读题中文字和图表信息可知 门票的价格是根据人数多少分段定价的甲班 人数超过 50 人 门票的价格是 8 元 人 乙班人数不足 50 人 门票价格是 10 元 人 设甲 乙两班分别有人和人 依题意 得xy 用心 爱心 专心 解得 810920 55515 xy xy 55 48 x y 答 甲班有 55 人 乙班有 48 人 例例 6 张欣和李明相约到图书城去买书 请你根据他们的对话内容 求出李明上次买书籍 的原价 图 4 分析 分析 本题是一道图形信息题 所有信息都是以漫画形式给出的 解题的关键是读懂 图中两人对话的内容 理清其中的数量关系 解 解 设李明上次购书的原价是元 根据图中的信息 可得 x0 82012xx 解之得 160 x 答 李明上次购书的原价是 160 元 例例 7 某商品公司为指导某种应季商品的生产和销售 对 3 月份至 7 月份该商品的售价和 生产进行了调研 结果如下 一件商品的售价 M 元 与时间 月 的关系可用一长线t 段上的点来表示 如图 5 一件商品的成本 Q 元 与时间 月 的关系可用一条抛t 物线上的点来表示 其中 6 月份成本最高 如图 5 O 1 2 3 4 5 6 12 3 4 5 6 7 8 9 Q 元 t 月 t 月 M 元 8 987654321 9 7 6 5 4 3 2 1 O 图2 4 5 图2 4 6 图 5 根据提供的信息解答下列问题 一件商品在 3 月份出售时的利润是多少 求图 中表示的一件商品的成本 Q 元 与时间 月 之间的函数关系式 t 你能求出 3 月份至 7 月份一件商品的利润 W 元 与时间 月 之间的函数关系t 式吗 若该公司能在一个月内售出此种商品 30000 件 请你计算一下该公司在一个月内的 最少获利 分析 分析 此题紧密联系生产 经营实际 用函数图象反映售价 成本与时间的关系 解 题目时 要善于读取图象所给信息 弄清图象反映的是哪些变量之间的关系 然后再用相 用心 爱心 专心 关的函数知识给予解答 解 解 观察图 一件商品 3 月份的售价是 6 元 观察图 2 3 月份的成本是 1 元 由 此可知 3 月份每件商品的利润是 6 1 5 元 由图 可知 抛物线的顶点为 6 4 设抛物线的解析式为 2 6 4Qa t 抛物线过点 3 1 解得 2 3 6 41a 1 3 a 抛物线的解析式为 其中 4 5 6 7 22 11 6 448 33 Qttt 3t 设每件商品的售价 M 元 与时间 月 之间的函数关系式为 tMktb 线段过 3 6 和 6 8 两点 解得 36 68 kb kb 2 3 4 k b 其中3 4 5 6 7 2 4 8 3 Mtt t 一件商品的利润 W 元 与时间 月 之间的函数关系式为t 222 21110111 4 48 12 5 333333 WMQtttttt 其中3 4 5 6 7 t 30000 件商品在一个月内至少获利 元 11 30000110000 3 答 该公司在一个月内至少获利 110000 元 例例 8 如图 6 D 为 ABC 边 AB 上一点 满足 条件时 ADC ACB C A B D 图 6 分析 分析 要求对相似三角形的判定定理全面掌握 解答 解答 可填 ACD B ADC ACB AC2 AD AB 例例 9 如图 7 四边形 ABCD 是矩形 O 是它的中心 E F 是对角线 AC 上的点 如果 则 DEC BFA 请你填上能使结论成立的一个条件 证明你的结论 图 7 解析 解析 AE CF OE OF DE AC BF AC DE BF 等等 证明 四边形 ABCD 是矩形 用心 爱心 专心 AB CD 且 AB CD CDE BAF AE CF AC AE AC CF 即 AF CE DEC BFA 例例 10 如图 8 所示 ABC 中 点 D 在 AB 上 点 E 在 BC 上 BD BE 请你再添加一个条件 使得 BEA BDC 并给出证明 你添加的条件是 根据你添加的条件 再写出图中的一对全等三角形 只 要求写出一对全等三角形 不再添加其他线段 不再标注或使用其他字母 不必写出证明 过程 E C A B F D 图 8 解析 解析 添加条件列举 BA BC AEB CDB BAC BCA BCD BAE 等 证明列举 以添加条 件 AEB CDB 为例 AEB CDB BE BD B B BEA BDC 另一对全等三角形是 ADF CEF 或 AEC CDA 例例 11 如图 9 AB 是 O 的直径 CB CD 分别切 O 于点 B D CD 与 BA 的延长线 交于点 E 连结 OC OD 求证 OBC ODC 已知 DE a AE b BC c 请你思考后 选用以上适当的数 设计出算 O 半 径的一种方案 你选用的已知数是 写出求解的过程 结果用字母表示 E C a A B c b D O 图 9 解析 解析 证明 CD CB 是 O 的切线 ODC OBC 90 OD OB OC OC OBC ODC HL 选择 a b c 或其中 2 个均可 用心 爱心 专心 若选择 a b 由切割线定理 a2 b b 2r 得 r 22 2 ab b 若选择 a b c 在 Rt EBC 中 由勾股定理 b 2r 2 c2 a c 2 得 r 2 2 2 aacb 若选择 b c 则有关系式 2r3 br2 bc2 0 模拟试题模拟试题 答题时间 90 分钟 1 已知等腰 ABC 的周长为 18 BC 8 若 ABC A B C 则 A B C 中一定有一条边等于 A 7 B 2 或 7 C 8 D 2 或 7 2 已知 O 的半径为 2 点 P 是 O 外一点 OP 的长为 3 那么以 P 为圆心 且与 O 相切的圆的半径一定是 A 1 或 5 B 1 C 5 D 1 或 4 3 A B 两地相距 450 千米 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 相向而行 已知甲 车速度为 120 千米 时 乙车速度为 80 千米 时 经过 小时两车相距 50 千米 则 的值是tt A 2 或 2 5 B 2 或 10 C 10 或 12 5 D 2 或 12 5 4 已知点 是半径为 的 外一点 PA 是 O 的切线 切点为 A 且 PA 2 在 O 内作了长为的弦 AB 连接 PB 则 PB 的长为 2 2 5 在直角坐标系中 一次函数的图象与轴交于点 A 与轴交于点xoy 3 2 3 yx xy B 若以原点 O 为圆心的圆与直线 AB 切于点 C 求切点 C 的坐标 在轴上是否存x 在点 P 使 PAB 为等腰三角形 若存在 请直接写出点 P 的坐标 若不存在 请说明理 由 6 某超市购进了一批不同价格的皮鞋 下表是该超市在近几年统计的平均数据 皮鞋价 元 160140120100 销售百分率60 75 83 95 要使该超市销售皮鞋收入最大 该超市应多购进 皮鞋 A 160 元 B 140 元 C 120 元 D 100 元 7 根据图 1 给出的信息求每件 T 恤衫和每瓶矿泉水的价格 图2 4 7 共计26元 共计44元 图 1 8 南宁市是广西最大的罗非鱼养殖产区 被国家农业部列为罗非鱼养殖优势区域 某养殖 场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼 要求这两个品种总产量 G 吨 满足 1580 G 1600 总产值为 1000 万元 用心 爱心 专心 品种 单价 万元 吨 罗非鱼 0 45 草鱼 0 85 已知相关数据如上表所示 问 该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围 产值 产量 单价 9 某公司推销一种新产品 设 件 是推销新产品的数量 元 是推销费 如图xy 2 表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案 看图解答下列问题 求与的函 12 y yx 数关系式 解释图中表示的两种方案是如何付推销费的 如果你是推销员 应该如何 选择付费方案 10 2030 40 50 60 100 200 300 400 500 600 x 件 y 元 y1 y2 图 2 10 已知 x2 ax 6 在整数范围内可分解因式 则整数 a 的值是 只填一个 11 有一个二次函数的图象 三位学生分别说出了它的一些特点 甲 对称轴是 x 4 乙 与 x 轴两个交点的横坐标都是整数 丙 与 y 轴交点的纵坐标也为整数 且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3 请你写出一个满足上述全部特点的二次函数 12 如图 3 已知 AD BC 要使四边形 ABCD 为平行四边形 需要增加的条件 只填一个你认为正确的条件即可 图 3 13 以 x 1 为根 并且包含加减乘除运算的一元一次方程是 只需写满足条件的一个方程即可 14 如图 4 O 是等边 ABC 的外接圆 AB 2 M N 分别是边 AB AC 的中点 直线 MN 交 O 于 E F 两点 BD AC 交直线 MN 于点 D 求出图中线段 DN 上已有的 线段的长 用心 爱心 专心 E C M A B FD O N 图 4 15 已知点 O 是正六边形的中心 现要用一条直线把它的面积分成相等的两部分 请分 别用两种不同的方法画出这条直线 画图工具不限 O O 16 如图 5 1 2 若再增加一个条件就能使结论 AB DE